华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固基础知识讲解.docx

1、华东师大初中数学八年级上册全等三角形全章复习与巩固基础知识讲解全等三角形全章复习与巩固（基础）知识讲解 ： 【学习目标】1. 掌握常见的五种基本尺规作图；理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；2了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；4理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL” ）判定两个直角三角形全等；5理解并掌握角

2、平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何计算及证明题.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的性质和判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定2 “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.全等三角形判定3“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 全等三角形判定4“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形

3、全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等.（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等.（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等.（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3.判定直角三角形全等的特殊方法斜边直角边定理斜边直角边定理（或简记为HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.要点诠释：判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个

4、直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.要点二、等腰三角形1.等腰三角形的性质及其作用性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等2.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质

5、定理和判定定理是互逆定理.3.等边三角形的性质和判定：性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形要点诠释：由等边三角形的“三线合一”可得：在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半要点三、尺规作图、命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图要点诠释：（1）要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.（2）掌握五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于

6、已知角；作已知角的平分线；经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题.（2）每一个命题都可以写成“如果,那么”的形式，“如果”后面为题设部分

7、，“那么”后面为结论部分.（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定正确.3.定理与逆定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：（1）定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据. （2）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线性质定理及其逆定理角平分线上的点到角两

8、边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理及其逆定理线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型二、全等三

9、角形的性质和判定 1、已知：如图，在ABC、ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD求证：（1）BADCAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明【思路点拨】要证（1）BADCAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角BAD=CAE，而由BAC=DAE=90很易证得（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力要证BDCE，需证BDE=90，需证ADB+ADE=90可由直角三角形提供【答案与解析】（1）证明：BAC=DAE=90BAC+CAD=DAE+CAD即BAD=CAE，又AB=AC，AD=AE

10、，BADCAE（SAS）（2）BD、CE特殊位置关系为BDCE证明如下：由（1）知BADCAE，ADB=EDAE=90，E+ADE=90ADB+ADE=90即BDE=90BD、CE特殊位置关系为BDCE【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可做题时，有时需要先猜后证举一反三：【变式】如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.【答案】证明：AEAB，ADAC， EABDAC90 EABDAEDACDAE ，即DABEAC. 在DAB与EAC中， DABEAC （ASA） BDCE.2、（2016秋诸暨市期中

11、）如图，已知1=2，P为BN上的一点，PFBC于F，PA=PC求证：PCB+BAP=180【思路点拨】过点P作PEBA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明RtPEA与RtPFC全等，根据全等三角形对应角相等可得PAE=PCB，再根据平角的定义解答【答案与解析】证明：如图，过点P作PEBA于E，1=2，PFBC于F，PE=PF，PEA=PFB=90，在RtPEA与RtPFC中，RtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180，PCB+BAP=180【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅

12、助线构造出全等三角形是解题的关键举一反三：【变式】已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求证：EDAC【答案】证明：AEAB，BCAB， DAECBA90 在RtDAE 与RtCBA中， RtDAERtCBA （HL） ECAB CABEAF90， EEAF90，即AFE90 即EDAC类型二、等腰三角形3、如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BDBE，BADBCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由【思路点拨】要判断AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看FAC和FCA的关系因为BADBCE，因此我们只比较BAC和BCA的关系即可【答案与

13、解析】解：AFC是等腰三角形理由如下：在BAD与BCE中，BB，BADBCE，BDBE，BADBCE，BABC，BACBCA，BACBADBCABCE，即FACFCAAFCF，AFC是等腰三角形【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键举一反三：【变式】如图，12，ABAD，BD90，请判断AEC的形状，并说明理由【答案】解：AEC是等腰三角形理由如下：12，1323，即BACDAE，又ABAD，BD，ABCADE（ASA），ACAE即AEC是等腰三角形4、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形

14、为此，请你解答问题（1）（1）已知：如图，在ABC中，ABAC，A36，直线BD平分ABC交AC于点D求证：ABD与DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图、也具有这种特性请你在图、图中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）请你写出两个符合（3）

15、中一般规律的非等腰三角形的特征【思路点拨】（1）根据等边对等角，及角平分线定义,易得1236，C72，那么BDC72，可得ADBDCB,ABD与DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108的角分为36和72即可；（3）由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式【答案与解析】（1）证明：在ABC中，ABAC，ABCC，A36，ABCC（180-A）72，BD平分ABC，123631+A72，1A，3C，ADBD，

16、BDBC，ABD与BDC都是等腰三角形（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：2倍内角关系，如图045，其中，30，36，a；特征二：3倍内角关系，如图045，其中，30，36【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论类型三、尺规作图5、已知角和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角B=，腰长AB=c要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹已知：求作：【思路点拨】作射线BP，再作PBQ=；在射线BQ上截取BA=c；以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；连接AC则ABC为所求

17、【答案与解析】解：作法：（1）作射线BP，再作PBQ=；（2）在射线BQ上截取BA=c；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC则ABC为所求ABC就是所求作的三角形【总结升华】此题主要考查三角形的作法，是一些基本作图的综合应用举一反三：【变式】已知ABC，按下列要求作图：（保留作图痕迹，不写作法）（1）作BC边上的高AD；（2）作ABC的平分线BE（尺规作图）【答案】解：如图：类型四、角平分线、线段垂直平分线性质定理与逆定理6、如图，AD是ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线求证：（1）EADEDA（2）DFAC（3）EACB【思路点拨】（1）根据垂直平分线上任意

18、一点，到线段两端点的距离相等可得到AEDE，再根据等角对等边可得到EADEDA；（2）根据线段垂直平分线的性质证明AFDF，进而得到BADADF，再利用角平分线的性质可得到BADCAD，利用等量代换可得ADFCAD，再根据平行线的判定即可得到DFAC；（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论【答案与解析】证明：（1）EF是AD的垂直平分线，AEDE，EADEDA；（2）EF是AD的垂直平分线，AFDF，BADADF，AD是ABC的角平分线，BADCAD，ADFCAD，DFAC；（3）由（1）EADEDA，即ADECAD+EAC，ADEBAD+B，BADCAD，EACB【总结升华】此题主要考查

19、了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识举一反三：【变式1】如图，BP是ABC的外角平分线，点P在BAC的角平分线上求证：CP是ABC的外角平分线【答案】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，BP是ABC的外角平分线，PDAD，PFBC，PDPF（角平分线上的点到角两边的距离相等），点P在BAC的角平分线上，PDAD，PEAE，PDPE（角平分线上的点到角两边的距离相等），PFPE，PFBC，PEAE，CP是ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）【变式2】如图：在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB（2）AB=AF+2EB【答案】证明：（1）AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，DE=DC，在RtDCF和RtDEB中，RtCDFRtEBD（HL）CF=EB；（2）AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，CD=DE在ADC与ADE中，ADCADE（HL），AC=AE，AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB