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1、推荐中考数学黄金知识点系列专题25三角形专题25 三角形聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关

2、系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS

3、”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证

4、明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛典例分类考点典例一、三角形中位线【例2】（2016广西来宾第9题）如图，在ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A5B7C8D10【答案】D【解析】考点：三角形中位线定理【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形

5、中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用【举一反三】（2016辽宁葫芦岛第9题）如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AFBC，垂足为点F，ADE=30，DF=4，则BF的长为（）A4 B8 C2D4【答案】D【解析】试题分析：在RTABF中，AFB=90，AD=DB，DF=4，利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8，再由AD=DB，AE=EC，可得DEBC，ADE=ABF=30，所以AF=AB=4，由勾股定理可得BF=4故选D考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线考点典例二、等腰三角形【例2】已知

6、等腰ABC的两边长分别为2和3，则等腰ABC的周长为（） A 7 B 8 C 6或8 D 7或8【答案】D【解析】试题分析：因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论试题解析：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论【举一反三】（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的

7、周长是（）A13cm B14cm C13cm或14cm D以上都不对【答案】C.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系考点典例三、全等三角形【例3】（2016新疆生产建设兵团第4题）如图，在ABC和DEF中，B=DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABCDEF，这个条件是（）AA=D BBC=EF CACB=F DAC=DF【答案】D.【解析】试题分析：由B=DEF，AB=DE，添加A=D，利用ASA可得ABCDEF；添加BC=EF，利用SAS可得ABCDEF；添加ACB=F，利用AAS可得ABCDEF；故答案选D考点：全等三角形的判定.【点睛】本题考查了全等三角形的判

8、定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理【举一反三】（2016河北第21题）（本小题满分9分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.（1）求证：ABCDEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.第21题图【答案】(1)详见解析；（2）ABC=DEF，ACB=DFE,理由见解析.【解析】ABDE,ACDF,理由如下，ABCDEF，ABC=DEF，ACB=DFE,ABDE,ACDF.考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.考点典例四、相似三角形【例4】（2016

9、新疆生产建设兵团第7题）如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）ADE=BC BCADEABC DSADE：SABC=1：2【答案】D.【解析】考点：相似三角形的判定及性质.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用BDE的面积表示出ABC的面积是解题的关键【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔第7题）如图，E为ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，BEF的面积为4，则ABCD的面积为（）A30B27C14D32【答案】A【解析】考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的

10、性质考点典例五、位似三角形【例5】（2016湖北十堰第5题）如图，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，已知OB=3OB，则ABC与ABC的面积比为（）A1：3 B1：4 C1：5 D1：9【答案】D.【解析】试题分析：由OB=3OB，可得OB：OB=1:3，已知以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，即可得ABCABC，所以,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得ABC与ABC的面积比为1:9，故答案选D.考点：位似变换【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键【举一反三】如图，ABC与A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心

11、，位似比是1：2，已知ABC的面积为3，那么A1B1C1的面积是【答案】12【解析】ABC与A1B1C1为位似图形，ABCA1B1C1，位似比是1：2，相似比是1：2，ABC与A1B1C1的面积比为：1：4，ABC的面积为3，A1B1C1的面积是：34=12考点典例六：直角三角形【例6】（2016辽宁沈阳第9题）如图，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，则BC的长是（）A B4 C8 D4【答案】D.【解析】考点：解直角三角形.【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边【举一反三】（2016浙江宁波第16题）

12、如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）【答案】10+1.【解析】考点：解直角三角形的应用.课时作业能力提升一、选择题1. （2016河南第6题）如图，在ABC中，ACB=90，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【 】（A）6 （B）5 （C）4 （D）3【答案】D.【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定理.2. （2016河北第15题）如图，ABC中，A=78，AB=4，AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）第15题图【答

13、案】C.【解析】试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项项不能判定两个三角形相似，故答案选C.考点：相似三角形的判定.3. （2016山东滨州第6题）如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE的度数为（）A50 B51 C51.5 D52.5【答案】D.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质4. （2016山东枣庄第4题）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D等于A15 B17.5 C20D22.5【答案】A.【解析】试题分析：在ABC

14、中，AB=AC，A=30，根据等腰三角形的性质可得ABC=ACB=75，所以ACE=180-ACB=180-75=105，根据角平分线的性质可得DBC=37.5，ACD=52.5，即可得BCD=127.5，根据三角形的内角和定理可得D=180-DBC-BCD=180-37.5-127.5=15，故答案选A.考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.5. （2016湖南怀化第10题）在RtABC中，C=90，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（）A6cm B7cm C8cm D9cm【答案】C【解析】试题分析：已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+

15、（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C考点：解直角三角形6. （2016湖南永州第9题）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（）AB=C BAD=AE CBD=CE DBE=CD【答案】D【解析】考点：全等三角形的判定.二、填空题7. （2016山东枣庄第14题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41，=1.73）【答案】2

16、.9.【解析】试题分析：在RtAMD中，MAD=45，AM=4米，可得MD=4米；在RtBMC中，BM=AM+AB=12米，MBC=30，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.考点：解直角三角形.8. （2016山东济宁第12题）如图，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使AEHCEB【答案】AH=CB或EH=EB或AE=CE(添加其中任意一个即可)【解析】试题分析：根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE可证AEHCEB考点：全等三角形的判定.9. （2016湖南娄底第14题）如图，已知A=D，

17、要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【答案】B=DEF（答案不唯一，符合要求即可）【解析】考点：相似三角形的判定10.（2016福建泉州第11题）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=【答案】4考点：三角形中位线定理11.（2016福建泉州第14题）如图，在RtABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=【答案】5【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5.考点：直角三角形斜边上的中线三解答题12. （2016山东淄博第22题）（8分）如图，已知ABC，AD平分BAC交

18、BC于点D，BC的中点为M，MEAD，交BA的延长线于点E，交AC于点F（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质及平行线的性质易AEF=AFE，即可得AE=AF；（2）作CGEM，交BA的延长线于G，已知AC=AG，根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG，再利用三角形的中位线定理即可证得结论考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质13. （2016湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC，AC=BD（1）求证：ADBBCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由【答案】(1)详见解析；（

19、2）OA=OB，理由详见解析.【解析】考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定14. （2016湖南怀化第21题）如图，ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm（1）求证：AEHABC；（2）求这个正方形的边长与面积【答案】（1）详见解析；（2）正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2【解析】试题分析：（1）根据EHBC即可证明AEHABC；（2）如图设AD与EH交于点M，易证四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，由（1）知AEHABC，根据相似三角形的性质可得得，代入数据列出方程即可解决问题考点：相似三角形的判定与性质15. (2016湖北襄阳第19题)(本小题满分6分)如图，在ABC中AD平分BAC，且BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F(1)求证：AB=AC； (2)若AD=2，DAC=30，求AC的长【答案】（1）详见解析；（2）4.【解析】考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.