二次函数压轴题专题分类训练.docx

1、二次函数压轴题专题分类训练中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例 1】如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1 ， 4) ，交 x 轴于点 A(3 ， 0) ，交 y 轴于点 B.（1）求抛物线和直线 AB的解析式；（2）求 CAB的铅垂高 CD及 SCAB ；（3）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S PAB9 SCAB，8若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.yCBD1O1Ax图 2【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为 ( 2， 0) ，连结 OA，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转 120，得到线段 OB（1）求点 B

2、的坐标；（2）求经过 A、 O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 BOC的周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点 P是（ 2）中的抛物线上的动点， 且在 x 轴的下方， 那么 PAB是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由yBA O x2. 如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（ 4，0）、 B（ 2， 0），与 y1轴交于点 C，顶点为 DE（ 1， 2）为线段 BC的中点， BC的垂直平分线与 x 轴、 y 轴分别交于F、 G（1

3、）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标；（2）在直线EF上求一点，使的周长最小，并求出最小周长；yHCDHD（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，CEFK的面积最大？并求出最大面积GEAFOB x3如图，已知：直线 y x 3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、 C（ 1， 0）三点 .（ 1）求抛物线的解析式 ;（ 2）若点 D 的坐标为 （ -1 ，0），在直线 y x 3 上有一点 P, 使 ABO与 ADP相似，求出点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，

4、使 ADE的面积等于四边形 APCE的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由2题型二：构造直角三角形【例 2】如图，已知抛物线 y ax2+bx+c（ a 0）的对称轴为 x 1，且抛物线经过 A（ 1，0）、 C（ 0， 3）两点，与 x 轴交于另一点 B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴 x 1 上求一点 M，使点 M到点 A的距离与到点 C的距离之和最小，并求此时点 M的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点，求使 PCB 90o 的点 P 的坐标E【变式练习】1如图，抛物线 y= 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A

5、在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（1）求点 A、 B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当 ACD的面积等于 ACB 的面积时， 求点D的坐标；（3）若直线 l 过点 E（ 4， 0），M为直线 l 上的动点，当以 A、 B、 M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式32. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= a( x 1)2c(a 0) 与 x 轴交于 A、B 两点 ( 点 A在点 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，其顶点为M,若直线 MC的函数表达式为 ykx 3 , 与 x轴的交点为 N，且 COSBCO 3 10 。

6、10（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ总有公共点， 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度 ?y1O 1 x3. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y=k （ x2+x 1）的图象交于点 A（ 1， k）和点 B（ 1， k）（1）当 k= 2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数

7、都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当 ABQ是以 AB为斜边的直角三角形时，求 k 的值44. 如图（ 1），抛物线 y x2x 4与 y 轴交于点 A， E（ 0，b）为 y 轴上一动点，过点 E 的直线yx b与抛物线交于点、 .B C（1）求点 A 的坐标；（2) 当 b=0 时（如图（ 2），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当 b4 时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的 b，使得 BOC 是以 BC为斜边的直角三角形，若存在，求出 b；若不存在，说明理由 .y yCCEEBOxOxBAA图

8、（ 1）图（ 2）第26 题5题型三：构造等腰三角形【例 3】如图，已知抛物线23）与 x 轴交于点y ax bxa0A(1，0)B (30)，（和点 ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）在 x 轴上是否存在一点 Q 使得 ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ m， m），点 B 的坐标为（ n， n

9、），抛物线经过 A、 O、 B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB交 y 轴于点 C已知实数 m、 n（ m n）分别是方程 x2 2x 3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC与抛物线交于 D、 E两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、 BD当 OPC为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求 BOD面积的最大值，并写出此时点D 的坐标62. 如图，抛物线 y ax2 5ax 4 经过 ABC 的三个顶点，已知 BC x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC（1）写出 A,B,C 三点的

10、坐标并求抛物线的解析式；（ 2）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 PAB 是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由yCB1A0 1x3已知抛物线 yax2bx c(a0) 顶点为 C（ 1，1）且过原点 O. 过抛物线上一点 P（ x，5作垂线，垂足为M，连 FM（如图） .y）向直线 y4（1）求字母 a， b，c 的值；（2）在直线 x1 上有一点 F (1, 3) ，求以 PM为底边的等腰三角形PFM的 P 点的坐标， 并证4明此时 PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（ 1，t ），使 PM P

11、N恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 .7题型四：构造相似三角形【例 4】如图，已知抛物线经过 A（ 2，0）， B（ 3， 3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、 M、A 为顶点的三角形 BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1.如图，已知抛物线经过 A（4， 0）， B（ 1， 0），C（ 0， -2 ）

12、三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线 AC上方的该抛物线上是否存在一点 D，使得 DCA的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及 DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由（3） P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A、P、 M为顶点的三角形与 OAC相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由82.如图，二次函数的图象经过点D(0 ， 7 3 ) ，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截9得的线段 AB的长为 6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA+

13、PD最小，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使 QAB与 ABC相似？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由【例 5】如图，已知抛物线 y=错误！未找到引用源。 x2 - 错误！未找到引用源。 (b+1)x+ 错误！未找到引用源。 （ b 是实数且 b 2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在， 求出点

14、 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO， QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由9【变式练习】1. 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 2，3），线段 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B ，将线段 AB 绕点 A 逆时针方向旋转 90，点 B 落在点 C 处，直线 BC 与 x 轴的交于点 D （1）试求出点 D 的坐标；（2）试求经过 A 、 B 、 D 三点的抛物线的表达式，y并写出其顶点 E 的坐标；（3）在（ 2）中所求抛物线的对称轴上

15、找点F ，使得BA以点 A 、 E 、 F 为顶点的三角形与 ACD相似1O 1x(图 7)2已知直线 y1 x1与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将 AOB绕点 O顺时针旋转 90，2使点落在点，点落在点，抛物线yax2bx cA D CABACBD过点、 、 ，其对称轴与直线交于点，P（1）求抛物线的表达式；（2）求 POC的正切值；y（3）点 M在 x 轴上，且 ABM与 APD相似，求点 M的坐标。1O 1 x1023如图，二次函数 y=ax +bx+c 的图象交 x 轴于 A（ 1， 0），B（ 2，0），交 y 轴于 C（ 0，2），过 A， C 画直线（1）求二次函数的

16、解析式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长；（3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H 若 M 在 y 轴右侧，且 CHM AOC （点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标； 若 M 的半径为 ，求点 M 的坐标11题型五：构造梯形【例 6】已知，矩形 OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为 (4,0) ，点 C的坐标为，直线2(0，2)yx与边相交于点BCD（1）求点 D的坐标；3（2）抛物线 yax 2bxc 经过点 A、 D、 O，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点 M，使 O

17、、D、 A、 M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1. 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2( 1)x与直线ykx的一个公共点为A(4 ，a8) （1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点 P 在线段 OA上，过点 P作 y 轴的平行线交（ 1）中抛物线于点 Q，求线段 PQ长度的最大值；（3）记（ 1）中抛物线的顶点为 M，点 N在此抛物线上，若四边形 AOMN恰好是梯形，求点 N 的坐标及梯形 AOMN的面积2. 已知二次函数的图象经过 A（ 2，0）、C(0 ，12) 两点，且对称轴为直线 x 4，设顶点为点12P，与

18、x 轴的另一交点为点 B（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图 1，在直线 y 2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M是线段 OP上的一个动点（ O、P两点除外），以每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M作直线 MN/ x 轴，交 PB于点 N 将 PMN沿直线 MN对折，得到 P1MN 在动点 M的运动过程中，设 P1MN与梯形 OMNB的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式3. 如图 1，二次函数 yx2pxq( p 0) 的图象与 x

19、 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 1），的面积为 5 ABC4（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点（0， ）作y轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求mMmABC的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使以 A、 B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由13题型六：构造平行四边形【例 7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（ 1， 0）， B（ 3， 0），C（ 0， 1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点 Q在 y 轴上，点 P 在抛物线上， 要使以点 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边

20、形，求所有满足条件的点 P 的坐标。【变式练习】1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 （ m 为常数）的图象与 x 轴交于点2A（ 3，0），与 y 轴交于点 C以直线 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax +bx+c（ a，b，c 为常数，且 a0）经过 A ，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B （1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若

21、 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点， 过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于 M 1（ x1， y1）， M 2（ x2， y2）两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程142. 如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过( 4,0)、 (0, 4) 、 (2,0) 三点ABC（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 m， MAB的面积为 S，求 S 关于 m的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点 P 是抛物线上的动点， 点 Q是直线 y x 上的动点， 判断有几个位置能使以点P、 、O为顶点的四边形为平行四边形

22、，直接写出相应的点Q的坐标Q B3.如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A（ 3，0），点 B（ 1，0），交 y 轴于点 E（ 0， 3）点C是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC的中点，直线 l 过点 F 且与 y 轴平行直线 y=x+m过点 C，交 y 轴于 D 点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 K 为线段 AB上一动点， 过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD交于点 H，与抛物线交于点 G，求线段 HG长度的最大值；（3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C， M， N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标15【例 8

23、】已知平面直角坐标系（如图 1），一次函数3的图像与y轴交于点，xOyyx 3A4点 M在正比例函数 y 3 x 的图像上，且 MO MA二次函数2y x2 bx c 的图像经过点 A、M（1）求线段 AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B在 y 轴上，且位于点 A下方，点 C在上述二次函数的图像上，点 D 在一次函数 y3 x 3 的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点 C的坐标4【变式练习】1. 将抛物线 c1： y3x23 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式；（2）现将抛物线c1 向左平移个单位长度，平移后得到新抛物线

24、的顶点为，与x轴的交mM点从左到右依次为A、 B；将抛物线c2向右也平移 m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 ，与x轴的交点从左到右依次为、 NDE当 B、 D是线段 AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点、 、 、为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，A N EM请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由16题型七：线段最值问题【例 9】如图，抛物线 y= x2+bx 2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C点，且 A（ 1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断 ABC 的形状，证明你的结论；（3）点 M（ m， 0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD的值最小时，求 m的值【变式练习】21.如图，已知抛物线 y ax bx c 与 y 轴交于点 A(0 ，3) ，与 x 轴分别交于 B(1 ，0) 、C(5 ，0) 两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自的中点