acm搜索算法dfs排列组合.docx

1、acm搜索算法dfs排列组合排列与组合（非递归的DFS算法） 组合的生成与排列相似，组合中数字相同顺序不同的可以归纳为一个组合，可以按升序生成或降序生成，即后面搜索到的数要大于（或小于）前面的数，我在这里以升序为例。#include void comb(int m,int n)int t,k,i,a20;k=1;t=0;a0=0;ak=0;while(k0) ak+; /向下搜索while(ak=m)&(ak=ak-1)ak+; /判断当前结点是不是可行的，若不是则在容许范围内继续搜索if(ak=m) /有没有超出范围if(k=n) /是不是目标解for(i=1;i=n;i+)printf(%

2、d,ai); t+; /输出完毕回溯到上一层，继续搜索其他解k-;printf(n);else /不是则进行下一层的搜索k+;ak=0;else k-; /若当前状态找不到可行的解则回溯printf(sum:%d,t);int main()int m,n;scanf(%d%d,&m,&n);comb(m,n); return 0; #include /组合using namespace std;int n1001, vtd1001, digits, nums;void dfs(int x, int crnt);int main()memset(n, 0, sizeof n);memset(vt

3、d, 0, sizeof vtd);cin nums digits;dfs(1, 1);return 0;void dfs(int x, int crnt)if(x = digits)for(int j = crnt; j = nums; j+)if(!vtdj)vtdj = 1;nx = j;dfs(x + 1, j);vtdj = 0; cout ni;cout endl;#include /排列using namespace std;int n, m;int vst11;int p11;void_read_()cin n m;void_outp_()for( int i = 1; i =

4、 m; i+ )cout pi;cout endl;void_dfs_( int x )if( x = m )for( int i = 1; i m )_outp_();intmain()_read_();_dfs_( 1 );return 0;前言 这篇论文主要针对排列组合对回溯算法展开讨论，在每一个讨论之后，还有相关的推荐题。在开始之前，我们先应该看一下回溯算法的概念，所谓回溯：就是搜索一棵状态树的过程，这个过程类似于图的深度优先搜索（DFS），在搜索的每一步（这里的每一步对应搜索树的第i层）中产生一个正确的解，然后在以后的每一步搜索过程中，都检查其前一步的记录，并且它将有条件的选择以后的

5、每一个搜索状态（即第i+1层的状态节点）。需掌握的基本算法：排列：就是从n个元素中同时取r个元素的排列，记做P(n,r)。（当r=n时，我们称P(n,n)=n!为全排列）例如我们有集合OR = 1,2,3,4,那么n = |OR| = 4,切规定r=3，那么P(4,3)就是：1,2,3; 1,2,4; 1,3,2; 1,3,4;1,4,2;1,4,3;2,1,3;2,1,4; 2,3,1; 2,3,4; 2,4,1; 2,4,3; 3,1,2; 3,1,4; 3,2,1; 3,2,4; 3,4,1; 3,4,2; 4,1,2; 4,1,3; 4,2,1; 4,2,3; 4,3,1; 4,3,2

6、算法如下：int n, r;char usedMaxN;int pMaxN;void permute(int pos) int i;/*如果已是第r个元素了，则可打印r个元素的排列 */if (pos=r) for (i=0; ir; i+)cout (pi+1);cout endl;return;for (i=0; in; i+)if (!usedi) /*如果第i个元素未用过*/*使用第i个元素，作上已用标记，目的是使以后该元素不可用*/usedi+;/*保存当前搜索到的第i个元素*/ppos = i;/*递归搜索*/permute(pos+1);/*恢复递归前的值，目的是使以后改元素可用

7、*/usedi-;相关问题UVA 524 Prime Ring Problem可重排列：就是从任意n个元素中，取r个可重复的元素的排列。例如，对于集合OR=1,1,2,2, n = |OR| = 4, r = 2,那么排列如下：1,1; 1,2; 1,2; 1,1; 1,2; 1,2; 2,1; 2,1; 2,2; 2,1; 2,1; 2,2则可重排列是：1,1; 1,2; 2,1; 2,2.算法如下：#define FREE -1int n, r;/*使元素有序*/int EMaxN = 0,0,1,1,1; int PMaxN;char usedMaxN;void permute(int

8、pos)int i;/*如果已选了r个元素了，则打印它们*/if (pos=r) for (i=0; ir; i+)cout Pi;cout endl;return;/*标记下我们排列中的以前的元素表明是不存在的*/Ppos = FREE;for (i=0; in; i+)/*如果第I个元素没有用过，并且与先前的不同*/if (!usedi & Ei!=Ppos) /*使用这个元素*/usedi+;/*选择现在元素的位置*/Ppos = Ei;/*递归搜索*/permute(pos+1);/*恢复递归前的值*/usedi-;相关习题UVA 10098 Generating Fast, Sort

9、ed Permutations组合：从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合，例如OR = 1,2,3,4, n = 4, r = 3则无重组合为：1,2,3; 1,2,4; 1,3,4; 2,3,4.算法如下：int n, r;int C5;char used5;void combine(int pos, int h)int i;/*如果已选了r个元素了，则打印它们*/if (pos=r) for (i=0; ir; i+)cout Ci;cout endl;return;for (i=h; i=n-r+pos; i+) /*对于所有

10、未用的元素*/if (!usedi) /*把它放置在组合中*/Cpos = i;/*使用该元素*/usedi+;/*搜索第i+1个元素*/combine(pos+1,i+1);/*恢复递归前的值*/usedi-;相关问题：Ural 1034 Queens in peaceful position可重组合：类似于可重排列。例 给出空间中给定n(n10)个点，画一条简单路径，包括所有的点，使得路径最短。解:这是一个旅行售货员问题TSP。这是一个NP问题，其实就是一个排列选取问题。算法如下：int n, r;char usedMaxN;int pMaxN;double min;void permut

11、e(int pos, double dist)int i;if (pos=n) if (dist min) min = dist;return;for (i=0; in; i+)if (!usedi) usedi+;ppos = i;if (dist + cost(pointppos-1, pointppos) min)permute(pos+1, dist + cost(pointppos-1, pointppos);usedi-;例对于0和1的所有排列，从中同时选取r个元素使得0和1的数量不同。解 这道题很简单，其实就是从0到2r的二元表示。算法如下：void dfs(int pos)if

12、 (pos = r)for (i=0; ir; i+) coutpi;coutendl;return;ppos = 0;dfs(pos+1);ppos = 1;dfs(pos+1);相关问题：Ural1005 Stone pile1060 Flip Game1152 The False Mirrors例找最大团问题。一个图的团，就是包括了图的所有点的子图，并且是连通的。也就是说，一个子图包含了n个顶点和n*(n-1)/2条边，找最大团问题是一个NP问题。算法如下：#define MaxN 50int n, max;int pathMaxNMaxN;int inCliqueMaxN;void d

13、fs(int inGraph)int i, j;int GraphMaxN;if ( inClique0+inGraph0max ) max=inClique0;/*对于图中的所有点*/for (i=1; i=inGraph0; i+)/*把节点放置到团中*/+inClique0;inCliqueinClique0=inGraphi;/*生成一个新的子图*/Graph0=0;for (j=i+1; jn;while (n 0)for (i=0; in; i+)for (j=0; jpathij;max = 1;/*初始化*/inClique0= 0;inGraph0 = n;for (i=0;

14、 in; i+) inGraphi+1=i;dfs(inGraph);coutmaxn;return 0;尽管排列组合是生活中经常遇到的问题，可在程序设计时，不深入思考或者经验不足都让人无从下手。由于排列组合问题总是先取组合再排列，并且单纯的排列问题 相对简单，所以本文仅对组合问题的实现进行详细讨论。以在n个数中选取m(0m=m0。/ b1.M用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，/ 常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个参数仅用来输出结果。void combine( int a, int n, int m, int b, const int M ) for(in

15、t i=n; i=m; i-) / 注意这里的循环范围bm-1 = i - 1;if (m 1)combine(a,i-1,m-1,b,M);else / m = 1, 输出一个组合 for(int j=M-1; j=0; j-)cout abj ;cout endl;因为递归程序均可以通过引入栈，用回溯转化为相应的非递归程序，所以组合问题又可以用回溯的方法来解决。为了便于理解，我们可以把组合问题化归为图 的路径遍历问题，在n个数中选取m个数的所有组合，相当于在一个这样的图中（下面以从1,2,3,4中任选3个数为例说明）求从1,1位置出发到达 m,x(m=x n ? n : m;int* or

16、der = new intm+1; for(int i=0; i=m; i+)orderi = i-1; / 注意这里order0=-1用来作为循环判断标识int count = 0; int k = m;bool flag = true; / 标志找到一个有效组合while(order0 = -1)if(flag) / 输出符合要求的组合 for(i=1; i=m; i+) cout aorderi ;cout endl;count+;flag = false;orderk+; / 在当前位置选择新的数字if(orderk = n) / 当前位置已无数字可选，回溯orderk- = 0;co

17、ntinue; if(k m) / 更新当前位置的下一位置的数字 order+k = orderk-1;continue;if(k = m)flag = true;delete order;return count;下面是测试以上函数的程序：int main()const int N = 4;const int M = 3;int aN;for(int i=0;iN;i+)ai = i+1;/ 回溯方法cout combine(a,N,3) endl; / 递归方法int bM;combine(a,N,M,b,M); return 0;由上述分析可知，解决组合问题的通用算法不外乎递归和回溯两种

18、。在针对具体问题的时候，因为递归程序在递归层数上的限制，对于大型组合问题而言，递归不是一个好的选择，这种情况下只能采取回溯的方法来解决。n个数的全排列问题相对简单，可以通过交换位置按序枚举来实现。STL提供了求某个序列下一个排列的算法next_permutation，其算法原理如下：1. 从当前序列最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令前面一个元素为*i，后一个元素为*ii，且满足*i*ii；2. 再次从当前序列末端开始向前扫描，找出第一个大于*i的元素，令为*j（j可能等于ii），将i，j元素对调；3. 将ii之后（含ii）的所有元素颠倒次序，这样所得的排列即为当前序列的下一个排列。其实现代码如

19、下：template bool next_permutation(BidirectionalIterator first, BidirectionalIterator last) if (first = last) return false; / 空範圍BidirectionalIterator i = first;+i;if (i = last) return false; / 只有一個元素i = last; / i 指向尾端-i;for(;) BidirectionalIterator ii = i;-i;/ 以上，鎖定一組（兩個）相鄰元素if (*i *ii) / 如果前一個元素小於後一

20、個元素 BidirectionalIterator j = last; / 令 j指向尾端while (!(*i *-j); / 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素iter_swap(i, j); / 交換 i, jreverse(ii, last); / 將 ii 之後的元素全部逆向重排return true;if (i = first) / 進行至最前面了 reverse(first, last); / 全部逆向重排return false; 下面程序演示了利用next_permutation来求取某个序列全排列的方法：int main()int ia = 1,2,3,4;vecto

21、r iv(ia,ia+sizeof(ia)/sizeof(int);copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator(cout, );cout endl;while(next_permutation(iv.begin(),iv.end()copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator(cout, );cout endl;return 0;注意：上面程序中初始序列是按数值的从小到大的顺序排列的，如果初始序列无序的话，上面程序只能求出从当前序列开始的后续部分排列，也就是说next_permutation求出的排列是按排列从小到大

22、的顺序进行的。1。最近一直在考虑从m个数里面取n个数的算法。最容易理解的就是递归，但是其效率，实在不能使用。一直找寻中，今日得果2。算法来源与互联网组合算法 本程序的思路是开一个数组，其下标表示1到m个数，数组元素的值为1表示其下标 代表的数被选中，为0则没选中。 首先初始化，将数组前n个元素置1，表示第一个组合为前n个数。 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为 “01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。 当第一个“1”移动到数组的m-n的位置，即n个“1”全部移动到最右端时，就得 到了最后一个组合。 例如求5中选3的组合： 1 1 1

23、 0 0 /1,2,3 1 1 0 1 0 /1,2,4 1 0 1 1 0 /1,3,4 0 1 1 1 0 /2,3,4 1 1 0 0 1 /1,2,5 1 0 1 0 1 /1,3,5 0 1 1 0 1 /2,3,5 1 0 0 1 1 /1,4,5 0 1 0 1 1 /2,4,5 0 0 1 1 1 /3,4,5 全排列算法 从1到N，输出全排列，共N！条。 分析：用N进制的方法吧。设一个N个单元的数组，对第一个单元做加一操作，满N进 一。每加一次一就判断一下各位数组单元有无重复，有则再转回去做加一操作，没 有则说明得到了一个排列方案。/递归算法全排列是将一组数按一定顺序进行排列

24、，如果这组数有n个，那么全排列数为n!个。现以1, 2, 3, 4, 5为例说明如何编写全排列的递归算法。1、首先看最后两个数4, 5。 它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。2、再看后三个数3, 4, 5。它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六组数。即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.从而可以推断，设一组数p = r1, r2, r3, . ,rn, 全排列为perm(p)，pn = p - rn。因此perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), . , rnperm(pn)。当n = 1时perm(p = r1。为了更容易理解，将整组数中的所有的数分别与第一个数交换，这样就总是在处理后n