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1、静力学1For personal use only in study and research; not for commercial use第二十五讲 静力学 一、内容提要：本讲主要是讲解静力学的基本概念、力的分解、力的投影、力对点的矩与力对轴的矩、平面汇交力系的合成与平衡、力偶理论等问题。二、本讲的重点是：静力学公理、常见的约束类型、 力对点的矩、平面汇交力系、平面力偶系的合成与平衡本讲的难点是：受力图分析、平面力偶系的合成与平衡三、内容讲解： 1、静力学的基本概念：(一)质点、刚体及质点系质点具有几何位置，不计大小形状而有一定质量的物体。刚体形状大小都要考虑的，但在任何受力情况下体内任意

2、两点的距离保持不变的物体。质点系由一些相互联系着的质点组成，又称为系统或机械系统。平衡的概念平衡是指物体相对于周围物体（惯性参考系）保持其静止或作匀速直线运动的状态。(二)力力是物体之间的相互作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生变化。在理力中仅讨论力的运动效应，不讨论变形效应。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点三要素，因此力是矢量，它符合矢量运算法则。经验表明，作用于刚体的力可沿其作用线移动而不致改变其对于刚体的运动效应。力的这种性质称为力的可传性，所以力是滑动矢量。(三)静力学公理公理一(二力平衡公理)：作用在同一刚体的两个力成平衡的必要与充分条件为等量、反向、共线。只受两个

3、力作用并处于平衡的物体称为二力体，如果物体是个杆件，也称二力杆。公理二(加减平衡力系公理)：在任一力系中加上或减去一个平衡力系，不改变原力系对刚体的运动效应。公理三(力的平行四边形法则)：作用于同一质点或刚体上同一点的两个力，可以按平行四边形法则合成。公理四(作用与反作用定律)：两物体间相互作用力同时存在，且等量、反向、共线，分别作用在这两个物体上。此处应注意：虽然作用力与反作用力大小相等，方向相反，但分别作用在两个不同的物体上。因此决不可认为这两个力相互平衡。这与公理一有本质区别，不能混同。公理五(刚化原理)：如变形体在已知力系作用下处于平衡状态，则将此变形体转换成刚体，其平衡状态不变。(四

4、)三力平衡定理刚体受不平行的三个力作用而处于平衡时，则此三力的作用线必共面且汇交于一点。(五)约束与约束反力阻碍物体自由运动的限制条件称为约束。约束是以物体相互接触的方式构成的。约束对于物体的作用称为约束反力或约束力，简称反力。约束力的方向总是与约束所能阻止的物体运动方向相反。约束力的作用点就是物体上与作为约束的物体相接触的点。常见的约束类型：（1）具有光滑接触面的约束所谓光滑接触面，是忽略摩擦。这类约束的特点是只能承受压力，不能承受拉力，只能限制物体沿两接触面在接触处的公法线而趋向支承接触面的运动。因此，光滑接触面以物体的约束反力，作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向受力物体。即约

5、束反力为压力，常用字母N来表示。（2）柔软的绳类约束工程实际中的绳索、链条和皮带等均属于绳类约束。由于柔软的绳类约束只能承受拉力，只能限制物体沿着绳索伸长的方向运动。所以绳类约束对物体的约束反力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体。（3）光滑圆柱铰链约束分为：圆柱铰链、固定铰支座、活动铰支座三种形式。圆柱铰链：简称铰链，是工程结构和机械中常用的连接部件。其约束反力作用在垂直于销钉轴线的平面内，通过圆孔中心，方向不定。为了计算方便，在受力分析中，铰链的约束反力通常用沿坐标轴方向且作用于圆孔中心的两个正交分力XA、YA来表示。固定铰支座：用圆柱铰链边接的两个构件中，如果其中一个构件被固定在基础或静

6、止的机架上，则称为固定铰支座，简称铰支座。其约束反力也常用一对正交分力XA、YA来表示。活动铰支座（辊轴支座）：用圆柱铰链边接的两个构件中，其中一个又与支座连接，而支座下面安装几个辊轴（滚柱），这就构成了辊轴支座。这种支座只能阻止物体沿支承面法线方向移动，不能阻物体沿支承面移动和绕销钉的轴线转动，故常称活动铰支座。其约束反力垂直于支承面，通过圆孔中心，通常为压力。（六）受力图物体的受力可分为两类：一类是主动力，如物体的重力、风力、压力；另一类是约束对物体的约束反力，为未知的被动力。无论是静力学还是动力学问题，在求解时都须首先分析物体的受力情况。因此把确定的考察对象(称为脱离体)从与它相联系的物

7、体中单独取出，解除它所受到的约束并代以对应的约束反力，再画上原来作用在该考察对象上的主力。这样的图形称为该考察对象的受力图，或示力图。画物体的受力图是力学中重要一环，步骤如下(1)首先根据问题的要求确定研究对象。(2)取分离体，即把研究对象从周围的物体中分离出来。(3)画上主动力。(4)根据约束类型，画出约束反力。例1、重为G的梯子AB，搁在水平地面和铅直墙壁上，在D点用水平绳DE与墙相连，如下图所示，若略去摩擦，试画出梯子的受力图。解 ： (1)以圆球O为研究对象，画出分离体图，先画上主动力w，根据约束类型D、E处为光滑接触面约束，画上杆对球的约束反力ND和墙对球的约束反力NE，其受力图如左

8、边第二个图所示。(2)以AB杆为研究对象，画出分离体图，A处为固定铰支座约束，画上约束反力为一对正交分力XA、YA，B处受绳索约束，画上拉力TB，D处为光滑面约束，画上法向反力ND ，它与ND是作用力与反作用力的关系。其受力图如图第三个图所示。杆AB的受力还可画成第四个所示的形式。根据三力平衡必汇交的原理，力TB和ND 相交于F点，则其余一个力NA必然交于F点，从而确定约束反力NA的方位必沿A、F两点连线方向，如图所示。2、力的分解、力的投影、力对点的矩与力对轴的矩（一）力沿直角坐标轴分解和在直角坐标轴上的投影F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk式中，i,j,k分别为沿x,y,z轴的单位矢量

9、，X，Y，Z为力F在x,y,z轴上的投 影，且分别为X=Fcos=Fxycos=Fsincos Y= Fcos= Fxysin=FsinsinZ= Fcos 式中、为力F与各轴正向间的夹角，Fxy为力F在Oxy平面上的投影。如上图所示。(二)力对点的矩在平面问题中，力F对矩心0的矩表示为：M0(F)=Fa 式中a为矩心0点至力F作用线的距离，称为力臂。若力使物体绕矩心转动的方向即力矩的转向为逆时针向，上式取正号，反之则取负号。力矩具有以下性质：（1）力F对于O点之矩不仅取决于力F的大小，同时还与矩心的位置有关。（2）力F对于任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变（因为力及力臂的大小均

10、未改变）。（3）力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。（4）互成平衡的两个力对于一点之矩的代数和等于零。此处应注意的是，力矩的概念虽然是由力对物体上固定点的作用而引出的，实际上，作用于物体上的力可以对任意点取矩。合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于所有各分力对于同点的矩的代数和例3、作用于齿轮上的啮合力Pn=1000N，节圆直径D=160mm，压力角=200如下图所示，求啮合力Pn对轮心O之矩。(三)力对轴的矩力F对任一z轴的矩定义为：力F在垂直z轴的平面上的投影对该平面与z轴交点0的矩，即Mz(F)=Mz=Mo(Fxy)=Fxya=2OA B 大小等于二倍三角形

11、OA B 的面积，正负号用右手螺旋法则确定。其单位与力矩的单位相同。从左图中可见，OA B 的面积等于OAB面积在O A B 平面(即Oxy面)上的投影。由此可见，力F对z轴的矩Mz等于力F对z轴上任一点0的矩Mo在z轴上的投影，或力F对点0的矩Mo在经过0点的任一轴上的投影等于力F对该轴的矩。这就是力对点的矩与对通过该点的轴的矩之间的关系。因而力F对直角坐标轴的矩为Mx(F)=Mx=yZ一zY My(F)=My=zX一xZMz(F)=Mz=xYyX2、力的分解、力的投影、力对点的矩与力对轴的矩（一）力沿直角坐标轴分解和在直角坐标轴上的投影F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk式中，i,j,k

12、分别为沿x,y,z轴的单位矢量，X，Y，Z为力F在x,y,z轴上的投 影，且分别为X=Fcos=Fxycos=Fsincos Y= Fcos= Fxysin=FsinsinZ= Fcos 式中、为力F与各轴正向间的夹角，Fxy为力F在Oxy平面上的投影。如上图所示。(二)力对点的矩在平面问题中，力F对矩心0的矩表示为：M0(F)=Fa 式中a为矩心0点至力F作用线的距离，称为力臂。若力使物体绕矩心转动的方向即力矩的转向为逆时针向，上式取正号，反之则取负号。力矩具有以下性质：（1）力F对于O点之矩不仅取决于力F的大小，同时还与矩心的位置有关。（2）力F对于任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移

13、动而改变（因为力及力臂的大小均未改变）。（3）力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。（4）互成平衡的两个力对于一点之矩的代数和等于零。此处应注意的是，力矩的概念虽然是由力对物体上固定点的作用而引出的，实际上，作用于物体上的力可以对任意点取矩。合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于所有各分力对于同点的矩的代数和3、平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系是指：各力的作用线位于同一平面内且汇于同一点的力系。（一）平面汇交力系合成的几何法及平衡的几何条件：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多边形的封闭边来表示，即合力矢等于原力系

14、中所有各力的矢量和。平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力构成的力多边形自行封闭，或各力的矢量和等于零。例4、如下图所示，压路机的碾子重P=20kN，r=60cm，欲将此碾子拉过高h=8cm的障碍物，在其中心O作用一水平拉力F，求此拉力的大小和碾子对障碍物的压力。解：选碾子为研究对象并取分离体画受力图。碾子在重力P、地面支承力NA、水平拉力F和障碍物的支反力NB的作用下处于平衡，如图b所示。这些力汇交于O点是平面汇交力系。当碾子刚离开地面时，NA=0，拉力F有最大值，这就是碾子越过障碍物的力学条件。由几何关系数解根据平面汇交力系平衡的几何条件，P、NB 和F三个力应组成一个封闭的力三角

15、形，从图中可知，力三角形是一个直角三角形，应用三角公式求得F=Ptg NB=P/cos由作用力反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力NB 也等于23.1kN。通过上例，可总结几何法解题的主要步骤如下：（1）选取研究对象，并画出分离体简图（2）画受力图。先画出主动力，再根据约束类型画出约束反力，若有的约束反力的作用线不能根据约束类型直接确定（如铰链）而物体又只受三个力作用时，可根据三力平衡必汇交的原理来确定该力的作用线。（3）作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始，根据首尾相接的矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指向。（

16、4）求出未知量。 用三角公式计算出来。（二）平面汇交力系合成的解析法及解析法平衡条件：合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。例5、下图所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别持重为P和2P的重物，试求平衡时绳AC和水平线所构成的角及D处的约束反力。解：选圆柱为研究对象，取分离体一画受力图，圆柱体在重力Q、两绳的拉力T1、T2及地面支承反力ND的作用下处于平衡，且这些力均汇交于一点A，选坐标系如图所示。由上例可得出平面汇交力系解析法作题的主要步骤为：（1）选取研究对象（2）作受力图（3）选取坐标系（即投影轴），列平衡方程（4）解

17、平衡方程，求出未知数。用解析法求解时，如果求出某未知力为负值，就表示这个力的实际指向与受力图中所假设的方向相反。4、力偶理论：（一）力偶与力偶矩力偶：把大小相等，方向相反，作用线相互平行的两个力叫做力偶。以符号 表示。力偶臂：两力作用线间的垂直距离d叫做力偶臂。下面简述力偶的性质：性质1、力偶既没有合力，本身又不是一个基本的力学量，对物体只产生转动效应，力偶矩恒等于Fd这一性质就说明，力偶没有合力，即不能用一个力代替，也不能与一个力平衡。力偶对物体只有转动效应，没有移动效应，力偶在任一轴上的投影为零，力偶只能与另一力偶成平衡。性质2、作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相

18、同，则该两个力偶彼此等效，这就是平面力偶的等效定理。由性质2，也就是等效定理，我们可以得到以下两个重要推论：推论1、力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。推论2、只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 , , .For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales.