1923 正方形2.docx

1、1923 正方形219.2.3 正方形（2）(第11课时) 三维目标 一、知识与技能 1知道正方形的判定方法 2会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算 二、过程与方法 1经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法 2利用判定条件解决实际问题 三、情感态度与价值观 1进一步加深对“特殊与一般”的认识 2通过正方形有关知识的学习，感受正方形的完美特征； 3理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点 教学重点 掌握正方形的判定条件 教学难点 合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算 教具

2、准备 多媒体课件 教学过程 一、创设问题情境，引入新课师：同学们，我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形是特殊的平行四边形 师：播放课件并提出问题： 1怎样判定一个四边形是矩形？ 2怎样判定一个四边形是菱形？ 3怎样判定一个四边形是平行四边形？ 4怎样判定一个平行四边形是矩形、菱形？ （目的在于系统复习平行四边形、矩形、菱形的判定方法，让学生通过框架图理清思考方法，为正方形的判定做准备） 议一议： 你有什么办法

3、判定一个四边形是正方形？ 二、讲授新课 1探索正方形的判定条件 学生活动： 四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法 （1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础这三个方法还可写成：有一个角

4、是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断 2正方形判定条件的应用 【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由 （1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； （2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （4）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （5

5、）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 师生共析： （1）真命题因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形的内角和定理知每个角为90，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可判定此命题为真命题 （2）真命题四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真 （3）真命题方法一对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形可判定其为真 方法二： 正方形 方法三： 正方形（4）假命题对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行

6、四边形是菱形，所以它不一定是正方形如左下图满足AO=CO，BO=DO且ACBD但四边形ABCD不是正方形 （5）假命题它可能是任意四边形如右上图ACBD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形 总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF=45，试说明EF=BE+DF 师生共析： 要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等，此时可依靠全等三角形来解决 像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法 解

7、：将ADF旋转到ABG， 则ADFABG， AF=AG，DAF=BAG，DF=BG EAF=45且四边形ABCD是正方形， DAF+BAE=45， GAB+BAE=45 即GAE=45， AEFAEG（SAS） EF=EG=EB+BG=EB+DF 【例3】画一个正方形，使它的对角线长等于30cm，并说明画法的依据 画法：1画线段AC=30cm，取AC的中点O 2过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm 3连结AB、BC、CD、DA则四边形ABCD就是所要画的正方形 证明：AO=CO，BO=DO， 四边形ABCD是平行四边形 又AC=BD， ABCD是矩形 ACBD， ABC

8、D是菱形 四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形） 说明：由学生分析画法，教师做课件演示，在证明过程中让学生逐一说出判定理由，以加深对正方形的判定方法的认识 三、随堂练习 课本P112练习3 解：（1）、（2）、（3）、（4）都是正方形 通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用 四、课时小结 师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时播放课件，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用 五、课后作业 习题192 14、15、16、17 板书设计 1923 正方形（二） 1正方形的判定方法 2应用举例 例1 例2 例3 3随堂练习 4小结 5作业 习题192 14

9、、15、16、17 活动与探究 如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路花将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种） （图形如P115的图） 解：过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分下面是其中的三种分法 习题详解 习题192 1是一个矩形 因为1=2，所以OB=OC 又四边形ABCD是平行四边形 OB=OD，OC=OA AC=BD 由对角线相等的平行四边形是矩形知，四边形ABCD是矩形 四个角都是直角四边形是矩形 3能得到矩形踏板 分别与长边垂直方向锯两次，说明对边

10、平行且有两个直角 矩形 4A=60 B=30 5（1）BAD=60 ABC=120 （2）AB=6cm AC=6cm6 四边形ABCD是菱形 7剪口与折痕成45的角 8矩形因为四个角都是直角的四边形是矩形9BCD=22.5 DCA=B=90-BCD=67.5 EC=EA=EBB=ECB=67.5， ECD=ECB-DCB=45 四边形AMEN是菱形 同理可证四边形EFCG也是菱形 11AD=5（cm）， S菱形ABCD=ABDH=ACBD， DH=4.8（cm） 12B（-2，0），C（0，-2），D（2，0） 13四边形EFMN是正方形， AE=BF=CM=DN， 四边形ABCD是正方形，

11、AB=BC=CD=DA， AN=DM=CF=BE 又EAN=MDN=FCM=EBF=90 ANEDMNCFMBEF EF=FM=MN=NE 四边形EFMN是菱形 又由四个直角三角形全等还可得 NEA+FEB=90， FEN=90， 四边形EFMN是正方形 14能拼成下列四种四边形 图（1）中AB=m DD= 图（2）中AB=m DD=m 图（3）中AD=h BC=2 图（4）中BD=n AA=2 15四边形ABCD是正方形， AB=AD DEAG， ADE+EAD=90 又BAE+EAD=90， BAE=EDA 又BFDE，BFAG ABFDAE AE=BF AF-BF=AF-AE=EF 16

12、作BO的中点M，CO的中点N，连接MN、EM、DN、DE，因为D、E分别是AB、AC的中点，所以EDBC，MNBC 所以EDMN 于是得四边形EDNM是平行四边形 所以OM=OD， 而OM=BO， 所以BO=2OD BC边上的中线是过定点O，这是因为取BC的中点H，连OH，NH，DN则DNOA NHOB，又OB=2OD， NHOD 四边形OHND是平行四边形 DNOH 点A、O、H三点共线，所以说BC边上的中线过O点 17过正方形的中心做两条互相垂直的直线这样即可将正方形分成面积相等的四部分，所以满足要求的方法可以有无数多种 备课资料 参考例题 【例1】如下图，E为正方形ABCD的BC边上的一

13、点，CG平分DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE求证：AEEG 分析：由于CG是角平分线，CA是BCD的平分线，于是我们可以判定ACG=90，因而只要证明AEG=ACG即可，从图中可以看出，只要证明1=G就可以得到所求证的结论 证明：连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM 四边形ABCD是正方形， AC平分BCD ECM=135 又CG平分DCF， GCF=45， ECG=135 ECG=ECM 而EC=EC，CG=CM ECMECG M=G，EM=EG 而EA=EG，EA=EM 1=M 1=G而2=3 AEG=ACG 又ACD=45，DCG=45， ACG=90 AEG=90 即AEEC 【例2】已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF （1）求证：BECDFC；（2）若BEC=60，求EFD的度数 分析：要证BECDFC，则需找全等的条件，由正方形的性质可得出 要求EFD的度数，可由三角形中角的关系求得 证明：（1）四边形ABCD是正方形， BC=DC BCD=90=DCF 在RtBCE和RtDCF中，BC=DC，CE=CF RtBC