知识点067因式分解运用公式法解答.docx

1、知识点067 因式分解运用公式法解答一解答题1（2011广州）分解因式：8（x22y2）x（7x+y）+xy考点：因式分解-运用公式法；整式的混合运算。专题：计算题。分析：首先利用多项式乘以多项式法则进行计算，然后移项，合并同类项，正好符合平方差公式，再运用公式法分解因式即可解答解答：解：原式=8x216y27x2xy+xy=x216y2=（x+4y）（x4y）点评：本题考查了多项式的乘法，公式法分解因式，熟练掌握运算法则和平方差公式的结构特点是解题的关键2（2007资阳）设a1=3212，a2=5232，an=（2n+1）2（2n1）2（n为大于0的自然数）（1）探究an是否为8的倍数，并用

2、文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”试找出a1，a2，an，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）考点：因式分解-运用公式法。专题：规律型。分析：（1）利用平方差公式，将（2n+1）2（2n1）2化简，可得结论；（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律解答：解：（1）an=（2n+1）2（2n1）2=4n2+4n+14n2+4n1=8n，（3分）又n为非零的自然数，an是8的倍数（4分）这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）说明：第一步用完全平方

3、公式展开各（1），正确化简（1分）（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256（7分）n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数（8分）说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）点评：本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力3（2006济南）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解4a2，（x+y）2，1，9b2考点：因式分解-运用公式法。专题：开放型。分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反本题主要考查运用平方差公式进行作答的情况存

4、在12种不同的作差结果解答：解：4a29b2=（2a+3b）（2a3b）；（x+y）21=（x+y+1）（x+y1）；（x+y）24a2=（x+y+2a）（x+y2a）；（x+y）29b2=（x+y+3b）（x+y3b）；4a2（x+y）2=2a+（x+y）2a（x+y）=（2a+x+y）（2axy）；9b2（x+y）2=3b+（x+y）3b（x+y）=（3b+x+y）（3bxy）；1（x+y）2=1+（x+y）1（x+y）=（1+x+y）（1xy）等等点评：本题考查简单的因式分解，是一道开放题，比较基础但需注意：分解后必须是两底数之和与两底数之差的积；相减时同时改变符号如1+（x+y）1（x

5、+y）=（1+x+y）（1xy）4（2003茂名）9（a+b）2（ab）2考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：先利用平方差公式分解因式，再整理计算即可解答：解：9（a+b）2（ab）2，=3（a+b）2（ab）2，=3（a+b）+（ab）3（a+b）（ab），=（4a+2b）（2a+4b），=4（2a+b）（a+2b）点评：本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟练掌握公式结构，找准公式中的a、b是解题的关键5附加题（共10分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答友情提示：请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入

6、全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过90分；如果你全卷总分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分（1）分解因式：x2+2x+1=（x+1）2（2）若=40，则的余角是50度考点：因式分解-运用公式法；余角和补角。分析：（1）符合完全平方公式，运用完全平方公式分解即可（2）根据互余的两个角的和等于90得出解答：解：（1）x2+2x+1=（x+1）2；（2）=40，的余角是9040=50点评：本题（1）考查了利用完全平方公式分解因式，完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）考查如何求一个角的余角如果两个角的和等于90，那么这两个角互为余角6因式分解：（1）（a+b）2+

7、6（a+b）+9；（2）2xyx2y2（3）（x22xy）2+2y2（x22xy）+y4考点：因式分解-运用公式法。分析：都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解完全平方公式法：（ab）2=a22ab+b2解答：解：（1）（a+b）2+6（a+b）+9，=（a+b+3）2；（2）2xyx2y2，=（x2+2xy+y2），=（x+y）2；（3）（x22xy）2+2y2（x22xy）+y4，=（x22xy+y2）2，=（xy）4点评：本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全7先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）4x2=（x2+2）2（2x）2=（x22

8、x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式考点：因式分解-运用公式法。专题：阅读型。分析：根据材料，找出规律，再解答解答：解：x4+64，=x4+16x2+6416x2，=（x2+8）216x2，=（x2+8）2（4x）2，=（x2+8+4x）（x2+84x）点评：此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键8放学时，王老师布置了一道分解因式题：（x+y）2+4（xy）24（x2y2），小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的考点：因式分解-

9、运用公式法。分析：把（x+y）和（xy）分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答解答：解：把（x+y），（xy）看作完全平方式里的a，b；原式=（x+y）2+2（xy）222（xy）（x+y），=（x+y）2（xy）2，=（3yx）2点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把（x+y），（xy）看作完全平方式里的a，b是解题的关键9分解因式：a23考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：先把式子写成a2（）2，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式解答：解：a23=a2（）2=（a+）（a）点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式在实数

10、范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止10因式分解：4a23b（4a3b）考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：先根据单项式乘多项式的法则将多项式展开，合并同类项，再用完全平方公式分解因式解答：解：4a23b（4a3b），=4a212ab+9b2，=（2a3b）2点评：本题考查完全平方公式分解因式，先利用单项式乘多项式的法则展开并整理成完全平方公式的形式是解题的关键11分解因式（x+y）2（xy）2考点：因式分解-运用公式法。分析：运用平方差公式进分解因式即可解答：解：（x+y）2（xy）2，=（x+y+xy）（x+yx+y），=4xy点评：本题主要考查利用平方差公式

11、分解因式，熟记公式结构是解题的关键注意将（x+y）、（xy）看作一个整体12分解因式：（1）x281；（2）（x+y）24（x+y）+4考点：因式分解-运用公式法。分析：（1）运用平方差公式解答（2）运用完全平方公式解答解答：解：（1）x281，=x292，=（x9）（x+9）；（2）（x+y）24（x+y）+4，=（x+y）24（x+y）+22，=（x+y2）2点评：本题主要考查利用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，（2）中把（x+y）看作一个整体是解题的关键13分解因式：（x+y）2+2（x+y）+1考点：因式分解-运用公式法。分析：第一项和第三项是平方项，第二项

12、是两底数的2倍，符合完全平方公式，运用完全平方公式分解即可解答：解：（x+y）2+2（x+y）+1=（x+y+1）2点评：考查用完全平方公式进行因式分解，特点是：整个式子为三项，有两项平方项，一项为平方项的底数的2倍时，应考虑运用完全平方公式进行分解14把下列各式因式分解：（1）4（x2y）2+9（x+y）2；（2）2a（x2+1）28ax2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法。专题：计算题。分析：（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式2a，再用平方差公式和完全平方公式解答解答：解：（1）4（x2y）2+9（x+y）2，=3（x+y）22（x2y）2，=3（x+y）

13、2（x2y）3（x+y）+2（x2y），=（5xy）（x+7y）；（2）2a（x2+1）28ax2，=2a（x2+1）2（2x）2，=2a（x2+12x）（x2+1+2x），=2a（x+1）2（x1）2点评：本题主要考查利用平方差公式和完全平方公式分解因式，公式中的字母表示多项式是解本题的难点15分解因式：（1） 3x23y2（2）（x+y）210（x+y）+25考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法。分析：（1）提取公因式3后，再利用平方差公式分解即可；（2）第一项和第三项是平方项，第二项是两底数积的2倍，符合完全平方公式，运用完全平方公式分解即可解答：解：（1）3x23y2，=3

14、（x2y2），=3（x+y）（xy）；（2）（x+y）210（x+y）+25=（x+y5）2点评：主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，整体思想的利用比较关键16因式分解：（1）16a2+9b2；（2）a418a2+81考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解因式解答解答：解：（1）16a2+9b2，=（3b）2（4a）2，=（3b4a）（3b+4a）；（2）a418a2+81，=（a2）218a2+92，=（a29）2，=（a3）2（a+3）2点评：本题考查利用平方差公式分解因式和完全

15、平方公式分解因式，关键在于需要进行二次因式分解17因式分解（x2y）2+8xy考点：因式分解-运用公式法。分析：先根据完全平方公式把（x2y）2展开，合并同类项后再利用完全平方公式分解因式即可公式a22ab+b2=（ab）2解答：解：（x2y）2+8xy，=x24xy+4y2+8xy，=x2+4xy+4y2，=（x+2y）2点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式，先整理成公式的结构形式是解题的关键18把x416y4进行因式分解（在有理数范围内）：考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：利用平方差公式进行二次因式分解即可解答：解：x416y4，=（x2+4y2）（x24y2），=（x

16、2+4y2）（x+2y）（x2y）点评：本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式要彻底，直到不能再分解为止19因式分解：（a+3b）210（a+3b）+25考点：因式分解-运用公式法。分析：将（a+3b）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解解答：解：设a+3b=t，则（a+3b）210（a+3b）+25，=t210t+25，=（t5）2，即（a+3b）210（a+3b）+25=（t5）2点评：本题考查了公式法分解因式，将（a+3b）看作一个整体，便可利用完全平方公式进行因式分解20因式分解：（a+3）（a7）+2581a4+16b472a2b2考点：因式分解-运

17、用公式法。分析：先利用多项式的乘法计算并合并同类项，然后再利用完全平方公式分解因式；观察三项之间的关系，发现符合完全平方公式，先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式进行二次因式分解解答：解：（a+3）（a7）+25，=a24a21+25，=a24a+4，=（a2）2；81a4+16b472a2b2，=（9a24b2）2，=（3a+2b）2（3a2b）2点评：本题考查了公式法分解因式，有时为了进一步因式分解，必须先进行整式乘法运算；因式分解一定要进行到每个多项式不能再分解为止21因式分解：（a2b）225b216x48x2y2+y4考点：因式分解-运用公式法。分析：直接运用平方差公式因式分

18、解；先运用完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解解答：解：（a2b）225b2，=（a2b+5b）（a2b5b），=（a+3b）（a7b）；16x48x2y2+y4，=（4x2y2）2，=（2x+y）2（2xy）2点评：本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，一个多项式因式分解要彻底，直到不能分解为止22分解因式：（x1）+b2（1x）考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法。专题：计算题。分析：先提公因式（x1），然后根据平方差公式继续分解因式解答：解：（x1）+b2（1x），=（x1）+b2（x+1），=（x1）b2（x1），=（x1）（1b2），=（

19、x1）（1+b）（1b）点评：本题考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要进行二次因式分解是本题的特点23把下列各式分解因式x4y4；（x1）（x+3）+4考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：直接利用平方差公式分解因式，再利用平方差公式进行二次因式分解；先根据多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，然后利用完全平方公式分解因式解答：解：x4y4，=（x2+y2）（x2y2），=（x2+y2）（x+y）（xy）（x1）（x+3）+4，=x2+2x+1，=（x+1）2点评：本题考查平方差公式和完全平方公式分解因式，要熟练掌握完全平方公式和平方差公式才能灵活解题完全平方公式：（a

20、b）2=a22ab+b2，平方差公式：（a+b）（ab）=a2b224分解因式：考点：因式分解-运用公式法。分析：第一项和第三项是平方项，第二项是两底数积的2倍，符合完全平方公式，运用完全平方公式分解即可解答：解：m2mn+n2=点评：主要考查利用完全平方公式进行因式分解，熟记完全平方公式是解题的关键25分解因式：（2ab）2+8ab考点：因式分解-运用公式法。分析：先根据完全平方公式展开，再合并同类项，然后利用完全平方公式进行因式分解即可解答：解：（2ab）2+8ab，=4a24ab+b2+8ab，=4a2+4ab+b2，=（2a+b）2点评：本题考查利用完全平方公式分解因式，先利用完全平方

21、公式展开并整理成完全平方公式的形式是解题的关键269x225y2考点：因式分解-运用公式法。分析：直接运用平方差公式进行因式分解解答：解：9x225y2=（3x+5y）（3x5y）点评：本题主要考查运用平方差公式进行因式分解注意：9x2=（3x）2，25y2=（5y）227因式分解：m39m；x2（xy）（xy）；3a26a+3考点：因式分解-运用公式法。分析：提取公因式m后，再运用平方差公式继续分解提取公因式（xy）后，再利用平方差公式继续分解提取公因式3后，再利用完全平方公式继续分解解答：解：m39m，=m（m29），=m（m+3）（m3）；x2（xy）（xy），=（xy）（x21），=（

22、xy）（x+1）（x1）；3a26a+3，=3（a22a+1），=3（a1）2点评：本题考查了公式法分解因式，难点在于提取公因式后要利用平方差公式或完全平方公式进行二次因式分解28（2x5）2+6（2x5）+9考点：因式分解-运用公式法。分析：把（2x5）看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可解答：解：（2x5）2+6（2x5）+9，=（2x5）+32，=（2x2）2，=4（x1）2点评：本题考查了公式法分解因式，整体思想的利用是解题的关键，也是难点29（a+b）2+2（a+b）+1考点：因式分解-运用公式法。分析：把（a+b）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解即可解答：解：设a+

23、b=t，则（a+b）2+2（a+b）+1，=t2+2t+1，=（t+1）2，即（a+b）2+2（a+b）+1=（a+b+1）2点评：本题考查了公式法分解因式，把（a+b）看作一个整体是利用完全平方公式的关键30若|m+4|与n22n+1互为相反数，把多项式x2+4y2mxyn分解因式（x+2y+1）（x+2y1）考点：因式分解-运用公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；因式分解-分组分解法。分析：由题意可知|m+4|与n22n+1互为相反数，即|m+4|+（n1）2=0，根据非负数的性质求出m=4，n=1，再把m，n的值代入所求代数式利用分组分解法和完全平方公式、平方差公式分解因

24、式即可解答：解：由题意可得|m+4|+（n1）2=0，解得，x2+4y2mxyn，=x2+4y2+4xy1，=（x+2y）21，=（x+2y+1）（x+2y1）点评：本题主要考查公式法、分组分解法分解因式，利用非负数的性质求出m、n的值是解题的关键31因式分解：4（x+y）29（xy）2；x2+4xy4y2考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解因式即可；先添加带负号的括号，再利用完全平方公式分解因式解答：解：4（x+y）29（xy）2，=（2x+2y）2（3x3y）2，=（2x+2y）+（3x3y）（2x+2y）（3x3y），=（5xy）（5y

25、x）；x2+4xy4y2，=（x24xy+4y2），=（x2y）2点评：本题主要考查利用平方差公式和完全平方公式分解因式，把多项式整理成公式的形式是解题的关键32（1）分解因式（a2+ab+b2）29a2b2（2）解方程组考点：因式分解-运用公式法；解二元一次方程组。分析：（1）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次因式分解计算；（2）用加减法消元法求解解答：解：（1）（a2+ab+b2）29a2b2，=（a2+ab+b2+3ab）（a2+ab+b23ab），=（a2+4ab+b2）（ab）2；（2）+得6x=66，x=11，把x=11代入得332y=19，y=7，原方程组的解为点评

26、：此题主要考查用公式法分解因式和二元一次方程组的解法，难度中等33阅读理解我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a2+6a+8=（a+3）21=（a+2）（a+4）请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：（1）x26x27；（2）a2+3a28；（3）x2（2n+1）x+n2+n考点：因式分解-运用公式法。专题：阅读型。分析：根据题目的条件，先将多项式凑成完全平方的形式，再根据实际情况解答解答：解：（1）x26x27，=x26x+936，=（x3）

27、262，=（x36）（x3+6），=（x+3）（x9）；（2）a2+3a28，=a2+3a+（）2（）228，=（a+）2，=（a+）（a+），=（a4）（a+7）；（3）x2（2n+1）x+n2+n，=x2（2n+1）x+（n+）2（n+）2+n2+n，=（xn）2（）2，=（xn）（xn+），=（xn1）（xn）点评：本题考查了公式法分解因式，是信息给予题，主要渗透配方思想，读懂题目信息是解题的关键34（1）因式分解：a2+6ab9b2（2）因式分解：（p4）（p+1）+3p考点：因式分解-运用公式法。专题：计算题。分析：（1）先添加带负号的括号，再利用完全平方公式分解因式；（2）先根据多

28、项式的乘法展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式解答：解：（1）a2+6ab9b2，=（a26ab+9b2），=（a3b）2（2）（p4）（p+1）+3p，=p23p4+3p，=p24，=（p+2）（p2）点评：本题考查利用完全平方公式和平方差公式分解因式，两道题都需要先对多项式整理，然后再利用公式完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，平方差公式：（a+b）（ab）=a2b235（1）因式分解：16a48a2+1；（2）计算：999910001考点：因式分解-运用公式法；平方差公式。分析：（1）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式进行二次因式分解；（2）变形后运用平方差公式来解答解答：解：（1）16a48a2+1，=（4a2）28a2+1，=（4a21）2，=（2a1）2（2a+1）2；（2）9 99910 001，=（10 0001）（10 000+1），=10 000212，=99 999 999点评：本题主要考