数学史小故事.docx

1、数学史小故事数 学 史 简 介 兼中外数学家的故事福安二中：冯恒春一、数 的 发 展 史正整数（零，负整数）整数（分数）有理数（无理熟）实数（虚数）复数1、 正整数的形成 你是否看过杂技团演出中小狗做算术这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如2+5，由演员写到黑板上。小狗看到后就会汪汪汪叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的数学尖子表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。 人类最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐

2、产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。结绳记事也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书易经中有结绳而治的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 数的概念最初不论在哪个国家地区都是1、2、3、4这样的正整数开始的，但是记数的符号却大小相同。古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表

3、500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：III表示3；XXX表示30。 2右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如VI表示6，DC表示600。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如IV表示4，XL表示40，VD表示495。 3上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如： 表示 15,000， 表示165,000。我国古代也很重视记数符号，最古老的

4、甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法-筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。从算筹数码中没有10这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有零，遇到零就空位。比

5、如6708，就可以表示为 。数字中没有零，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与零的出现有关。不过多数人认为，0这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（）表示零，后来逐渐变成了0。 2、 零、分数的出现说起0的出现，应该指出，我国古代文字中，零字出现很早。不过那时它不表示空无所有，而只表示零碎、不多的意思。如零头、零星、零丁。一百零五的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。105恰恰读作一百零五，零字与0恰好对应，零也就具有了0的含义。 如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有0。其实在公元5世纪时，0已经传入罗马。但罗马教

6、皇凶残而且守旧。他不允许任何使用0。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用0的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zn）刑，使他再也不能握笔写字。 但0的出现，谁也阻挡不住。现在，0已经成为含义最丰富的数字符号。0可以表示没有，也可以表示有。如：气温，并不是说没有气温；0是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。 现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，

7、人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。 数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示正整数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！正整数、分数和零，通称为算术数。正整数也称为正整数。 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了

8、负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。3、 无理数的发现但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为数是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使数不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的

9、数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成等形式，称它

10、们为无理数。有理数和无理数一起统称为实数。每次数系的扩充、尤其是无理数的发现、建立了实数理论，使数学高速发展、这时期产生了许多数学分支。数学的发展史实际上是数的发展历史。4、 虚数的产生在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但人们在解方程（如方程在中无解、但在中有解，方程在中有无解、但在中有解，方程在中有无解、但在中有解，方程在中有无解、在什么数集中有解呢？）的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家

11、们就规定用符号 表示-1的平方根，即，虚数就这样诞生了。 成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不虚了。 1797年高斯给出代数基本定理的第一个证明（后又给出了四个不同的证明）。即：任何一个系数为复数的一个变量的代数方程都至少有一个根。从它可以推出：“一个n次代数方程必有且仅有n个根”，由此定理的证明，告诉我们无须把复数域扩充了，复数域是代数封闭和

12、的。数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了四元数的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对多元数理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。 由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将

13、复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。二、的历史圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母 来表示。1706年，英国人琼斯首次创用 代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在 已成为圆周率的专用符号， 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。 在古代，实际上长期使用 这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前世纪，中国的周髀算经里已有周三径一的记载。东汉的数学家又

14、将 值改为（约为3.16）。直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文圆的度量，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71 。这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。第一次用正确方法计算 值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得 值为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。 公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把 值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。

15、祖冲之还找到了两个分数：22/7 和355/113 ，用分数来代替 ，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。 祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录。终于在1596年，由荷兰数学家卢道夫打破了。他把 值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位。为了纪念他这项成就，人们在他1610年去世后的墓碑上，刻上：3.149323846264338327950288这个数，从此也把它称为卢道夫数。 许多数学家都喜欢将他们的生平刻在墓碑上。丢番图的墓志铭: “丢番图的一生，童年占，又过了一生的才长胡子，又过一生的他结了婚，5年后生一子，子只活了其父年龄之一半，子死后四年丢番图亦离开人世。” 读者

16、只要算一算就知道丢番图活了八十四岁。瑞士数学家雅各（贝努里家族）对对数螺线有深入的研究，他在欣赏这曲线巧妙之余，仿效阿基米德，在遗嘱中说要将对数螺线刻在墓碑上，以作永久纪念。可惜的是，1705年8月16日逝世后，可能是石匠功夫不好，墓碑上的螺线却象一根阿基米德螺线。之后，西方数学家计算 的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的 值。电子计算机问世后， 的人工计算宣告结束。20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的 ，编写了一本书名叫的书、整本书都是数字、成为世上最枯燥无味的一本书，70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算

17、方法，算到的 值已到4.8亿位。 的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新。三、数 学 发 展 过 程 的 三 次 危 机第一次数学危机 无理数的发现 大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导

18、致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得原本第卷中。欧多帕克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始

19、重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 第二次数学危机无穷小是零吗？18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者向一个不信正教数学家的进言，矛头指向微积分的基础-无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量

20、。他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的

21、工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。 第三次数学危机悖论的产生数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗

22、素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某乡村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：“他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸”。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的算术的基本法则第卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。于是终结了近12年的刻苦钻研。 承认

23、无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。 四、哥 德 巴 赫 猜 想(数论)彼得堡科学院院士哥德巴赫正在研究把任何数表示成几个质数的和的问题。哥德巴赫发现，总可以把任何一个数分解成不超过三个质数和。但他不能证明这个命题，甚至找不到证明它的方法，于是，他写信全告诉欧拉这件事。在1742年6月7日的信中，哥德巴赫告诉欧拉，他想冒险发表下面

24、的假定；“大于5的任何数(正整数)，是三个质数的和”。欧拉回信说：他认为“每一个偶数都是两个质数的和”这论断是一个完全正确的定理。显然，哥德巴赫的断语就是欧拉这论断的简单推论（因为：奇数=3+偶数） 。然而，欧拉也不能证明它。这就是著名的哥德巴赫猜想。关于哥德巴赫问题，不论是提出问题的哥德巴赫本人还是大数学家欧位都不能做出什么结果。上世纪一个超群数学家康托耐心地试验了从2到1000的所有偶数，说明在这范围内，哥德巴赫断言是成立的，但这能说明什么呢？此后，多少著名的学者都为哥德巴赫问题花费了无数的精力，力图开辟解决这一问题的道路，或者将它与数学的其他问题联系起来。但要严格证明它，却毫无结果，19

25、12年，数论大师兰道在国际数学家会议上说：这个问题要用近代数学工具来解决是绝对不可能的。 到二十年代初期，问题才有了一点进展，挪威数学家布朗用古老的筛法证明了：每一个偶数是九个互数因子之和加九个素数因子之积，简记为（9+9），延自这一派的方法，1924年拉德马哈尔证明了（7+7），1932年爱斯斯尔曼证明了（6+6）；1938年，布赫斯塔勃先后证明了（5+5）和（4+4）；1956年维诺格拉多夫证明的（3+3）；1958年我国数学家王元证明了（2+3）。 另一证明方法是1948年由匈牙利数学家兰恩易开辟的，他证明了每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子示超过六个的”数之和，简记为（1+6），1

26、962年，山东大学教授潘承洞证明了（1+5），同年，他又和王元证明了（1+4）；三年后1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎都证明了（1+3）。 陈景润继承了前人的结果，吸取了前人的智慧，施展了他坚韧不拔的毅力，顽强地向哥德巴赫问题挺进。为了能最快阅读最新的国久的有关资料，了解外国的新结果，他在掌握英、俄两门外语基础上，又自学了德、法、日、意和西班牙语。同时在数论方面接连攻下了三十多道难题中的六、七题，为解决哥德巴赫问题做出了必不可少的锻炼和准备。 例如他在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题上，都改进了中外数学家的结果。经过这一艰苦的历程，1966年，陈景润在科学通报第

27、一十七期上发表了他已经证明（1+2）的成果。已故的著名数学家闵嗣鹤教授审核了二百多页论文手稿，确认其证明无误，但建议他加以简化，此后陈景泣不分白天黑夜，一笔又一笔推演了六麻袋稿子，经过七易寒暑，终于写出了著名的论文：“大偶数表为一个素数及一个不超过一个素数的乘积之和”，精心论证了（1+2），其中定理 ，被英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特誉为“陈氏定理”，是“筛法”的“光辉的顶点”，并立即补入即将刊印出版的他们合著的筛法一书中，英国数学家赞扬陈景润说“你移动了群山”。 陈景润为祖国增添了荣誉，他的突破为推动学林繁荣做出了极大的贡献。1978年他出席了第一届全国科学大会。先后当选为第四届、第五

28、届人大代表为会议主席团成员。 1979年初，他和著名的拓扑学家吴文俊夫妇应美国普林斯顿高级研究所所长伍尔夫教授的邀请，前往讲学和作短期的研究工作。在那里，陈景润又利用有利条件，完成子论文算术级数中的最小素数，把最小素数从原来的80推进到16，这是当前世界上最新的成果，受到了国际数学界的好评。五、数 学 分 支 数学从产生、发展到现在，已成为分支众多的学科了，没有统一的分法、也没有一个统一的标准。大致可分为： 算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常

29、微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学 等25门学科。现将与中学数学教材有关的学科作简要的介绍。1. 最早的数学算术：现代小学数学的具体内容，自然数和分数具有不同的性质，数和数之间也有不同的关系，为了计算这些数,就产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是四则运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学算术。2初等代数： 初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方组成初等代数的基本内容就是： 三种数有理数、无理数、复数 三种式整式、分式、根式 中心内容是方程整式方程、分式方程、根式

30、方程和方程组。 初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的。这些都只是历史上形成的一种编排方法。初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。 这十条规则是： 五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律； 两条等式基本性

31、质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变； 三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数想乘；积的乘方等于乘方的积。 初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。关于方程的解的历史：人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的缉古算经就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的数书九章这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式卡当公式。在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得