等差等比数列及其前n项和.docx

1、等差等比数列及其前n项和第2讲 等差数列及其前n项和【2013年高考会这样考】1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题2考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用【复习指导】1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法基础梳理1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.3等差中项如果Aab2，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通

2、项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇nd2；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)5等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Snn a1an 2，或等差数列an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Snna1n n1 2d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snd2n2avs4alco1(a

3、1f(d2)n，数列an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)7最值问题在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值 一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Snn a1an 2. 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意

4、自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列双基自测1(人教A版教材习题改编)已知an为等差数列，a2a812，则a5等于( ) A4 B5 C6 D7解析 a2a82a5，a56.答案 C2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于( )A31 B32 C33 D34解析 由已知可得a15d2，5a110d30，)解得a1f(26343).S88a1872d32.答案 B3

5、(2011江西)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11.那么a10( )A1 B9 C10 D55解析 由SnSmSnm，得S1S9S10a10S10S9S1a11.答案 A4(2012杭州质检)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( )A13 B35 C49 D63解析 a1a7a2a631114，S77 a1a7 249.答案 C5在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.解析 设公差为d.则a5a23d6，a6a33d7613.答案 13 考向一 等差数列基本量的计算【例1】(2011福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列

6、an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值审题视点 第(1)问，求公差d；第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.解 (1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.从而，an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Snn1 32n 22nn2.进而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7为所求 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以体现了用方程思想解决问题的方法【训练

7、1】 (2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，a9，由题意可得a1a2a3a43，a7a8a94，设等差数列an的公差为d，则有4a16d3，3a121d4，由可得d766，a11322，所以a5a14d132247666766.答案 6766考向二 等差数列的判定或证明【例2】已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：f(1Sn)是等差数列；(2)求an的表达式审题视点 (1)化简所给式子，然后

8、利用定义证明(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明 anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，1Sn1Sn12(n2)由等差数列的定义知f(1Sn)是以1S11a12为首项，以2为公差的等差数列(2)解 由(1)知1Sn1S1(n1)d2(n1)22n，Sn12n.当n2时，有an2SnSn112n n1 ，又a112，不适合上式，anf(1212n n1 )，n2. 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断【训练2】 已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36.(1

9、)求Sn；(2)证明：数列an是等差数列(1)解 设SnAn2BnC(A0)，则2ABC，04A2BC，69A3BC，解得：A2，B4，C0.Sn2n24n.(2)证明 当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)当n1时符合上式，故an4n6，an1an4，数列an成等差数列考向三 等差数列前n项和的最值【例3】设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值审题视点 第(1)问：列方程组求a1与d；第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决解 (1)由a

10、na1(n1)d及a35，a109得a12d5，a19d9，)可解得a19，d2.)数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)知，Snna1n n1 2d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值(2)利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值【训练3】 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解 法一 a120，S10S15，10201092

11、d152015142d，d53.an20(n1)avs4alco1(f(53)53n653.a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13122012112avs4alco1(f(53)130.法二 同法一求得d53.Sn20nn n1 2avs4alco1(f(53)56n21256n56avs4alco1(nf(252)23 12524.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三 同法一得d53.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最

12、大值，且最大值为S12S13130.考向四 等差数列性质的应用【例4】设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.审题视点 在等差数列 an中，若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)用此性质可优化解题过程解 由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Snn a1an 2324，18n324.n18. 本题的解题关键是将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Snn a1an 2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程【训练4】

13、(1)设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_解析 (1)an1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，S17 a1a17 172 725 172153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S20a1a2022018220180.答案 (1)153 (2)180 阅卷报告6忽视an与Sn中的条件n2而致误【问题诊断】 在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下

14、列关系：anblcrc (avs4alco1(S1(n1)，,SnSn1(n2).)这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n1和n2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.【防范措施】 由anSnSn1求出an后，一定不要忘记验证n1是否适合an.【示例】(2009安徽改编)已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.求数列an与bn的通项公式错因 求an、bn时均未验证n1.实录 anSnSn1，an2n22n2(n1)22(n1)4n.又Tn2bn，bnTnTn12b

15、n2bn1，即bn12bn1，bnavs4alco1(f(12)n121n.正解 当n2时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，又a1S14，故an4n，当n2时，由bnTnTn12bn2bn1，得bn12bn1，又T12b1，b11，bnavs4alco1(f(12)n121n.【试一试】 已知在正整数数列an中，前n项和Sn满足：Sn18(an2)2.(1)求证：an为等差数列(2)若bn12an30.求数列bn的前n项和的最小值尝试解答 (1)证明：当n1时，S1a118(a12)2，(a12)20，a12.当n2时，anSnSn118(an2)218(an12)2，an

16、an14，an为等差数列(2)由(1)知：ana1(n1)44n2，由bn12an302n310得n312.bn的前15项之和最小，且最小值为225.第3讲 等比数列及其前n项和【2013年高考会这样考】1以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定2考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用【复习指导】本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用基础梳理1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，

17、通常用字母q表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，f(1an)，a2n，anbn，f(anbn)仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，

18、当q1时，Snna1；当q1时，Sna1 1qn 1qa1anq1q. 一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qn，Sna1 1qn 1q(q1) 两个防范(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an1anq(q为非零常数)或anan1q(q为非零常数且n2且nN*)，则an是等比数列(2)中项

19、公式法：在数列an中，an0且a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列双基自测1(人教A版教材习题改编)在等比数列an中，如果公比q1，那么等比数列an是( )A递增数列 B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性解析 当a10,0q1，数列an为递减数列，当q0，数列an为摆动数列答案 D2已知an是等比数列，a22，a514，则公比q等于( )A12 B2 C2 D.12解析 由题意知：q3a5a218，q12.答案 D3在等比数列an中

20、，a44，则a2a6等于( )A4 B8 C16 D32解析 由等比数列的性质得：a2a6a2416.答案 C4设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则S5S2( )A11 B8 C5 D11解析 设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2a50，所以8a1qa1q40.q380，q2，S5S2a1 1q5 1q1qa1 1q2 1q51q21 2 51411.答案 A5(2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_.解析 设an的公差为d，由S9S4及a11，得91982d41432d，所以d16.又aka40，所以1 k1 blc(rc)(avs

21、4alco1(f(16)1 41 blc(rc)(avs4alco1(f(16)0，即k10.答案 10 考向一 等比数列基本量的计算【例1】(2011全国)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330.求an和Sn.审题视点 列方程组求首项a1和公差d.解 设an的公比为q，由题设得a1q6，6a1a1q230，)解得a13，q2)或a12，q3.)当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解【

22、训练1】 等比数列an满足：a1a611，a3a4329，且公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解 (1)a3a4a1a6329，又a1a611，故a1，a6看作方程x211x3290的两根，又q(0,1)a1323，a613，q5a6a1132，q12，an323avs4alco1(f(12)n113avs4alco1(f(12)n6.(2)由(1)知Sn643avs4alco1(1f(12n)21，解得n6.考向二 等比数列的判定或证明【例2】(2012长沙模拟)已知数列an满足a11，a22，an2anan12，nN*.(1)令bnan1a

23、n，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式审题视点 第(1)问把bnan1an中an1换为an1an2整理可证；第(2)问可用叠加法求an.(1)证明 b1a2a11.当n2时，bnan1anan1an2an12(anan1)12bn1，bn是以1为首项，12为公比的等比数列(2)解 由(1)知bnan1anavs4alco1(f(12)n1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11avs4alco1(f(12)avs4alco1(f(12)n21rc2)rc2)1231blc(rc)(avs4alco1(f(12)n1)5323avs4alco1(f(12)n1.当

24、n1时，5323avs4alco1(f(12)111a1，an5323avs4alco1(f(12)n1(nN*) 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【训练2】 (2011四川)设d为非零实数，an1nC1nd2C2nd2(n1)Cn1ndn1nCnndn(nN*)(1)写出a1，a2，a3并判断an是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设bnndan(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解 (1)由已知可得a1d，a2d(1d)，a3d(1d)2.当n2，k1时，k

25、nCknCk1n1，因此annk1knCkndknk1Ck1n1dkdn1k0Ckn1dkd(d1)n1.由此可见，当d1时，an是以d为首项，d1为公比的等比数列；当d1时，a11，an0(n2)，此时an不是等比数列(2)由(1)可知，and(d1)n1，从而bnnd2(d1)n1Snd212(d1)3(d1)2(n1)(d1)n2n(d1)n1当d1时，Snd21.当d1时，式两边同乘d1得(d1)Snd2(d1)2(d1)2(n1)(d1)n1n(d1)n，式相减可得dSnd21(d1)(d1)2(d1)n1n(d1)nd2f( d1 n1d)n d1 n).化简即得Sn(d1)n(nd1)1.综上，Sn(d1)n(nd1)1.考向三 等比数列的性质及应用【例3】已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和审题视点 利用等比数列的性质：依次n项的和成等比数列解 Sn2，其后2n项为S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，即(S2n2)22(14S2n)解得S2n4，或S2n6.当S2n4时，Sn，S2nSn，