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1、大学毕设论文dvd租赁优化数学建模论文DVD租赁优化模型高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是： 我们的参赛报名号为（如果赛

2、区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： DVD租赁优化模型摘要DVD在线租赁问题是涉及到网站经营商和对网站会员的服务双方利益的典型商业问题。本文针对租赁过程中可能出现的几种情况给出了较为合理的网站购买

3、和分配DVD的方案，最后还给出了会员满意度与网站DVD购买量的关系曲线，并得出了两者关系符合经济学中“边际效应”的结论。对已知会员需求，要求给出网站各类DVD购买量决策的问题，会员归还量与购买量之和需要满足题目给定的满足一定比例会员需求的条件。通过假设会员DVD的归还量符合二项分布，并利用概率论中大数定律，可以求得归一化的DVD归还量这一随机变量满足标准正态分布。此时，不同的购买量会影响满足题目条件的概率。于是我们求得了在不同概率下，DVD所需的购买量。由数据看出，不同概率下DVD的购买量相差不多，但由此造成的风险与利润都是相当大的。由此论证了网站经营商追求利润与保守经营的根本原因。其中，置信

4、概率为0.99时，满足一个月内50%的会员看到想看的DVD，则DVD1至DVD5的购买量如下：6199、3089、1538、764、302。满足一(三)个月内95%的会员看到想看的DVD的购买方案如下：3935、1963、978、487、193。对网站已有DVD数量和已知会员需求的条件下，通过调整DVD分配使会员满意度达到最大的问题。采用了运筹学中目标规划的知识，列出了以会员平均标准满意度为目标函数的规划模型，并分别运用Lingo和MATLAB两种数学工具求得最大平均标准满意度为0.889和0.8943。表明了在已有DVD数量的条件下，通过适当的分配，可以基本满足会员要求。对已知会员需求，要求

5、通过购买最少量的DVD来使95%会员满意度最大的问题，通过分析表明了属于多目标规划问题。利用第二问的规划模型，采用双目标规划，同时以购买量和满意度为目标函数。并采用将满意度目标函数转化为软约束的方法将其转化为但目标函数，并分别利用Lingo和MATLAB两大软件求的的各DVD的最小购买量和最大满意度，其中最大满意度分别为对DVD租赁中关于需求预测、购买和分配中的其他问题还有很多，本文提出了预测中常用的简单随机抽样、分类预测、关联预测等三种方法；购买DVD的分段购买策略及建立专门的配送中心等方法，用于强化网站经营管理，提高网站收益。关键词: 满意度 热门指数 多目标规划 01整数规划 边际效应一

6、、问题重述为在线租赁DVD，顾客需缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员通过在线提交订单的方式来满足自己的要求；会员提交的订单包括10张想看的DVD，并按照其偏爱程度排序，网站将根据订单和拥有的DVD数目进行DVD的分配。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。看完后放在指定邮箱便算归还了DVD。考虑以下四问：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应

7、该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试

8、建立相应的数学模型。二、问题分析DVD在线租赁涉及到网站与网站会员会员双方的利益，既要考虑网站经营租赁业务需购买一定量各种DVD的成本，又要考虑到满足会员的订单要求。影响DVD租赁的因素有网站的知名度、信誉度，网站DVD的持有量，网站会员的人数，网站对DVD的借还机制，DVD的质量，会员的偏好，、经济状况、年龄阶层、社会阶层、知识水平等等。经过初步分析及查阅大量相关资料，剔除了一些无关紧要和相同影响的因素，仅考虑网站对DVD的持有量，借还机制，并用会员的订单涵盖会员的一切因素1。基于我们对问题的前期分析，网站对DVD的分配是可控的决策变量。而会员的订单要求、DVD的借还机制，即借还规则，是不可

9、控的因素。通过对1000个会员的问卷调查，得到了会员想观看各种DVD的数据，由此我们可以得到10万名会员想观看各种DVD的比例。又历史数据显示60%的会员每月租赁两次，40%的会员每月租赁一次，由此可知我们可以在单位月内考虑问题。经过查阅大量资料可以假设每月仅在1号和15号对DVD进行分配，即考虑借还周期为15天2。又由于所还DVD数量是一个随机变量，利用概率论知识可知各类DVD归还数量服从概率为0.6幂值为网站拥有DVD数量的二项分布。根据题意，归还DVD数量与网站原有DVD数量之和若能满足想看该类DVD的一定比例人数的需求，则此时DVD数量为所需DVD的最少量。又由大数定律可以求得满足不同

10、置信度的各类DVD数量。至此可以求得不同置信概率下的DVD数量。当给出100种DVD的1000名会员的订单时，若已知网站对各类DVD的持有量，要求一种最佳的分配方案，是的会员的满意度为最大，只需考虑提出一种衡量会员满意度的标准，即某一会员借到某一种DVD的满意程度。这样便能确定任意一种分配方案下会员的满意度。经过分析及查阅资料可知会员的满意度可以采用会员对各类DVD的偏爱程度的倒数的加和来表示3。每个会员对各类DVD的偏爱程度由题目附表2给出，并注意偏爱程度为0的满意度也置为0。由以上所述，可以建立一个以标准满意度为目标函数、会员借用DVD数限制和DVD总数限制等其他条件为约束的规划模型。通过

11、Lingo以及设计MATLAB贪婪算法可以解得此模型。若网站的各类DVD数量都为0，要求通过购买各类DVD来满足会员需求，并要求购买最少的DVD，来满足95%的会员最想看的要求并使满意度最大。则该问题变成了多目标规划的问题。既要使购买DVD数量最少，又要使会员满意度最大，通过调整决策变量，在相关借还机制的约束条件下，建立了多目标的规划模型。而对多目标规划问题的处理一般可以分为两种方法：一种为将其中一个目标指定一个限值，将其转化为另一个目标的软约束条件；另一种为给两个目标设定一个系数，将其转化为单一目标规划问题4。本文中采取后者，并通过设定不同程度的软约束，比较所得目标值的关系。实际操作时，将满

12、意度目标转化为软约束条件，来求解DVD购买量的最小值。同理可以采用Lingo以及设计MATLAB贪婪算法。对于站在网站经营管理人员的角度，对DVD的需求预测、购买和分配中其他重要问题值得研究，属开放性题目。就需求预测而言，其主要因素在于市场的供求预测问题，购买DVD主要从网站经营者考虑，可以依据需求预测结果制定分段购买方案；分配主要存在方案与邮费问题。三、名词解释和变量符号说明3.1 名词解释标准满意度：标准化的满意度，即除以了最大满意度，使得最单满意度为13.2 符号、变量说明：网站第j种DVD的持有量：第i个会员对第j种DVD的偏爱程度：第i个会员对第j种DVD的满意度：会员总人数10万：

13、每月借两次的人数的概率0.6，即任意一张DVD被归还的概率四、基本假设1、 DVD的租赁周期是一个月，每月均为30天;2、每位会员每月最多可以借两次，且第二次租借需归还前一次的DVD，并重新提交订单；3、DVD归还数量近似服从二项分布；4、DVD租赁过程中无损坏；5、DVD偏好程度同时表示该种DVD的热门程度，具体数值可用倒数和表示。五、建模前的准备5.1 数据准备（1）第一问中各类DVD想看人数在总人数中所占比例表1 对1000个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510愿意观看的人数占总人数比例0.20.10.050.0250

14、.01（2）满意度的衡量指标满意度主要与会员等待时间和会员对DVD的偏好程度有关。显然，会员的等待时间越长，并且对所等的DVD偏好程度越高，越不满意。为减少会员等待时间，应尽可能在收到会员订单时，立刻做出回应，并寄出DVD。否则，在等待多天后，即使顾客收到想要DVD也不完全满意，应乘上一个衰减系数。在会员等待时间相等的情况下，满意度主要会员对DVD的偏好程度有关通过参考文献3和深入的分析，我们可以确定满意度具有以下性质：1）附表2中的数字越小（0除外），偏爱程度越高，满意度越高。为0时，满意度为02）偏爱程度与满意度程度是非线性的关系，且偏爱程度越高，满意度增长率越小。通过大量的模拟，我们可以

15、找到一个简单的函数表示：标准满意度就是归一化了的满意度，即上式除以最大满意度。根据题意，最大满意度为会员获得偏好程度为1、2、3时的满意度。假设第i会员获得的DVD满意度为、，则第i会员标准满意度为5.2 DVD的一次分配贪婪算法图1 DVD的一次分配贪婪算法流程图5.3 DVD热门系数计算通过对每一种DVD的所有会员的满意度求和，得到每种DVD的热门系数。下表列出，DVD1-DVD9的热门系数。表2 DVD1-DVD9的热门系数DVD序号DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9热门系数21.230.428.230.723.126.827.931.428.6表中

16、可得DVD1的热门系数明显小于DVD2，因而一般来说，同样购买一张DVD，DVD1所能带来的会员满意度小于DVD2。在确定DVD购买方案时，可通过DVD热门系数的比例得到参考方案。六、模型建立与求解：6.1问题一DVD购买数量求解根据调查数据1000会员中第j种DVD想看的人数：第j种DVD被归还的数量是一个随机变量，由历年数据统计得到每类DVD都有0.6的概率被归还备用于第二次借用。故对每一种DVD来说，其归还的量是服从二项分布的。设第j种DVD被归还的数量为，则有。其中，表示第j种DVD需要购买的数量，为0.6即任意一张DVD被归还的概率。(1)一个月内满足50%的人看到他想看的DVD （

17、1）的期望和方差分别为和对（1）式归一化有由大数定律，上式左边的随机变量满足标准正态分布。即只要使上式成立的概率在某一置信概率范围内，就可以求得该置信概率下的DVD购买量。（2）三个月内满足95%的人看到他想看的DVD有基本假设1可知，每个月内网站持有的各类DVD的数量都是相同的，即最初网站购买的总量。由此可知，三个月内每个月DVD归还的量分别满足相同参数的二项分布。基于对假设1、2的考虑，可知三个月的DVD归还量是相互独立的。利用概率论的知识，二项分布具有可加性，可以得到。采用（1）中的方法同样可以得到使“三个月内满足95%的人看到想看的DVD”这一事件在一定置信概率下发生所需要购买的DVD

18、的数量。通过计算，分别求得了置信概率在0.99、0.8、0.5三种情况下DVD购买量，计算结果以如下表格形式给出 表3 一个月50%人看到想看的DVD的各类DVD购买量 DVD购买量置信度DVD1DVD2DVD3DVD3DVD50.996199308915387643020.86232311215547753090.5625031251563782313表4 三个月95%人看到想看的DVD的各类DVD购买量 DVD购买量置信度DVD1DVD2DVD3DVD3DVD50.99393519639784871930.8395019749864921970.539591980990495198 有上述

19、两表可知，随着DVD的购买量的增加，置信度的增加量会逐渐减小，即在保证会员能够看到DVD的概率有一定差别时，DVD的购买量不会相差很多，由此可以导致网站经营者利润的差别。于是，可以把网站经营商分为保守型、一般型、冒险型三类，以供网站经营商参考。6.2问题二分配方案的确定6.2.1 变量、符号说明：第k次分配DVD的方案下，会员的平均标准满意度：第k次分配DVD的方案下，第i会员的标准满意度：第k次分配DVD的方案下，第i会员对第j种DVD的满意度：第k次分配DVD的方案下，第i会员对第j种DVD的偏好程度，其中，第一次的由附表二给出；第二次原题未给出数据，题中给出有60%的会员会借第二次，为不

20、失一般性，我们取第一次数据的前60%作为第二次的订单，只需将这些会员第一次所借DVD的偏爱程度置为0即可6.2.2 模型的建立 由历史统计可知，有60%的会员每月会借用DVD两次，于是会员的满意度还要考虑第二次借DVD的情况，最小满意度可设为两次平均标准满意度的平均值。原题中给出了每次会员获得三张DVD，是基于网站的角度，对邮费考虑作出的决策，实际情况我们可以看到，由于总DVD数量可能不是3的整数倍，基于对满足会员要求和留住会员的角度考虑，可能会出现某个会员得到一张或两张DVD的情况。通过数据准备中满意度、标准满意度的定义不难理解以下模型：其中，注意理解的表达：第二次分配时，是对还回DVD的会

21、员进行进行重新分配，每位会员对已看过的DVD的满意度不再是原来的值，故因置为0。故标准满意度为满意度除以剩余未租用的DVD满意度组合中最高的三种之和。通过计算得知，利用贪婪算法求得的分配结果可以保证前六百位会员租赁到他们最想看的DVD，故把偏好程度最高的1、2、3置为0，标准满意度为会员满意度之和除以1/4、1/5、1/6之和；第二次借用DVD时，网站持有的DVD数量为原有的各类DVD数量减去第一次租赁后未归还的DVD数量。6.2.3 模型的求解模型为目标规划模型，可以采用Lingo程序来求解，但Lingo只在求解数据量较小的时候会得到较为优化的结果；大数据量的模型，可以采用MATLAB编程来

22、实现，本文采用贪婪算法来求去最优分配方案，其算法复杂度远小于Lingo程序。贪婪算法的具体流程图在数据准备部分已给出。由算法可知，具体求解时，我们是分别考虑两次分配的，将求解结果以表格的形式展现如下：表5 不同工具求解的平均标准满意度求解工具LingoMATLAB标准满意度0.88890.8943对上述结果分析可知，Lingo程序求解的结果略小于MATLAB求解的结果，原因在于Lingo软件采用的是单纯形法求解，其算法复杂度较高，适用于数据量较小时求取全局最优解，而MATLAB采用的贪婪算法复杂度相对较小，适用于姐数据量较大时的情况，该题中数据量相对较大，Lingo求得的时局部最优解，而MAT

23、LAB贪婪算法求得的解相对较优。利用贪婪算法得到的分配方案中，前30位会员的分配方式如下：表6 前30位会员DVD分配方案会员前30位会员第一次分配获得的DVD序号C000184198C000264462C0003325080C000471841C0005116668C0006195366C000782681C0008313571C00095378100C0010556085C0011596366C001223141C0013217896C0014235289C0015136685C0016558497C0017475167C0018416078C0019668486C0020456189C0

24、021455053C0022385557C0023298195C0024374176C002596981C0026226895C0027505878C002883478C0029263055C0030376298 通过上述结果可知，前30名会员的租赁DVD基本上都是他们各自最想得到的三种DVD。而且基本上上可以保证会员的前60%都得到各自最想要的DVD。6.3 问题三中购买方案和分配方案的确定6.3.1 符号、变量说明：第k次分配前，第j种DVD需要购买的数量其他同问题二中的说明6.3.2 模型的建立当网站的DVD持有量为0时，需要通过购买一定量的DVD来满足会员的需求，显然购买量足够多时，可

25、以满足所有会员的需求，但由此会带来成本上的增加。有第一问我们可以知道，随着购买量的增加，会员满意度的增加量是逐渐减小的。这就是我们称之为的“边际效应”。于是，我们有必要考虑满意度达到一定程度时候同时使总购买量最小。由此构成了一个双目标规划问题：即以两次租赁的平均满意度最小，两次购买的DVD总量最大为目标函数，借还机制和使95%的会员得到他们想看的DVD为约束，建立规划模型：其中，要注意的理解以及与第二问不同的约束条件，由于第二次购买量不仅受到订单的约束还受到第一次还回DVD数量的限制，当订单数量小于DVD还回数量时，不需要再购买DVD就能对会员进行分配；否则，必须购买所差DVD来满足会员需求。

26、又题目中指明要满足至少95%的得到他想看的DVD，故每次的购买量有一个下界，即不小于所需DVD数量的95%。6.3.3 模型的求解由于多目标规划问题无法用Lingo直接求解，我们一般有两种处理方式，其一是给定其中一个目标的限制，将其转化为软约束条件，从而转化成单目标规划问题，其二是统一各目标函数数量级后，赋予各目标函数一个影响因子转化为单目标函数。本文选择前者。当考虑MATLAB算法时，要比第二问复杂得多，单靠贪婪算法不能求解。于是，我们考虑各种DVD的热门系数对DVD数量的影响。通过绘制的三张满意度、DVD数、拥有3张DVD人数所占比例三者之间的关系图图 2 得到三张想要DVD的比例、满意度

27、与DVD购买数关系如图，可以大致确定满足95%会员获得想要DVD，需要购买DVD的总数量，然后根据DVD的热门系数初步得到需要购买各类DVD的数量，然后让各DVD数量在一定幅度范围内上下取值来求取最优解。MATLAB求得的各类DVD最小购买数量如下表所示：表7 DVD的最小购买方案DVD序号购买量DVD序号购买量DVD序号购买量DVD序号购买量DVD序号购买量D00119D02129D04153D06129D08127D00232D02233D04233D06230D08219D00328D02335D04326D06335D08318D00432D02424D04432D06439D0842

28、1D00521D02531D04534D06537D08527D00626D02630D04624D06631D08618D00728D02724D04732D06725D08730D00833D02818D04823D06835D08822D00929D02924D04932D06934D08926D01026D03039D05031D07025D09024D01130D03135D05138D07134D09137D01232D03229D05224D07232D09230D01327D03329D05335D07323D09327D01427D03426D05427D07427D09424D01525D03539D05530D07531D09534D01631D03635D05633D07626D09620D01731D03722D05731D07720D09732D01830D03829D05827D07829D09832D01935D03