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1、向量复习第1讲向量的线性运算最新考纲1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义.知 识 梳 理1向量的有关概念名称定义备注向量具有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)平面向量是自由向量零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0.a0共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作ab相

2、等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)续表减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab辨

3、 析 感 悟1对共线向量的理解(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同 ()(2)若ab，bc，则ac. ()(3)(2013郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则. ()(4)(2013陕西卷改编)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件 ()2对向量线性运算的应用(5). ()(6)(教材习题改编)在ABC中，D是BC的中点，则() ()学生用书 第69页感悟提升1一个区别两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上2两个防范一

4、是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中真命题的序号是_解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当a

5、b且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小【训练1】 设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假

6、命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.答案D考点二平面向量的线性运算例2】 如图，在平行四边形OADB中，设a， b，B ， .试用a，b表示， 及.解由题意知，在平行四边形OADB中， B ( )(ab)ab，则babab. ()(ab)ab，(ab)abab.规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三

7、角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用【训练2】 (1) (2013四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ，则_. (2)(2013泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有 ()A.2 B.2C.2 D.2解析(1)2，2.(2)，22.答案(1)2(2)D考点三平行向量基本定理及其应用【例3】 (2013郑州一中月考)设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定

8、实数k，使kab和akb共线审题路线(1)由向量的加法，得BDBCCD用a，b表示BD得到BD与AB的关系式由平行向量基本定理，得BD与AB共线再看是否有公共点得到证明的结论(2)假设存在实数k利用平行向量基本定理列出方程根据a，b是两个不共线的向量得出方程组解得k值(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线

9、的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.【训练3】 (2014西安模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，则实数的值为_解析由于c与d同向，所以ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，所以1或.又因为k0，所以0，故1.答案11向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论2对于向量共线

10、定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置方法优化3准确把握平面向量的概念和运算【典例】 (2012浙江卷)设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|一般解法 (排除法)选项A，若ba，则等式|ab|a|b|成立，显然ab不成立；选项B，若ab且|a|b|，则|a|b|0，显然，|ab|a|0，故|ab|a|b|不成立；选项D，若ba，

11、则|a|b|0，显然，|ab|2|a|0，故|ab|a|b|不成立综上，A，B，D都不正确，故选C.优美解法 (数量积法)把等式|ab|a|b|两边平方，得(ab)2(|a|b|)2，即2ab2|a|b|，而ab|a|b|cos，所以cos1.又因为0，所以，即a，b为方向相反的共线向量故C正确反思感悟 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|ab|a|b|”在处理过程中误认为“|ab|ab|”，从而得到“ab”这个错误的结论【自主体验】在OAB中，a，b，OD是AB边上的高，若，则实数 ()A. B.C. D.解析由，|.又|a|cos A|a|，|ba|，.故选C.答案C 基础巩固题组(建

12、议用时：40分钟)一、选择题1若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析由图可知.答案B2.(2014汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，等于()A0 B.C. D.解析因为ABCDEF是正六边形，故.答案D3对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab，ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件答案A4(2014开封模拟)下列命题中，正确的是()A若|a|b|，则ab或abB若ab0，则a0或b0C若ka0，则k0或a0D若a

13、，b都是非零向量，则|ab|ab|解析对于A，显然不能得知ab或ab，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到(ab)2(ab)24ab，显然ab与零的大小关系不确定，因此选项D不正确综上所述，选C.答案C5(2014兰州质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为()A. B. C. D.解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为，选C.答案C二、填空题6(2014湖州月考)给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等

14、；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上其中不正确命题的序号是_解析中，向量与为相反向量，它们的长度相等，此命题正确中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误共线向量是方向相同或相反的向量，若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，该命题错误答案7在ABCD中

15、，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析由3，得43 3(ab)，ab，所以(ab)ab.答案ab8(2014泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为_解析2ab，又A，B，D三点共线，存在实数，使.即p1.答案1三、解答题9在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解()ab；()()ab.10若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？解设a，tb，(ab)，ab，tba.要使A，B，C三点共线

16、，只需.即ab(tba)tba.又a与b为不共线的非零向量，有当t时，三向量终点在同一直线上能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2013济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的()AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点(非重心)C重心DAB边的中点解析设AB的中点为M，则，(2)，即32，也就是2，P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点答案B2在ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若x (1x)，则实数x的取值范围是()A(，0) B(0，)C(1,0) D(0,1)解析设 (1)，则

17、 (1) ，又x (1x)，所以x (1x)(1) .所以1x1，得x0.答案A二、填空题3若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析2，|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形答案直角三角形三、解答题4.在ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.解()()(1)(1)ab.又m ()(1m)a(1m)b，解得m，ab.第2讲向量的分解与向量的坐标运算最新考纲1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知

18、 识 梳 理1平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平

19、面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y103平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.辨 析 感 悟1对平面向量基本定理的理解(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12. () (3)(2013广东卷改编)已知a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：给定向量b，总存在向量c，使abc. ()给定向量b和c，总存在实数和，使abc；()给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc； ()给定正数和，总存在

20、单位向量b和单位向量c，使abc. ()2平面向量的坐标运算(4)(教材习题改编)已知点A(2,1)，B(1,3)，则(3,2) ()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成. ()(6)(2013湘潭调研改编)已知向量a(4，x)，b(4,4)，若ab，则x的值为4. ()感悟提升1向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化2两

21、个防范一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10，如(5).考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解法一设a，b，则ad，bc.将代入，得ad，adc(2dc)，将代入，得bc(2dc)(2cd)(2dc)，(2cd)法二设a，b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以b，a，因而即(2dc)，(2cd)规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本

22、定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【训练1】 在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若A，则()A. B. C. D.解析因为()22，所以，所以.答案D考点二平面向量的坐标运算【例2】 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mb

23、nc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M的坐标为(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐标为(9,2)，(90,220)(9，18)规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用【训练2】 (1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab ()A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2)学生用书 第72页(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,

24、3)，则 ()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析(1)a，b，故ab(1,2)(2)由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案(1)D(2)B考点三平面向量共线的坐标运算【例3】 平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标审题路线(1)分别求出(akc)与(2ba)的坐标利用向量平行的充要条件列方程解关于k的方程；(2)设d的坐标根据已知条件列出方程组解方程组，得到d的坐标解(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5,3)规律方法 ab的充要条件有两种表达方式：(1)ab(b0)ab(R)；(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0，而第(2)种无b0限制【训练3】 (1)(2014衡水中学一检)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则 ()A. B. C1 D2(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C