实验二 动态规划算法李明明.docx

1、实验二 动态规划算法李明明实验二 动态规划算法（2学时）基本题一：最长公共子序列问题一、实验目的与要求1、熟悉最长公共子序列问题的算法；2、初步掌握动态规划算法；二、实验题 若给定序列X=x1,x2,xm，则另一序列Z=z1,z2,zk，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列i1,i2,ik使得对于所有j=1,2,k有：zj=xij。例如，序列Z=B，C，D，B是序列X=A，B，C，B，D，A，B的子序列，相应的递增下标序列为2，3，5，7。给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。给定2个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找

2、出X和Y的最长公共子序列。 三、实验提示include stdlib.h#include string.hvoid LCSLength(char *x ,char *y,int m,int n, int *c, int *b) int i ,j; for (i = 1; i = m; i+) ci0 = 0; for (i = 1; i = n; i+) c0i = 0; for (i = 1; i = m; i+) for (j = 1; j =cij-1) cij=ci-1j; bij=2; else cij=cij-1; bij=3; void LCS(int i ,int j, cha

3、r *x ,int *b) if (i =0 | j=0) return; if (bij= 1) LCS(i-1,j-1,x,b); printf(%c,xi); else if (bij= 2) LCS(i-1,j,x,b); else LCS(i,j-1,x,b);四、算法思想1)动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。2)与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是独立的。子问题中存在大量的公共子问题，在分治求解过程中被多次重复计算，保存计算结果，为后面的计算直接引用，减少重

4、复计算次数这就是动态规划的基本思想。 3)用动态规划算法求解问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量重复计算，最终得到多项式时间算法 五、算法设计与实现#include iostream.h#include iomanip.h#define max 100void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,char *b) int i,j,k; int cmaxmax; for(i=1;i=m;i+) ci0=0; for(i=1;i=n;i+) c0

5、i=0; for(i=1;i=m;i+) for(j=1;j=cij-1) cij=ci-1j; k=i*(n+1)+j; bk=|; else cij=cij-1; k=i*(n+1)+j; bk=-; void LCS(int i,int j,char *x,char *b,int width) if(i=0 | j=0) return; int k=i*(width+1)+j; if(bk=) LCS(i-1,j-1,x,b,width); coutxiendl; else if(bk=|) LCS(i-1,j,x,b,width); else LCS(i,j-1,x,b,width);

6、 void main() char xmax=a,b,c,b,d,a,b; char ymax=b,d,c,a,b,a; int m=7; int n=6; char bmax=0; LCSLength(m,n,x,y,b); LCS(m,n,x,b,n); coutendl0;xi=yi时,cij=ci-1j-1+1当i,j0;xi!=yi时,cij=maxcij-1,ci-1j#include#define max(a,b) ab?a:b#define M 100void display(int &n,int &C,int wM,int vM) int i; coutn; coutendl

7、; coutC; coutendl; cout请输入各物品的大小或重量w:endl; w0=0; for(i=1;iwi; cout请输入各物品其价值v:endl; v0=0; for(i=1;ivi;int knapsack(int &n,int &C,int wM,int vM,int VMM) int i,j; for (i=0;i=n;i+) for(j=0;jj) Vij=Vi-1j; else if(wi=j) Vij=max(Vi-1j,Vi-1j-wi+vi); return VnC;void traceback(int n,int C,int wM,int xM,int VM

8、M) for(int i=1;i0)?1:0;void main() int i,j,n,C; char ch; int wM,vM,xM; int VMM; while(1) display(n,C,w,v); cout运算结果如下：endl; for(i=1;i=n;i+) xi=0; knapsack(n,C,w,v,V); cout ; for(j=0;j=C;j+) coutj ; coutendl; for(i=0;i=n;i+) couti ; for(j=0;j=C;j+) coutVij ; coutendl; coutendl; cout选择的物向量表示为:; cout (

9、 ; traceback(n,C,w,x,V); for(i=1;i=n;i+) coutxi ; cout)endl; cout背包最大价值为:VnCendl; coutendl; cout按Y或y继续操作，否则按任意键ch; if(ch=Y|ch=y) continue; else break; 六、实验总结本次实验通过动态算法解决最长公共子序列问题，对于求两个序列的一个最长公共子序列, LCSlength算法时间复杂性为0 (alen*blen) ,能够得到较满意的结果。但另一个方面, 这种算法在对ci-lj与cij-l 值的比较中忽略了相等的情况, 即在两个序列的最长公共子序列不唯一时

10、不可能求出所有的最长公共子序列。基本题二：最大字段和问题一、实验目的与要求1、熟悉最长最大字段和问题的算法；2、进一步掌握动态规划算法；二、实验题 若给定n个整数组成的序列a1，a2，a3，an，求该序列形如aiai1an的最大值。三、实验提示int MaxSum(int n,int *a,int &besti,int &bestj) intsum=0; for(int i=1;i=n;i+) for(int j=i;j=n;j+) int thissum=0; for(int K=i;ksum) sum=thissum; besti=i; bestj=j; return sum;int Ma

11、xSum(int n,int *a,int &besti,int &bestj) intsum=0; for(int i=1;i=n;i+) int thissum=0; for(intj=i;jsum) sum=thissum; besti=i; bestj=j; return sum; 四、算法思想这个算法可以通过动态规划分解为两步：1，计算辅助数组。2，计算辅助数组的最大值。辅助数组bj用来记录一j为尾的子段和集合中的最大子断和。例如，假如有一序列：-2，11，-4，13，-5，-2则 b(1) = -2 ,b(2) = 11, b(3) = 7, b(4) = 20, b(5) = 1

12、5, b(6) = 13 a(1) = -2, a(2) = 11, a(3) = 7, a(4) = 13, a(5) = -5, a(6) = -2 b(1) 0 b(3) 0 b(4) 0 b(5) 0 b(6) 0- b(j - 1) + a(j) 当b(j-1) = 0 b(j) = a(j) 当b(j-1) 0五、算法设计与实现int max_sum(int n,int *a,int *besti,int *bestj) int *b = (int *)malloc(n * sizeof(int); int sum = 0; int i = -1; int temp = 0; fo

13、r (i=0;i 0) temp += ai; else temp = ai; bi = temp; sum = b0; for (i=1;i=n-1;i+) if (sum = 0;i-) if (bi = ai) *besti = i; break; free(b); return sum; #include #include int max_sum(int n,int *a,int *besti,int *bestj) int *b = (int *)malloc(n * sizeof(int); int sum = 0; int i = -1; int temp = 0; for (i

14、=0;i 0) temp += ai; else temp = ai; bi = temp; sum = b0; for (i=1;i=n-1;i+) if (sum = 0;i-) if (bi = ai) *besti = i; break; free(b); return sum; int main(void) int a = -2,1,-4,13,-5,-2,-10,20,100; int length = sizeof(a)/sizeof(int); int sum = -1; int besti = -1; int bestj = -1; sum = max_sum(length,

15、a,&besti,&bestj); printf(besti = %d,bestj = %d,max_sum=%dn,besti,bestj,sum); return 0;#include /这个穷举法将分段和计算合在一起，将计算段和复合在分段中，故只有n2的复杂度。int max_sum(int n,int *a,int *besti,int *bestj) int sum = 0; int thissum = 0; int i = 0,j = 0,k = 0;/*-*/ for (i = 0;i = n-1 ;i+) /穷举出所有的段。 thissum = 0; for (j = i;j

16、sum) sum = thissum; *besti = i;/记录下起点位置 *bestj = j;/记录下结束位置 return sum;int main(void) int a = -2,11,-4,13,-5,-2,32,2,-100,2; int length = sizeof(a)/sizeof(int); int besti = -1; int bestj = -1; int sum = -1; sum = max_sum(length,a,&besti,&bestj); printf(besti=%d,bestj=%d,max_sum=%dn,besti,bestj,sum);

17、 return 0;六、实验总结提高题一： 用动态规划法求解0/1背包问题一、实验要求与目的1、 掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。2、 使用动态规划法编程，求解0/1背包问题。二、实验内容1、 问题描述：给定n种物品和一个背包，物品i的重量是Wi，其价值为Vi，问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？2、 算法描述。3、 程序实现；给出实例测试结果。三、算法分析问题分析：令V(i,j)表示在前i(1=i=n)个物品中能够装入容量为就j(1=j=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:(1) V(i,0)=V(0,j)=0(2) V(i,j)=V(

18、i-1,j) jwi(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入 背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个 物品装入容量位j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解四、算法设计与实现#include stdio.hint

19、 V200200;/前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值int max(int a,int b) if(a=b) return a; else return b;int KnapSack(int n,int w,int v,int x,int C) int i,j; for(i=0;i=n;i+) Vi0=0; for(j=0;j=C;j+) V0j=0; for(i=0;i=n-1;i+) for(j=0;j=C;j+) if(j=0;i-) if(VijVi-1j) xi=1; j=j-wi; else xi=0; printf(选中的物品是:n); for(i=0;in;i+) printf(%d ,xi); printf(n); return Vn-1C; void main() int s;/获得的最大价值 int w15;/物品的重量 int v15;/物品的价值 int x15;/物品的选取状态 int n,i; int C;/背包最大容量 n=5; printf(请输入背包的最大容量:n); scanf(%d,&C); printf(输入物品数:n); scanf(%d,&n); printf(请分别输入物品的重量:n); for(i=0;in;