稳定婚姻问题和延迟认可算法.docx

1、稳定婚姻问题和延迟认可算法稳定婚姻问题和延迟认可算法作者：goal00001111 （高粱） 始发于goal00001111 的专栏；允许自由，但必须注明作者和出处摘要：延迟认可算法（Gale-Shapley算法）是解决稳定婚姻问题的经典算法，本文用C+来实现Gale-Shapley算法。文章详细介绍了Gale-Shapley算法的原理和编码思路，给出了一个直接从原理出发的原始算法及其改进版本，并对两个版本进行了比较分析。关键词：稳定婚姻问题延迟认可算法二维数组以空间换时间稳定婚姻问题 问题来自于一场“3分钟相亲”活动，参加活动的有n位男士和n位女士。要求每位男士都要和所有的女士进行短暂的单独

2、交流，并为她们打分，然后按照喜欢程度，对每一位女士进行排序；同样的，每位女士也要对所有男士进行打分和排序。 作为活动的组织者，当你拿到这些数据后，该如何为男，女士们配对，才能使大家皆大欢喜，组成稳定的婚姻呢？ 插一句：什么样的婚姻才能称为稳定的婚姻呢？ 所谓稳定的婚姻，就是指男女结婚后，双方都不会发生出轨行为。 那怎样才能做到双方都不出轨呢？ 如果双方都是对方的最爱，自然不会出轨；如果有一方或双方都不是对方的最爱，则必须保证想出轨的人找不到出轨的对象。例如，男子i认为其妻子不是自己的最爱，他更爱的人是j女士，可是j女士认为自己的丈夫比男子i强，则不会选择与男子i出轨；另外有k女士很喜欢男子i，

3、可是男子i又觉得她不如自己的现任妻子，所以也不会选择和k女士出轨。这样男子i就找不到与之出轨的对象了；同理，如果他的妻子也找不到出轨对象的话，他们的婚姻就是稳定的。简言之，只要满足“除妻子（丈夫）外，我爱的人不爱我，爱我的人我不爱”条件，就可形成稳定的婚姻。回到我们的问题：如何让所有参加相亲活动的男女都组成各自的“稳定婚姻”?1962 年，美国数学家 David Gale 和 Lloyd Shapley 发明了一种寻找稳定婚姻的策略，人们称之为延迟认可算法（Gale-Shapley算法）。 先对所有男士进行落选标记，称其为自由男。当存在自由男时，进行以下操作： 每一位自由男在所有尚未拒绝她的女

4、士中选择一位被他排名最优先的女士； 每一位女士将正在追求她的自由男与其当前男友进行比较，选择其中排名优先的男士作为其男友，即若自由男优于当前男友，则抛弃前男友；否则保留其男友，拒绝自由男。 若某男士被其女友抛弃，重新变成自由男。在算法执行期间，自由男们主动出击，依次对最喜欢和次喜欢的女人求爱，一旦被接受，即失去自由身，进入订婚状态；而女人们则采取“守株待兔”和“喜新厌旧”策略，对前来求爱的男士进行选择：若该男子比未婚夫强，则悔婚，选择新的未婚夫；否则拒绝该男子的求婚。被女友抛弃的男人重获自由身，重新拥有了追求女人的权利当然，新的追求对象比不过前女友。这样，在算法执行期间，每个人都有可能订婚多次

5、也有可能一开始就找到了自己的最爱，从一而终每订一次婚，女人们的选择就会更有利，而男人们的品味则越来越差。只要男女生的数量相等，则经过多轮求婚，订婚，悔婚和再订婚之后，每位男女最终都会找到合适的伴侣虽然不一定是自己的最爱（男人没能追到自己的最爱，或女人没有等到自己的最爱来追求），但绝对不会出现“虽然彼此相爱，却不能在一起”的悲剧，所有人都会组成稳定的婚姻。本文用C+来实现Gale-Shapley算法，采用男士主动求爱，女士接受求爱的方式。假设男女生人数均为MAX，对每位男士和女士均进行编号，用自然数0,1,2，。，MAX-1表示其序号（依照C+的习惯，序号从0开始）。用二维数组liManMAXM

6、AX来存储男士所喜欢的女士序号的排列表；同理，用二维数组libLadyMAXMAX+1来存储女士所喜欢的男士序号的排列表，例如v号女最喜欢i号男，则libLadyv0 = i；若t号男比i号男更招v号女喜欢，则在数组libLadyv中，元素值t的下标小于元素值i的下标。为了简化算法，增加一个“不存在”的男士（序号为MAX），作为女士最初的选择。在给二维数组libLadyMAXMAX+1赋初值时，对于任意一个女士v，总有libLadyvMAX = MAX。 为所有的男士（包括那个 “不存在”的）建立一个数组manMAX+1，用来存储他们追求女士的次数，i号男目前追求的女士序号为libManima

7、ni。例如，mani=0表示i号男尚未追求过女士，其所追求的女士序号为libMani0；mani=2表示i号男已经追求过两位女士，他下次追求的女士序号为libMani2（即在喜好表中排名第3位的女士）。很明显，manMAX+1的每个元素初始值均为0，表示刚开始时，每位男士都去追求自己最喜欢的女士，mani值越大，男士对所选择的女士越不满意。为所有的女士建立一个数组ladyMAX，用来存储她所选择的男士序号，数组的所有元素初始值均为MAX，表示女士的当前男友为一个“不存在”的男士，他的分值比任何男士都低，以保证当有一个真正的男人追求该女士时，她会毫不犹豫的抛弃MAX，而选择该男子。我们遍历数组m

8、anMAX+1，依次让每个男士去追求自己心仪的女士（当然不需要处理元素manMAX那个“不存在”的男人）。例如现在正逢i号男追求v号女，若i号男不如v号女当前男友，则遭拒绝，i号男继续追求其“次喜欢女”；反之，若i号男比v号女当前男友优秀，则v抛弃前男友，选择i号男为新男友，而其前男友（设为t号男）重获自由身，可以去追求自己的“次喜欢女”了。这里有一个地方要注意：因为我们是通过执行（i+）来遍历数组的，所以如果当ti时，必须要让i折回到t位置（使i=t)，否则会漏掉t。当i = MAX时，表示所有男士都找到了自己的另一半，算法结束，输出结果。C+代码如下：#include using name

9、space std; const int MAX = 4;bool ChangeFriend(const int libLadyMAX+1, int v, int oldF, int newF);/判断是否需要换男友 int main() int libManMAXMAX = 2,1,3,0,0,2,3,1,2,3,1,0,1,3,2,0;/存储男士所喜欢的女士序号的排列表 int libLadyMAXMAX+1 = 0,3,1,2,MAX,1,3,2,3,MAX,0,2,3,1,MAX,1,0,3,2,MAX;/存储女士所喜欢的男士序号的排列表 int manMAX+1 = 0; int l

10、adyMAX = MAX,MAX,MAX,MAX; int i = 0; while (i i) /前男友序号t在新男友i之后，则今后顺序前行可以处理t i+; /处理下一个男士 else /前男友序号t在新男友i之前，返回t，否则会漏掉t i = t; else/继续处理i号男的“次喜欢女” mani+; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士追求女士的次数 cout mani + 1 , ; cout endl; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士的妻子的序号 cout libManimani , ; cout endl; for (int

11、i=0; iMAX; i+)/输出每位女士的丈夫的序号 cout ladyi , ; cout endl; system(pause); return 0;bool ChangeFriend(const int libLadyMAX+1, int v, int oldF, int newF)/判断是否需要换男友 for (int i=0; i=MAX; i+) if (libLadyvi = oldF) oldF = i; break; for (int i=0; i newF);在上述实现中，我设计了一个子函数bool ChangeFriend(const int libLadyMAX+1,

12、 int v, int oldF, int newF)，用来判断女士v是否需要换男友，若男子序号newF在数组libLadyvi的位置比oldF靠前，则说明女士v更喜欢newF，需要换男友，否则不换。通过比较它们的下标，可以得出结论。这个子函数的引入可以让程序完成工作，但也带来一些效率上问题，每次调用函数都要分别遍历数组libLadyv两次，去寻找oldF和newF的下标，这样在MAX值很大的时候，时间消耗是相当大的。另外，由于我们是通过执行（i+）来遍历数组，每次遇到(t i)时，都要令i折回到t，然后再执行（i+），进行了很多重复的比较，浪费了宝贵的时间。那么，如何改进代码，解决上述两个问

13、题？首先解决关于子函数的问题。之所以引入子函数，是因为数组libLadyv存储的是女士v所喜欢的男士序号的排列表，而不是男士的分值表。如果我们创建一个二维数组libladyValueMAXMAX+1，用来存储女士v所喜欢的男士的分值，即数组元素libladyValuevi表示女士v给i号男打的分数，分数越高，则表示越招人喜欢。这样我们在判断女士v是否需要换男友时，就无需遍历数组，只要直接比较libladyValuevi和libladyValuevt的值就好了。其次解决重复比较的问题。我们可以创建一个栈，把所有自由男的序号存储到栈中，每当有男子订婚，则将其序号出栈；每当有男子被抛弃，则将其序号入

14、栈。这样就可以确保不会出现重复比较了。在解决上述两个问题的时候，我都采用了“以空间换时间”的策略，小小的自夸一下，呵呵！改进后的C+代码如下：#include using namespace std; const int MAX = 4;int main() int libManMAXMAX = 2,1,3,0,0,2,3,1,2,3,1,0,1,3,2,0;/存储男士所喜欢的女士序号的排列表 int libLadyMAXMAX+1 = 0,3,1,2,MAX,1,3,2,3,MAX,0,2,3,1,MAX,1,0,3,2,MAX;/存储女士所喜欢的男士序号的排列表 int libladyVa

15、lueMAXMAX+1 = 0; for (int i=0; i=0; j-,k+) libladyValueilibLadyij = k; int manMAX+1 = 0;/存储各个男士追求女士的次数 int ladyMAX = MAX,MAX,MAX,MAX;/序号初始值MAX表示一个“不存在”的男士，即其分值比任何男士都低 int SMAX = 0;/一个栈，用来存储所有自由男的序号 int top = 0; while (top = 0)/让自由男主动去追求自己喜欢的女士，直到所有的人都配对 int v = libManStopmanStop; /处在栈顶（序号为Stop）的男士喜欢

16、v号女 if (libladyValuevladyv libladyValuevStop) /若栈顶男比v号女当前男友优秀，则 v抛弃前男友，接受栈顶男 int t = ladyv; /存储前男友序号 mant+; /抛弃前男友，即前男友选择其“次喜欢女” ladyv = Stop-; /选择栈顶男为新男友，同时栈顶男出栈 if (t != MAX) /如果t号男不是那个“不存在”的男士 S+top = t; /t号男作为新的栈顶男 else/栈顶男追求下一号目标 manStop+; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士追求女士的次数 cout mani + 1 , ;

17、 cout endl; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士的妻子的序号 cout libManimani , ; cout endl; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位女士的丈夫的序号 cout ladyi , ; cout endl; system(pause); return 0;参考文献：（1） matrix67的博客 0引言 什么是算法 如何寻找稳定的婚姻搭配.matrix67./blog/archives/2976（2） 劼的博客稳定婚姻问题和延迟认可算法intowater.spaces.live./Blog/cns!1pe4f-ndtin3u1qQCckqiIWQ!949.entry