1、稳定婚姻问题和延迟认可算法稳定婚姻问题和延迟认可算法作者:goal00001111 (高粱) 始发于goal00001111 的专栏;允许自由,但必须注明作者和出处摘要:延迟认可算法(Gale-Shapley算法)是解决稳定婚姻问题的经典算法,本文用C+来实现Gale-Shapley算法。文章详细介绍了Gale-Shapley算法的原理和编码思路,给出了一个直接从原理出发的原始算法及其改进版本,并对两个版本进行了比较分析。关键词:稳定婚姻问题延迟认可算法二维数组以空间换时间稳定婚姻问题 问题来自于一场“3分钟相亲”活动,参加活动的有n位男士和n位女士。要求每位男士都要和所有的女士进行短暂的单独
2、交流,并为她们打分,然后按照喜欢程度,对每一位女士进行排序;同样的,每位女士也要对所有男士进行打分和排序。 作为活动的组织者,当你拿到这些数据后,该如何为男,女士们配对,才能使大家皆大欢喜,组成稳定的婚姻呢? 插一句:什么样的婚姻才能称为稳定的婚姻呢? 所谓稳定的婚姻,就是指男女结婚后,双方都不会发生出轨行为。 那怎样才能做到双方都不出轨呢? 如果双方都是对方的最爱,自然不会出轨;如果有一方或双方都不是对方的最爱,则必须保证想出轨的人找不到出轨的对象。例如,男子i认为其妻子不是自己的最爱,他更爱的人是j女士,可是j女士认为自己的丈夫比男子i强,则不会选择与男子i出轨;另外有k女士很喜欢男子i,
3、可是男子i又觉得她不如自己的现任妻子,所以也不会选择和k女士出轨。这样男子i就找不到与之出轨的对象了;同理,如果他的妻子也找不到出轨对象的话,他们的婚姻就是稳定的。简言之,只要满足“除妻子(丈夫)外,我爱的人不爱我,爱我的人我不爱”条件,就可形成稳定的婚姻。回到我们的问题:如何让所有参加相亲活动的男女都组成各自的“稳定婚姻”?1962 年,美国数学家 David Gale 和 Lloyd Shapley 发明了一种寻找稳定婚姻的策略,人们称之为延迟认可算法(Gale-Shapley算法)。 先对所有男士进行落选标记,称其为自由男。当存在自由男时,进行以下操作: 每一位自由男在所有尚未拒绝她的女
4、士中选择一位被他排名最优先的女士; 每一位女士将正在追求她的自由男与其当前男友进行比较,选择其中排名优先的男士作为其男友,即若自由男优于当前男友,则抛弃前男友;否则保留其男友,拒绝自由男。 若某男士被其女友抛弃,重新变成自由男。在算法执行期间,自由男们主动出击,依次对最喜欢和次喜欢的女人求爱,一旦被接受,即失去自由身,进入订婚状态;而女人们则采取“守株待兔”和“喜新厌旧”策略,对前来求爱的男士进行选择:若该男子比未婚夫强,则悔婚,选择新的未婚夫;否则拒绝该男子的求婚。被女友抛弃的男人重获自由身,重新拥有了追求女人的权利当然,新的追求对象比不过前女友。这样,在算法执行期间,每个人都有可能订婚多次
5、也有可能一开始就找到了自己的最爱,从一而终每订一次婚,女人们的选择就会更有利,而男人们的品味则越来越差。只要男女生的数量相等,则经过多轮求婚,订婚,悔婚和再订婚之后,每位男女最终都会找到合适的伴侣虽然不一定是自己的最爱(男人没能追到自己的最爱,或女人没有等到自己的最爱来追求),但绝对不会出现“虽然彼此相爱,却不能在一起”的悲剧,所有人都会组成稳定的婚姻。本文用C+来实现Gale-Shapley算法,采用男士主动求爱,女士接受求爱的方式。假设男女生人数均为MAX,对每位男士和女士均进行编号,用自然数0,1,2,。,MAX-1表示其序号(依照C+的习惯,序号从0开始)。用二维数组liManMAXM
6、AX来存储男士所喜欢的女士序号的排列表;同理,用二维数组libLadyMAXMAX+1来存储女士所喜欢的男士序号的排列表,例如v号女最喜欢i号男,则libLadyv0 = i;若t号男比i号男更招v号女喜欢,则在数组libLadyv中,元素值t的下标小于元素值i的下标。为了简化算法,增加一个“不存在”的男士(序号为MAX),作为女士最初的选择。在给二维数组libLadyMAXMAX+1赋初值时,对于任意一个女士v,总有libLadyvMAX = MAX。 为所有的男士(包括那个 “不存在”的)建立一个数组manMAX+1,用来存储他们追求女士的次数,i号男目前追求的女士序号为libManima
7、ni。例如,mani=0表示i号男尚未追求过女士,其所追求的女士序号为libMani0;mani=2表示i号男已经追求过两位女士,他下次追求的女士序号为libMani2(即在喜好表中排名第3位的女士)。很明显,manMAX+1的每个元素初始值均为0,表示刚开始时,每位男士都去追求自己最喜欢的女士,mani值越大,男士对所选择的女士越不满意。为所有的女士建立一个数组ladyMAX,用来存储她所选择的男士序号,数组的所有元素初始值均为MAX,表示女士的当前男友为一个“不存在”的男士,他的分值比任何男士都低,以保证当有一个真正的男人追求该女士时,她会毫不犹豫的抛弃MAX,而选择该男子。我们遍历数组m
8、anMAX+1,依次让每个男士去追求自己心仪的女士(当然不需要处理元素manMAX那个“不存在”的男人)。例如现在正逢i号男追求v号女,若i号男不如v号女当前男友,则遭拒绝,i号男继续追求其“次喜欢女”;反之,若i号男比v号女当前男友优秀,则v抛弃前男友,选择i号男为新男友,而其前男友(设为t号男)重获自由身,可以去追求自己的“次喜欢女”了。这里有一个地方要注意:因为我们是通过执行(i+)来遍历数组的,所以如果当ti时,必须要让i折回到t位置(使i=t),否则会漏掉t。当i = MAX时,表示所有男士都找到了自己的另一半,算法结束,输出结果。C+代码如下:#include using name
9、space std; const int MAX = 4;bool ChangeFriend(const int libLadyMAX+1, int v, int oldF, int newF);/判断是否需要换男友 int main() int libManMAXMAX = 2,1,3,0,0,2,3,1,2,3,1,0,1,3,2,0;/存储男士所喜欢的女士序号的排列表 int libLadyMAXMAX+1 = 0,3,1,2,MAX,1,3,2,3,MAX,0,2,3,1,MAX,1,0,3,2,MAX;/存储女士所喜欢的男士序号的排列表 int manMAX+1 = 0; int l
10、adyMAX = MAX,MAX,MAX,MAX; int i = 0; while (i i) /前男友序号t在新男友i之后,则今后顺序前行可以处理t i+; /处理下一个男士 else /前男友序号t在新男友i之前,返回t,否则会漏掉t i = t; else/继续处理i号男的“次喜欢女” mani+; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士追求女士的次数 cout mani + 1 , ; cout endl; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士的妻子的序号 cout libManimani , ; cout endl; for (int
11、i=0; iMAX; i+)/输出每位女士的丈夫的序号 cout ladyi , ; cout endl; system(pause); return 0;bool ChangeFriend(const int libLadyMAX+1, int v, int oldF, int newF)/判断是否需要换男友 for (int i=0; i=MAX; i+) if (libLadyvi = oldF) oldF = i; break; for (int i=0; i newF);在上述实现中,我设计了一个子函数bool ChangeFriend(const int libLadyMAX+1,
12、 int v, int oldF, int newF),用来判断女士v是否需要换男友,若男子序号newF在数组libLadyvi的位置比oldF靠前,则说明女士v更喜欢newF,需要换男友,否则不换。通过比较它们的下标,可以得出结论。这个子函数的引入可以让程序完成工作,但也带来一些效率上问题,每次调用函数都要分别遍历数组libLadyv两次,去寻找oldF和newF的下标,这样在MAX值很大的时候,时间消耗是相当大的。另外,由于我们是通过执行(i+)来遍历数组,每次遇到(t i)时,都要令i折回到t,然后再执行(i+),进行了很多重复的比较,浪费了宝贵的时间。那么,如何改进代码,解决上述两个问
13、题?首先解决关于子函数的问题。之所以引入子函数,是因为数组libLadyv存储的是女士v所喜欢的男士序号的排列表,而不是男士的分值表。如果我们创建一个二维数组libladyValueMAXMAX+1,用来存储女士v所喜欢的男士的分值,即数组元素libladyValuevi表示女士v给i号男打的分数,分数越高,则表示越招人喜欢。这样我们在判断女士v是否需要换男友时,就无需遍历数组,只要直接比较libladyValuevi和libladyValuevt的值就好了。其次解决重复比较的问题。我们可以创建一个栈,把所有自由男的序号存储到栈中,每当有男子订婚,则将其序号出栈;每当有男子被抛弃,则将其序号入
14、栈。这样就可以确保不会出现重复比较了。在解决上述两个问题的时候,我都采用了“以空间换时间”的策略,小小的自夸一下,呵呵!改进后的C+代码如下:#include using namespace std; const int MAX = 4;int main() int libManMAXMAX = 2,1,3,0,0,2,3,1,2,3,1,0,1,3,2,0;/存储男士所喜欢的女士序号的排列表 int libLadyMAXMAX+1 = 0,3,1,2,MAX,1,3,2,3,MAX,0,2,3,1,MAX,1,0,3,2,MAX;/存储女士所喜欢的男士序号的排列表 int libladyVa
15、lueMAXMAX+1 = 0; for (int i=0; i=0; j-,k+) libladyValueilibLadyij = k; int manMAX+1 = 0;/存储各个男士追求女士的次数 int ladyMAX = MAX,MAX,MAX,MAX;/序号初始值MAX表示一个“不存在”的男士,即其分值比任何男士都低 int SMAX = 0;/一个栈,用来存储所有自由男的序号 int top = 0; while (top = 0)/让自由男主动去追求自己喜欢的女士,直到所有的人都配对 int v = libManStopmanStop; /处在栈顶(序号为Stop)的男士喜欢
16、v号女 if (libladyValuevladyv libladyValuevStop) /若栈顶男比v号女当前男友优秀,则 v抛弃前男友,接受栈顶男 int t = ladyv; /存储前男友序号 mant+; /抛弃前男友,即前男友选择其“次喜欢女” ladyv = Stop-; /选择栈顶男为新男友,同时栈顶男出栈 if (t != MAX) /如果t号男不是那个“不存在”的男士 S+top = t; /t号男作为新的栈顶男 else/栈顶男追求下一号目标 manStop+; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士追求女士的次数 cout mani + 1 , ;
17、 cout endl; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位男士的妻子的序号 cout libManimani , ; cout endl; for (int i=0; iMAX; i+)/输出每位女士的丈夫的序号 cout ladyi , ; cout endl; system(pause); return 0;参考文献:(1) matrix67的博客 0引言 什么是算法 如何寻找稳定的婚姻搭配.matrix67./blog/archives/2976(2) 劼的博客稳定婚姻问题和延迟认可算法intowater.spaces.live./Blog/cns!1pe4f-ndtin3u1qQCckqiIWQ!949.entry
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