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1、0浅谈小学数学解决问题教学中学生思维的梳理浅谈小学数学解决问题教学中学生思维的梳理平国强（浙江省杭州市普通教育研究室）小学数学中的“解决问题”，是课程标准实验教材中重要的学习板块，旨在通过让学生综合应用所学数学知识，解决带有现实背景的数学问题，从而提高学生的知识运用能力和数学应用意识，发展数学思维。因此，研究“解决问题”教学的策略，提高“解决问题”教学的有效性，其意义是显而易见的。“数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，另一方面要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的功能。”数学教学肩负着“发展学生思维”的重任，“解决问题

2、”的学习，应该让学生有效经历“问题解决”的过程，即经历“问题情境建立模型解释应用”的过程，从而有效地促进学生思维的发展，实现上述课程目标。显然，在教学过程中，结合教学内容有意识地对学生解决问题过程中的思维、方法进行必要的梳理，对课程目标的实现具有重要意义。一、见树见林，整体把握思维梳理的阶梯从一线教师的角度看，胸中有全局，了解并熟悉小学数学各个学习阶段“解决问题”的教学内容、教学目标及学习过程中的思维关注点，是十分重要的，维此，我们才能避免教学中的“见树不见林”现象，做到思维梳理的延续性，这在当前传统的应用题内容与教法体系被完全打破，而新的内容与教法体系尚处混沌初开的时节显得尤为重要。1、把握

3、解决问题的纵向发展阶段通过分析可以知道，从一年级到六年级“解决问题”的发展过程，呈现如下的特征：问题情境从“非形式化、非良构型、非类型化”向“形式化、良构型和适度类型化”发展；解答方法从“倡导自主多样”向“构建基本模型”发展。事实上，这个过程正反映了“生活数学”向“学校数学”的上升过程，其间对思维训练的要求逐步提高。笔者通过对小学数学“解决问题”教学内容的解读，认为其呈现出以下阶段性的特征：阶段解决问题的内容思维梳理的重点一下年级二下年级用四则计算解决问题，包括各类用一步计算解决的问题和简单的用两步计算解决的问题。例如：合并求和，求剩余部分，求倍数和几倍数以及加减两步、乘除两步等基本问题。本阶

4、段问题体现普遍性和生活性。立足意义理解，根据意义确定算法，在此基础上学会提出问题和解决问题，感悟一个数学问题的基本结构。三下年级五上年级重点研究用两步计算解决的数学问题，包括平均数问题，用连乘、连除解决的问题，以及其他两种数量关系复合的问题和少量的用三步计算解决的问题，并在以上基础上学习用方程解决问题。本阶段问题体现典型性和障碍性。理清情境信息与所求问题之间的思维关键，结合问题情境用语言表述信息之间的数量关系，明确解决问题的基本程序和思考方向，确定解决问题的计算方法。六上年级六下年级用分数（百分数）乘、除法解决问题，包括用一步计算解决的问题，各类百分率问题，两步计算解决的问题以及用比和比例知识

5、解决问题等。本阶段问题体现数学性和应用性。在联系分数乘、除法意义的基础上，训练用数学化的手段（例如线段图）分析、梳理信息之间的数量关系，用数学语言构建基本模型，通过对模型的求解实现问题解决。以上分析表明，只有把握好各个教学阶段的思维梳理重点，才能将“解决问题”的教学目标落到实处，有效有序地促进学生思维的发展。2、注意解决问题类型的横向拓展现行实验教材将计算与解决问题融为一体进行教学，因而所设计的解决问题的例题与以往的教材相比，大大地减少了，在这样的背景下，我们必须思考：“解决问题”是否就是学习这几个例题所呈现的问题类型？学生解决问题的能力如何得到真正的提高？笔者的观点是应该采用“由典型例题向一

6、般数学问题拓展”的设计思路，改变以往那种“通过大量的例题学习与形式训练让学生保持各类问题的解答方法”的教学思路，将例题所提供的解决问题的方法作为基本的思考模型，去实现“多情景、跨领域”的问题拓展。例如，6节废电池可以换一节新电池，8节新电池可以换一个充电器，五（1）收集了240节废电池，可以换回几个充电器？这些拓展性的问题，拥有共同的解法模型，但却不局限于例题的类型，使学生能不断面临新的问题，促进主动思考。二、突出关键，明确解决问题的思维过程这是在明确解决问题各阶段的教学内容和思维训练重点的基础上的又一个梳理重点，它应体现两个方面的关注点，一是面对具体问题明确解决的思维过程，二是清楚解决该问题

7、的关键所在。它涉及到问题能否被顺利解决这一基本目标。1、梳理解决问题的思维过程如果将G.波利亚关于数学解题过程的论述作一个简化提炼，应该可以用“理解、转换、实施、反思”八个字来表示，而这正是老师在解决问题的教学中需要通过思考、交流与梳理让学生领悟到的解决问题的一般过程，并且前两个步骤应该成为我们梳理的重点。因为“理解与转换”实际上反映了“数学信息的获取与有效信息的筛选、数量关系的分析并用数学语言表达、解题思路的把握和解题计划的确立”这些重要的思维环节，它们是整个解决问题过程中思维的核心。例如，右图是人教版课程标准实验教材三年级下册“解决问题”中的一个例题。笔者认为类似问题的教学不应仅仅满足于学

8、生能列式解答这一例题，而应以此为载体，让学生领悟到解决一个数学问题的完整的思维过程，否则，我们将失去数学促进学生思维发展的功能与价值。因此本题应让学生经历以下的数学思考过程：（1）通过观察与交流获取有效的数学信息，理解情景并形成完整的数学问题某场团体操有60人参加表演，他们分成2个大圈，每个大圈由5个小圈组成，问每个小圈有多少人？（2）分析信息之间的关系，并用数学语言表述数量关系其一，每个大圈的人数小圈的个数=每个小圈的人数；其二，参加的总人数小圈的总个数=每个小圈的人数。（3）选择解决问题的思路，并思考：根据所选择的解题思路，应该先算什么，再算什么。（4）列式解答并反思得数的合理性和问题的解

9、决过程。从发展与思维的角度看，以上的过程并非多余，而是促进学生在解决问题的过程中思维更有条理，是“问题情境建立模型解释应用”过程的具体化，如果通过不断的领悟而使学生内化为自己的一种思维习惯，将有助于学生面对更复杂的问题时拥有正确的思维过程。2、引导把握问题的关键和思路指向一个完整的、结构良好的问题情境，应该具有相关的数学信息和由此提出的数学问题，并且这些数学信息之间存在着内在的、本质的联系，由此可以生成新的问题或结论。显然，当呈现的是一个较复杂的数学问题时，现有信息的结论指向与问题所需的信息之间存在着思维的障碍，两者不能直接连接，要将两者顺利对接，可能需要一个过渡性的问题或结论（中间问题），这

10、便是解决问题的关键。无论是传统的应用题教学，还是现在的解决问题教学，这种思维的关键都是客观存在的，只有清楚地把握并有效地突破了思维过程中的关键点，思路才会畅通，问题才得以顺利解决。例如，以下是一节在我省2007年优质课观摩评比中三下年级解决问题的课，教师对教材例题作了改编：兰兰和她的小伙伴到少儿图书馆参加实践活动，他们碰到了下面的问题：教师在教学中，首先让学生独立思考、尝试解决，然后进行算式展示和想法交流，最后在此基础上讨论总结解决本问题的思路与关键，并用课件直观演示：解题思路直观图示思维关键每个书架放的本数一个书架有几格问题。每个书架放几本？总的本数两个书架一共有几格问题。总共有多少格？连起

11、来看，每层放的本数一层有几格问题。每层放多少本？我们认为这样的梳理是必要的，通过以上的梳理，有助于学生对问题关键的把握，了解解决以上问题的不同思路及相应的思考方向，从而确定正确的解题计划，促进思维的条理性，提高解决问题的有效性。三、学会表征，掌握解决问题的思维方法问题表征，即将数学信息从纷繁的情境中提取出来，根据信息之间的内在联系，用数学化的语言与方式揭示信息之间的关系与结构，从而找到解决问题的思路与突破口。它是用具体可操作的方法将波利亚关于解题过程中的“转换”环节加以具体化。1、结合问题情境，有意义地表征数量关系从三年级开始，小学数学解决问题从一步计算为主转入两步计算为主，即开始两重数量关系

12、的复合，因而解决问题的思路也豁然变得丰富多向。到了四年级，类似于“速度时间=路程”这样一般化的数量关系正式成为学习内容，而到五年级学习用方程解决问题时，“相等关系”（数量关系的发展）已成为列方程不可逾越的前提基础。因此，在这一阶段的解决问题教学中，结合具体的问题情境，引导学生表述并揭示其中的数量关系，理解每一种算法的思路与信息结构，不仅有利于很好地解决当前的数学问题，而且对促进学生的后继学习起到很好的作用。以下是人教版课程标准实验教材五年级上册“解决问题”中的一道例题：在教学中我们应该思考：教材提供的两种方法分别应该怎么想？每种方法相应的数量关系是怎样的？如何确定先算什么？后算什么因此实际教学

13、时应该在学生理清信息和问题的基础上，结合题目让学生从不同角度表述求出问题结果所需要的数量关系。例如：（1）每头奶牛1周的产奶量7=每头奶牛1天的产奶量；（2）3头奶牛1天的产奶量3=每头奶牛1天的产奶量；（3）1头奶牛1天产奶1份，则3头奶牛1周产奶21份，总的产奶量21=每头奶牛1天的产奶量。在这样数量关系表征以后，学生能清楚地确定可以先算什么，后算什么，领悟数学模型的价值，使思维的训练落到实处。当然，数量关系表征的方式可以是多样的，让学生自主表征与交流，同样值得提倡。例如在上述的观摩课中教师采用了下面的做法，也非常有效：（1）自己独立解决问题。（2）完成后与同桌交流想法，想一想：怎样让同桌

14、很快看懂你的想法？可以利用老师提供的长方形（表示30千克苹果）画一画。（3）结果展示，想法交流。这样的处理既重视了数量关系的表征，突出了思维的难点，又使表征方式具有形象性，体现学习的个性色彩。2、运用几何直观，有效类化解决问题思路数学问题丰富多样，变化纷繁，但是解决问题的思路却是有章可循的，所谓类化解决问题的思路，是指在学生对各种不同情境的数学问题的解决基础上，通过比较与归纳，发现它们共同的数学结构和解题思路，并以数学的方式加以揭示，从而跳出具体的情境与例题，从更高的层面上认识数学模型的一般性和思维过程的共性，提高应用模型解决问题的能力。“几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题。借助几何

15、直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观不仅在图形与几何的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。”一直以来，几何直观作为揭示与分析数量关系的有效手段而在解决问题的教学中被我们所重视，例如我们常用的“线段图”便是极好的直观手段。除此以外，笔者以为，几何直观在促进学生解决问题思路的类化中也具有不可替代的作用。例如同样在上述观摩课中，教师通过两个不同情境但都用连除两步来解决的数学问题的交流，配以课件，展开了如下的讨论：（1）想一想，刚才的“书架放书”问题你们用了那些想法去解决的？（2）学生回忆并交流刚才的解题思路。（3）这种想法在“猴子吃苹

16、果”的问题中又相当于是怎样想的？（4）请学生小组内交流并比较两个问题的三种解题思路，感悟它们的相似性。（5）汇报想法并课件演示：想法一：想法二：想法三：可以看出，这样的类比既具有直观性，又不失数学性，将暗箱中的思维赋予形象化的载体，使学生很容易领悟到两个问题虽然看似不同，但其解决思路却具有共同性，从而较好地揭示出用连除两步解决问题的思路指向和思维特征，提升了学生的学习水平和问题类化的能力。3、关注思维方法，提高解决问题的有效性“每当他不能通过简单的行动从一种情境达到另一种需要的情境时，就要求助于思考这种思考的任务是设计某种行动，这种行动能使其从当前的情境达到需要的情境。”这是S.L.罗伯逊在他

17、的问题解决心理学中对解决问题的一种描述，显然，学生从当前的问题状态要达到需要的目标状态时，必须对数学信息和问题之间直接或间接的联系进行思考与分析，在这个过程中，综合思维和分析思维这两种思维方法对问题的解决起到了重要的作用。简单地说，综合思维是从问题情境中的数学信息出发，分析它们之间的关系，思考可以得出的可能结果；而分析思维则是从问题出发，思考解决该问题所必需的信息是什么，从而有目标地从问题情境中寻找相关的数学信息。应该说，这两种思维方法在解决问题的过程中具有同等重要的地位，它们都是对事物之间本质联系的把握，事实上，在解决问题的过程中，两种思维方法常常是结合运用的，以提高解决问题的效率。纵观现行

18、小学数学实验教材，直接提供问题情境（主题图或情境图），让学生观察以后提出问题，再解决问题的设计可谓比比皆是，这样的方式，使学生的综合思维能力得到了发展。反过来，要求学生从问题出发，思考解决该问题所必需的数学信息的设计却十分稀少，这不能不说是一种遗憾。故笔者认为，老师在教学中应关注并补充类似的教学设计，发展学生的分析思维。例如：学校运动会上要给每位同学发一瓶饮料，根据现有的信息，请你提出一个需要两步计算解决的数学问题，你觉得信息够吗？如果要请你解决“三、四年级每人1瓶，一共要花多少元？”这个问题，需要补充什么信息？小学数学课，具有公共基础的性质，因此，它不仅仅追求某一些方面的精深，更应关注思维方式、方法各方面的均衡与和谐发展，从这个角度讲，综合思维与分析思维两者不要过于偏废是必要的。“数学问题的重要性主要的不仅仅在于其直接的应用，而是其数学思维训练的价值和潜在的对发展智力的影响。”我们之所以认为，解决问题作为提高学生综合应用数学知识，发展思维的有效载体，应该结合教学内容对学生的数学思维过程和思维方法作必要的训练与梳理，使学生积累必要的解决问题的经验，提高数学能力，皆是出于与以上相同的认识。