高考数学一轮复习考点与题型总结选修45不等式选讲.docx

1、高考数学一轮复习考点与题型总结选修45不等式选讲选修4-5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1.绝对值三角不等式定理1：如果a, b是实数，则|a + b|w|a|+ |b|,当且仅当ab 0时，等号成立.定理2：如果a, b, c是实数，那么|a- c|w p b|+ |b- c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时, 等号成立. J|a|b|w |a- b|w |a|+ |b|,当且仅当|a| |b|且ab 0时，左边等号成立，当且仅当 ab 0时，右边等号成立2.绝对值不等式的解法(1)|x|a型不等式的解法不等式a0a = 0a0|x|a x|- axax|xa 或 x 0)和|a

2、x+ b| c(c0)型不等式的解法：1|ax+ b|w c? c ax+ bc? ax+ bc 或 ax+ b c和|x- a|+ |x- b|1的解集.x 4, x 1,33x 2, 12,故y = f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知， 当f(x) = 1时，可得x= 1或x= 3;1当f(x) = 1时，可得x= 3或x= 5.3故 f(x)1 的解集为x|1x3,1、 f(x) 1的解集为x x5 .1所以 |f(x)|1 的解集为 x x3或 1x5 .题组训练1 解不等式 |x+ 1|+ |x 1| 2.解：当x 1,又因为x 1,故无解； 当一1W x

3、 1 时，原不等式可化为 x+ 1+ 1 x= 21时，原不等式可化为 x+ 1 + x 1W 2,解得x1，故无解；综上，不等式|x+ 1|+ |x 1| 3x+ |2x+ 1|的解集； 若不等式f(x) 0的解集为x|x3x+ |2x+ 1|,得 |x 1| |2x+ 1|0,当 x1 时，x 1 (2x+ 1) 0，得 x 0,得一壬 xW 0；x a, x0时，不等式的解集为 x xw I .由一2= 1,得 a= 2.当a = 0时，不等式的解集为xxw 0，不合题意.a当a0时，不等式的解集为 x xwa .由a= 1,得 a= 4.4综上，a = 2或a= 4.考点二绝对值不等式

4、性质的应用典例(2019湖北五校联考)已知函数f(x)=|2x 1|, x R.(1)解不等式 f(x)|x| + 1 ；1 1 若对 x, y R, 有 |x y 1|w 3, |2y+ 1|w 石，求证:f(x)1.解(1) f(x)|x|+ 1,.|2x 1|2, 或 x2, 或 xw 0,2x 1x+ 1 1 2xx+ 1 1 2x x+ 1 ,1 1得2三x2或。三或无解.故不等式f(x)|x| + 1的解集为x|0x2.(2)证明：f(x) = |2x 1|= |2(x y 1) + (2y+ 1)|w |2(x y 1)| + |2y+ 1| = 2|x y 1|+ |2y +1

5、151|w 2 x 3+6=6故不等式f(x)v 1得证.解题技法绝对值不等式性质的应用利用不等式 |a+ b|w|a|+ |b|(a, b R)和|a b|w |a c|+ |c b|(a, b R),通过确定适当的a , b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式.题组训练1.求函数 f(x) = |x + 2 019| |x 2 018|的最大值.解：因为 f(x)= |x+ 2 019| |x 2 018|w |X+ 2 019 x+ 2 018|= 4 037 ,所以函数f(x)= |x+ 2 019|x- 2 018的最大值为 4 037.1152若 x 1

6、,1, |y|w-, ZS9,求证：|x + 2y 3z|w3.1 1证明：因为 x 1,1, |y|w6，|zS 6，1 1 5所以 |x+ 2y 3z|w 凶 + 2|y|+ 3|z|w 1 + 2+ 36 9 35所以|x+ 2y 3z|w 5成立.考点三绝对值不等式的综合应用典例(2018 肥质检)已知函数f(x)= |2x 1|.(1)解关于x的不等式f(x) f(x+ 1) w 1 ；若关于x的不等式f(x)2或一 4三x 4,所以原不等式的解集为14,+ OO(2)由条件知，不等式|2x 1|+ |2x + 1|(|2x 1| + |2x+ 1|)min 即可.由于 |2x 1|

7、+ |2x + 1| = |1 2x| + |2x+ 1| |1 2x+ (2x+ 1)| = 2，当且仅当(1 2x)(2x +1 11) 0,即x 2，1时等号成立，故 m2.所以m的取值范围是(2,+ o).解题技法两招解不等式问题中的含参问题(1)转化1把存在性问题转化为求最值问题;2不等式的解集为 R是指不等式的恒成立问题;3不等式的解集为？的对立面也是不等式的恒成立问题， 此类问题都可转化为最值问题,即 f(X)V a 恒成立? a f(x)max, f(x) a 恒成立? av f(x)min.(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：1利用绝对值的几何意义；2利用绝

8、对值三角不等式，即 |a|+ |b| |a )| |a| |b|;3利用零点分区间法.题组训练1.(2018 全国卷 n )设函数 f(x) = 5- |x+ a| |x 2|.(1)当a = 1时，求不等式f(x) 0的解集；若f(x) 1，求a的取值范围.2x+ 4, x 1, 解：(1)当 a= 1 时，f(x)= 2, K x2.当 x 0,解得一2 x2 时，由一2x+ 6 0,解得 20 的解集为x| 2wx 3.(2)f(x)4.而|x+ a|+|x 2|a+ 2|,且当x= 2时等号成立.故 f(x) w 1 等价于 |a+ 2|4.由|a + 2|4可得a w 6或a2.所以

9、a的取值范围是(一a, 6 U 2 ,+s).2.(2018 东珠海二中期中)已知函数f(x)= |x+ m|+ |2x 1|(m R),若关于x的不等式3 一f(x)w |2x+ 1|的解集为A，且4, 2 ? A,求实数m的取值范围.解: / 3, 2 ? A,3当x 4, 2时，不等式f(x)w |2x+ 1|恒成立，3即|x+ m|+ |2x 1|w |2x + 1在 x 4, 2 上恒成立，|x+ m|+ 2x 1 w 2x+ 1,3即|x+ m|w 2在x , 2上恒成立，4 2w x+ mw 2,3 x 2 w m w x + 2 在 x 4, 2 上恒成立，- ( x 2)ma

10、xw m w (x+ 2)min ,11W mw 0,故实数m的取值范围是114 ,课时跟踪检测1 求不等式|2x 1|+ |2x+ 1|W 6的解集解：原不等式可化为1x2,2x 1+ 2x+ 1 6.解得3 |a 4|= a,从而解得a = 2.2x+ 6, xw 2,(2)由(1)知,f(x)= |x 4+ |x 2|= 2, 2Vxw 4,2x 6, x 4.1故当 xw 2 时，由一2x+ 6W 5，得 2 w xw 2;当2XX当 x4 时，由 2x 6w 5,得 4 1;、 2 若a0,则|ax- 1|1的解集为x 0x a2所以 1,故 0 11,因为f(x) =1a 3 x+

11、 4, x - x;若关于x的不等式f(x)w a2-2a的解集为R,求实数a的取值范围.解：(1)原不等式等价于 f(x)+ x0,不等式f(x)+ x0可化为|x- 2|+ x|x+ 1|, 当 x- (x+ 1)，解得 x- 3，即3xx+ 1,解得 x1，即一1 wx2 时，x 2 + xx+ 1,解得 x3，即 x3,综上所述，不等式f(x) + x0的解集为x|- 3x3. 由不等式 f(x)w a2- 2a 可得 |x-2|- |x+ 1|wa2-2a,2|- x+ 1|w |x- 2-x - 1|= 3,当且仅当 x (a, 1时等号成立，a2 2a3，即 a2 2a 30，解

12、得 aw 1 或 a3.实数a的取值范围为(一a,- 1 U 3 ,+a).6.已知函数 f(x) = |x a|+ |x+ 1|.(1)若a = 2，求不等式f(x)x+ 2的解集；2x+ 1, xv 1,解:(1)当 a= 2 时，f(x)= 3, 1w xv 2,2x 1, x 2,如果关于x的不等式f(x)v 2的解集不是空集，求实数 a的取值范围.不等式f(x) x+ 2等价于x v 1 ,2x+ 1 x+ 21 x+ 2x 2,2x 1 x+ 2解得xv 1或x3,故原不等式的解集为x|xv 1或x 3.(2) / f(x) = |x a|+ |x+ 1| |(x a) (x+ 1

13、)|= |a + 1|,当(x a)(x+ 1) 3,求a的取值范围. 解：(1)当 a= 2 时，f(x)= |2x 2|+ 2.解不等式 |2x 2|+ 2W 6,得一1w x 3.因此f(x) w 6的解集为x| 1 w x 3,1Imin = 2 2 ,a 1 x + _xx 2十21 i 3 i所以2 2于，解得a2.所以a的取值范围是2 ,+ R).& (2018 福州质检)设函数 f(x) = |x 1|, x R.(1)求不等式f(x)w 3 f(x 1)的解集；3(2)已知关于x的不等式f(x)w f(x + 1) |x a|的解集为M，若1, ? ? M ,求实数a的取 值

14、范围.解：(1)因为 f(x)w 3 f(x 1),x2,2x 3 w 3,解得 OW x1 或 1 w XW 2 或 2 2ab,当且仅当a= b时，等号成立.a p b定理2：如果a, b 0,那么厂 /ab，当且仅当a = b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均.a b c 3定理3:如果a, b, c R+,那么 3 abc,当且仅当a= b= c时，等号成立.2.比较法作差法的依据是： a b 0? a b.A作商法：若B 0,欲证A B，只需证1.3.综合法与分析法综合法：一般地，从已知条件出发，禾U用定义、公理、定理、性质等，经过一系列 的推理、

15、论证而得出命题成立.（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知 条件或一个明显成立的事实 （定义，公理或已证明的定理，性质等 ），从而得出要证的命题成立.考点一比较法证明不等式1 1典例已知函数f(x) = x 2 + X 2 , M为不等式f(x) v 2的解集.求M;(2)证明：当 a, b M 时，|a + b|v |1 ab|.2x, x -, 21 1解(1)f(x) = , 2v xv 2，1 1当一22时，由 f(x) 2,得 2x 2，解得 x 1.所以 f(x) 2 的解集 M = x| 1 x 1.证明：由(1)知，当 a, b M 时，

16、一1 a 1, 1 b 1,从而(a + b)2 (1+ ab)2=a2 + b2 a2b2 1=(a2 1)(1 b2) 0.因此 |a + b|0,b0 时，aabb:ab).aai、口 口 1bba-ba亍证明：a+b =b ,ab2a ba-b当 a= b 时,亍=1,a b2 0,a-b当ab0时，a1,a b-1,a b1 , 2 a0时，0a1,a+b aabb (ab)2考点二综合法证明不等式典例(2017全国卷n )已知a0, b0, a3 + b3= 2.证明:(1)(a + b)(a5+ b5) 4 ；(2)a+ bw 2.证明(1)(a+ b)(a5 + b5) = a

17、6 + ab5 + a5b+ b6=(a3+ b3)2 2a3b3 + ab(a4+ b4)=4+ ab(a2 b2)2 4.(2) / (a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3=2 + 3ab(a+ b) w 2 +3 a+ b 24(a+ b)(a + b)3w 8，因此 a+ bw 2.解题技法综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与 联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性 质时，要注意性质成立的前提条件.题组训练

18、1 .设 a, b, c, d 均为正数，若 a+ b= c+ d，且 abcd，求证：.a + . b. c+. d. 证明：因为(，a+, b)2= a+ b + 2 ab, f c+ d)2 = c+ d+ 2 cd.由题设 a + b = c+ d, abcd 得(a+ b)2( c + d)2.因此.a + . b.c+ .d.2.(2018湖北八校联考)已知不等式 凶+ |x 3|0, y0, nx+ y+ m= 0，求证：x+ y 16xy.解：由凶+ |x 3|3, 0x3, xw 0,得 或 或x + x 3x+ 6 3x+ 6 x + 3 xx+ 6,解得1x0 , y0

19、,- 1 +1 (9x+ y) = 10 + y + 10+ 2、/yx 巫=16 ,x y x y ; x y当且仅当y = 9x,即x= , y =1时取等号，x y 12 41 1一+一16 ,即 x+ y 16xy.x y考点三分析法证明不等式典例(2019长春质检)设不等式|X+ 1|x 1|1.2, x 1 ,解(1)由已知，令 f(x) =|x+ 1| x 1|= 2x, 1x1 ,2, x 1,由 |f(x)|2，得一1x1，即 A = x| 1x1，只需证|1 abc|ab c|,ab c即证 1 + a2b2c2a2b2+ c2,即证 1 a2b2c2(1 a2b2),即证(1 a2b2)(1 c2)0,由a,b, c A,得1ab1, c20 恒成立.综上，1 abc1.ab c解题技法分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已 知(或已证)的不等式