运用公式法平方差公式.docx

1、运用公式法平方差公式说课案例1运用公式法平方差公式永安三中蔡松薪一、教材分析：苏霍姆林斯基曾说过：“教师越是能够运用自如的掌握教材，那么，他的讲述就越是情感鲜明，学生听课，需要花在抠教科书上的时间就越少”。可见，熟悉教材、分析教材、开发教材资源是制定教法、开展学法指导的主要依据，是教学设计、测试、评价的基础。（一）教材的地位与作用。运用公式法平方差公式是北师大版义务教育课程标准实验教科书数学八年级（下）第二章分解因式的第三节内容。分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，也为学习分式，利用因式分解解一元二次方程奠定基础，对整个教科书也

2、起到了承上启下的作用。探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设一个新的、具有启发性的情境，激励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题。同时在这一对比整式的乘法而探索分解因式方法的相关活动过程中，力图渗透类比思想，让学生体会、理解、认识分解因式的意义，感受其间的联系，学生不仅能够理解，归纳分解因式变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。（二）教学重难点、关键：1、重点：掌握公式法中的平方差公式进行分解因式。2、难点：灵活地运用公式法或已

3、学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性。3、关键：把握住分解因式的方法如提公因式、公式法等，在对多项式进行分解因式时，首先应考虑提公因式，而且应该提取彻底。二、目标分析：参照数学课程标准的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：（一）知识与技能目标：会用平方差公式进行因式分解，并进一步感受整式乘法与分解因式的互逆关系。（二）过程与方法目标：经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。（三）情感与态度目标：学生通过自己的实践去领悟、分析、总结技能技巧，树立学习的自信心；通过独立思考和交流讨论发现问

4、题情境中的变形关系，培养学生逆向思考问题的习惯与应用意识，并渗透转化的思想和矛盾的对立统一观点。三、教学过程：根据新的教育理念和教学原则，我以学生为中心，设计教学流程如下：（一）创设情境，激发兴趣；（二）分析问题，发现新知；（三）合作交流，探索新知；（四）例题探究，体验新知；（五）随堂练习，巩固新知；（六）归纳小结，形成体系。教学过程设计意图（一）创设情境，激发兴趣活动1：你知道下列算式的结果吗？(1) 67823782 (2) 852842你想知道怎样才能算的快吗？活动2：将边长为a的正方形四角各剪去一个边长为b的小正方形，观察你剪剩下的部分，并思考：怎样计算剪剩下部分的面积？如果a3.6

5、b0.6呢？学起于思，思起于疑，无疑则无知。教育家托尔斯泰说过：成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学生的兴趣。充分利用媒体教学的直观性，动画显示学生熟悉的剪纸操作，创设问题情境引发学生思考。使学生把学习当成一种自我需要，为学生营造一种轻松、和谐的学习氛围，从而自然导入新课。教学过程设计意图（二）分析问题，发现新知问题：我们知道，(a+b)(ab)a2b2，能否将它反过来得到a2b2(a+b)(ab)呢？活动3：（1）观察多项式X225，9X2y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流。“有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始”。通

6、过设问，引起全体学生注意，与教师一起进行积极的思维，尽快进入学习状态，所设问题用于复习相关知识与技能进行诊断检测，并针对所存在的缺陷进行补偿教学，为学生学习新知识奠定基础。（三）合作交流，探索新知 问题：（1）用语言叙述公式（体现合作）。（2）公式有什么特点？（3）公式中的字母a、b可以表示什么？活动4：根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的字母a，谁相当于公式中的字母b？（尽可能地让学生探索、发现）。x225x252（x+5）（x5） a2b2（a+b）（ab）9x2y2(3x)2y2=（3x+y）(3xy)问题是知识、能力的生长点，富有挑战性的

7、问题能激发原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。通过引导学生对问题情境循序渐进的探讨，让学生猜一猜、想一想，使他们体会了知识的发生、发展过程及怎样从复杂情境中分离、抽象出数学模型，培养了学生从特殊到一般的认知方法。（四）例题探究，体验新知：例1 填空：（1）25m2( )2 （2）0.49b2( )2 （3） c2( )2 例2：把下列各式分解因式（1）2516x2 （2）9a2 b2例3：把下列各式分解因式（1）9（m+n）2-（mn）2 （2）2x38x例4：计算（1）67823782 （2）852842“实践出真知”。教师通过引导、启发，让学生分4人小组，进行合作学习、讨论、交流，使学

8、生在解决问题的过程中，不断获得成功的体验，增强他们的创新意识和能力。（五）随堂练习，巩固新知：1、判断正误：（1）x2+y2=(x+y)(x+y)（ ）（2）x2y2=(x+y)(xy)（ ）（3）x2+y2=(x+y)(x+y)（ ）（4）x2y2=(x+y)(xy)（ ）2、把下列各式分解因式：（1）a2b2m2 （2）(ma)2(n+b)2（3）x2(a+bc)2 （4）16x4+81y43、解决（一）活动2所提出的问题。“学生思维的水平高低与基本技能是密切相关的，只有通过强化训练，才能提高学生的思维起点。”1、2题的目的，是巩固新知，对学习中有困难的学生，给予适当的点拨和鼓励，及时发现

9、学生出现的问题。而第3题，增强了知识的运用性，使学生学以致用，形成能力。同时，体现数学活动是学生自己构建数学知识的活动，教师起到引导学生进行有效地构建数学知识的活动。（六）归纳小结，形成体系1、因式分解与乘法公式的关系。2、平方差公式的特点。3、应用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件。4、公式中字母a、b可以是任意数、单项式或多项式。归纳是一种推理的方法，由一系列具体的事例概括出原理(跟“演绎”相对)。能使学生的感性认识升华到理性认识，既可锻炼学生由具体到抽象的思维能力，培养学生数学语言的表达能力，严谨的逻辑思维品质。先引导学生自由发言、互相补充，教师进行修正、精炼阐述。这样的小结既梳理了

10、知识，又点明了本节课的学习要点，同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识，为下节的学习打下良好基础，起到画龙点晴的作用。（七）布置作业，反思提炼。P56 习题2.4 1、2、3四、教学方法通过对新课程标准及新教材研究，我认为数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生实际出发，创设有利于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，进而达到学会学习，促使学生在教师指导下，生动活泼的、主动和富有个性的学习，在教学活动中，教师应该发挥民主、成为学生数学活动的组织者、引导者和合作者。而我校所开发的省级课题课程实施与教学改

11、革数学思维方法与应用性问题教学的实践研究中，明确提出预期目标：（1）培养兴趣，促进思维；（2）适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维；（3）在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，培养学生正确的思维方式；（4）重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练。基于以上的理念和目标，我确立了以下的教法和学法。（一）教学方法依据本课特点，从学生已有实际经验出发，遵循新课程的理念，根据教学原则，变被动学习为主动学习，使课堂教学生动，有趣，高效。因此在教学中，以自主探索为主，启发、诱导贯穿教学始终，师生以愉快对话形式共同探索、步步深入，合作交流展开教学，下面我谈谈为什么使用这些方法？1

12、、自主探索法苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模需要，这就是 希望感到让自己是一个发现者，研究者。教师作用是要发现、强化这种探索精神”。通过巧设问题情境，把要学习的知识，置于具体鲜活的问题情境和嵌于一定活动背景中，使学生对知识多角度的丰富的理解，并能结合自己原有的经验探索新知，从而建构自己所坚持的判断和信念。如教学中，通过活动14，让学生思考、探索判断，在学生迷惑之际，用活动3导航，让学生自己体验猜想，这样不仅点燃学生思维的火花，还激发学生的信心和勇气，自己去分析、自己去解决，使他们体验探索知识奥秘的乐趣，真正体现了“教是为了不教”的教育的最终目标。2、愉快教学法“如

13、果我们能做到百分之百的使孩子们兴致勃勃地学习，不仅是孩子们的幸福，并且也是教师的幸福。这就是当代教育和教育思想家的旋律。”在教学中利用例题让学生讨论，不失时机地启发学生质疑、问难，让学生有疑必质、有难必问、有感必发，让每个学生积极发言，变“厌学”为“好学”，变“苦学”为“乐学”，变“要我学”为“我要学”，从而让每个学生喜欢数学，把学习作为一种快乐的活动，从中享受学习数学的乐趣。（二）教学手段根据教学直观性原则，考虑到学生仍处在以直观、形象思维为主要思维方式的时期。在教学中采用针对性强的相应措施，创设具体的问题情境，运用电教手段进行必要的动态演示，用活动紧扣对平方差公式的感知，让学生动脑、动手、

14、动口，积极参与教学全过程，逐步由图形的直观，语言的直观向抽象思维过渡，增大教学容量和直观性，提高教学效率和教学质量。（三）学法指导当今时代是人类知识和信息量以几何级数递增的时代，现代教育所面临的最严峻的挑战，已不是如何使受教育者学到知识，而是如何使他们“学会学习”。正如埃德加富尔所说：“未来的文盲，不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”我们古人也说：“授人以鱼，不如授人以渔”。因此在教学中我始终把学生推到学习的前沿，引导他们“动眼看、动脑想、动口说、动手练”，让他们在生活中感受数学，在合作交流中理解数学，在实验操作中探索数学，在做数学的过程中，学会数学，充分体现了新课程标准中所强调的自

15、主探索，合作互动，创造性学习这样的有效 的学习方式。五、教学评价教学评价是教学活动的重要环节，评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。同时也是教师反思和改进教学的有力手段。史密斯一泰勒报告指出：“评价教育效果，不能只是测定学生的某些能力和特征，而更应评价受教育者向着教育目标成长发展的过程”。为此这节课我作了如下的评价：1、评价学生的学习过程课标指出：“对学生数学学习过程的评价，包括参与教学活动的程度、自信心、合作交流的意识，以及独立思考的习惯、数学思考的发展水平等方面”。从这个理论出发，我废除了过去只注重结果的评价。在本节课上，注意观察学生是否乐于与他人合作

16、，愿意与同伴交流自己的想法？哪些问题是大多数学生独立思考能达到，哪些问题是学生通过合作交流才能完成；学生思考的是否有条理？学生的符号表达是否较以前有所发展？及时发现学生的点滴进步并给予鼓励。2、评价学生发现问题、解决问题的能力思维总是从问题开始的，本节课试图让学生在不断解决问题、发现问题中学习。如活动14等实际问题的解决，使他们知识得到掌握，能力得到训练，情感得到体验，各方面都能取得全面和谐的发展。虽然有的学生不能把每一道题都做完整，但他们积极思考、交流，对这样的学生应给予表扬肯定，帮助他们积极向上。总之，本课力求达到：“凡是能由学生提出的问题就不要由教师给出；凡是能由学生解的例题就不要由教师

17、解答：凡是能由学生完成的表述就不要由教师写”。本节课自始至终，体现学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。让学生感知数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。教学设计说明1、本节课根据新课程标准的教育理念和学生实际，结合具体内容，从培养学生学习数学的兴趣入手，采用“问题情景数学抽象建立数学模型应用解释”的形式展开，让学生理解数学知识的产生就是人类对实际问题抽象、构建的过程，让学生经历同化新知识，构建新知识意义的过程。2、设置问题导入新课，从直观的图形及其有关计算出发，帮助学生尽快找到问题的切入点。3、给学生提供探索和交流的空间。设置有现实意

18、义的、具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，提高解决问题的能力，发展创新意识和实践能力。4、内容上挖掘课本资源，设计有弹性，设置了不同层次的学习要求，尊重学生个体差异，满足多样化的学习需要。实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。5、在学生从事数学活动时，不仅关注学生的学习水平，而且关注他们在活动中表现出来的情感与态度。比如：是否主动与同学合作，是否愿意与同学交流自己的看法，是否表现出了兴趣，能否用数学语言表达以及是否尊重他人等进行评价。说课案例2圆和圆的位置关系永安三中 冯华翊一、教材分析、地位和作用：本节课是北师大版义务教育初中数学九年级下册第三章第六节，主要内容

19、是圆和圆的位置关系。圆和圆的位置关系是圆章节中位置关系的最后一种情况，起着一种归纳总结的作用。2、教材的处理： 圆和圆的位置关系主要讲点和圆的位置关系，从直线和圆的位置关系为基础引入，利用平移实验，学生从实践中入手，采用观察、猜想、概括的方法直观地探索得到圆和圆的五种位置关系，从而实现从感性认识到理性认识的逐步深化。3、教学目标的确立：知识目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程，了解圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆的五种位置关系中两圆圆心距d、与半径R和r之间的数量关系的联系。能力目标：在平移实验过程中，体会如何归纳教学信息，培养学生观察问题，分析问题和解决问题的能力。情感目标：体会在实验过

20、程中，如何与他人交流与合作。4、教学重难点 本节重点为：圆和圆的五种位置关系。 本节的难点：两圆五种位置关系中，圆心距d与两圆中半径R和r之间的数量关系的联系。二、教法说明：本节课在教法上采用的是利用实验、探索、分析、观察、发现、归纳，讲究教学方法，着重体现学生主体作用和教师的主导作用，激发学生学习兴趣。三、学法指导及能力培养：在教导学生获取知识的过程中，通过观察、探索、思考、猜想、概括、归纳等方法，形成一种学数学的本领。四、教学程序：（一）创设问题，引入新课（二）启发诱导，探索结论（三）反馈练习，巩固提高（四）引导小结，整体归纳教学环节教学过程设计意图（一）创 引设 入问 新题 课问1、点与

21、圆有什么位置关系？问2、直线与圆有什么位置关系？问3、那么，圆与圆有什么位置关系？通过问题的形式，引发学生的兴趣，引入新课。（二）启探发索诱结导论用两个不同半径的圆进行实验： 外离 外切 相交 内切 内含问1、以上几种情况的两圆之间的交点个数有什么变化？0个；1个；2个；1个；0个。教师：通过交点的个数并不能完全区分两圆的五种位置关系，那我们能否从圆心距与两圆半径之间来讨论。问2、设两圆之间的圆心距为d，那么在五种情况中d与和r之间有什么关系？（利用以上五个圆形进行探索给出结论）。分离dR+r，外切dR+r，相交dR+r，内切d=Rr，内含dRr五种关系我们可以用数轴的形式来加强记忆：内切外切

22、内含相交外离Rr Rr d通过两个半径不同的圆进行实验，引出两圆之间五种不同的位置。以问题的形式，从交点个数初步探索两圆的五种位置关系。通过问题的探索和比较，从不同的角度进行分析，提高学生分析问题的能力。课本中只研究外切和内切两种特殊情况，补充其它三种，加强说明。（三）反 巩馈 固练 提习 高 1、两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其刻面如图所示，TP，NP分别为两圆的切线。 求TPN的大小 分析：两圆大小一样，分别过各自的圆心，圆心距OO与半径相等，那么OPO为等边三角形，可以得到OPO。PT、PN为切线则OPPN， PPN得到TPN=120。 2、如图，已知圆O，作圆，使圆O和圆O相切 3、如

23、图，已知圆，圆，作一个圆，使圆与圆，圆都外切。此题只加以分析，指出相应的结论，格式参照课本，提高分析能力。此问题为开放式题目，相切有外切和内切两种情况，提高学生分类思想。经过探索，培养学生分类思想。（四）引 整导 体小 归结 纳1、通过本节课的学习，你学习了什么？学生自由发言，互相补充。两圆的五种位置关系；利用圆心距d与两圆半径与r之间的关系来判断两圆的位置关系2、作业布置：预习练习册练习九明确本节课的目标，进行自我小结，形成完整的知识结构。提前进行预习，形成一个的知识雏形，带着问题听课，提高学生的听课效率。课后反思：圆和圆的位置关系主要讲点和圆的位置关系，从直线和圆的位置关系为基础引入，利用

24、平移实验，从实践中入手，采用观察、猜想、概括的方法直观地探索得到圆和圆的五种位置关系，从而实现从感性认识到理性认识的逐步深化，通过观察、探索、思考、猜想、概括、归纳等方法，形成一种学数学的本领。说课案例3三角形全等的判定-角边角定理永安三中 黄群英一、教材分析1、教材内容：本节课研究三角形全等的判定定理之一角边角定理，它是北京师范大学出版社出版的义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第五章第四节第2课时的内容.2、教材地位：（1）它是在学生学习了认识三角形、图形的全等、全等三角形及其性质，以及探究出另一个三角形全等的判定定理边边边定理的基础上进行的。（2）一方面引导学生从动手操作出发探索出角

25、边角定理，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法；另一方面让学生能够运用“角边角定理”解决实际问题。（3）另外判定三角形全等在初中几何学习中对于证明线段及角相等是一个非常重要而且有效的方法。3、教学目标：确立依据：1、课程标准 2、教学原则 3、学生情况（1）知识与技能：知识与技能： 使学生在分组探究的过程中得出“角边角定理”。 使学生会运用”角边角定理”解决实际问题。（2）过程与方法： 在探究的过程中提高学生观察、分析能力，体会利用数学建模解决实际问题的方法； 提高学生的发散思维能力与创新意识。（3）情感与态度： 让学生经历数学活动，体验主动探究的成功与快乐，感受数学活动充满探索与创新的机遇；

26、 培养学生总结知识内容，使之条理化的良好学习习惯。4、教材重点：角边角定理的探究和它在实际问题中的运用。理由是：“角边角定理”是“角角边定理”探究的基础；探究和运用过程中，渗透了建模的解题思想。5、教材难点：运用“角边角定理”解决实际问题。理由是：在实际问题中运用“角边角定理”来建模的分析过程比较复杂。二、说教法、学法：1、教法： 针对七年级学生的心理特点和认知规律，大胆应用生活中的素材，充分体现数学是源于实践又运用于实践。因此，在本节课的教学中，以学生为中心，让学生主动参与积极思维，勇于实践，利用学生自己动手操作，激发学生探索的兴趣，使整个课堂活起来，提高课堂效率。本节课以动手操作为中心，让

27、学生亲历亲为，敢于接受问题的挑战，展示自己的见解，给学生创造一个宽松愉快的学习氛围，让学生体验成功的快乐，为终身学习和发展打下坚实的基础。2、学法：学生渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的力量，增强集体意识，本节课主要采用动手操作、合作学习的方法，让学生遵循“操作观察猜想验证归纳反馈应用”的主线学习，让学生在活动中观察、探索、归纳，经历知识发生、发展的过程，实现对知识的主动构建，不仅学习了知识，能力也能得到培养，素质得到提高。三、说教学过程环节教 学 内 容设计意图揭示课题创设情境某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，是带一块还是两块

28、？若为了方便只带一块，你会带哪块呢？从生活中来将知识的学习和应用紧密联系起来探索新知合作讨论一、探索三角形全等的条件“ASA”“AAS”【想一想】1、如果已知一个三角形的两角及一边一三角形，那么有几种可能的情况？每种情况下得到的三角形全等吗？2、如图，在ABC和ABC中，B=B， BC=BC，C=C，ABCABC吗？ 【做一做】全班同学分成若干小组，每个小组均给出一组条件画三角形，如：A60，B80，AB2；A60，B80，AC2；A60，B80，BC2；A60，B45，AB3；A60，B45，BC3；A60，B45，AC3；每一组同学将所画的三角形进行叠合验证，探讨三角形全等的条件。二、三角

29、形全等的条件“ASA”“AAS”注意分类讨论强调“”的要求让学生有充分的时间画图和比较给同学们发练习卷探索新知合作讨论【归纳】I.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称为ASA定理。在ABC和ABC中， ABCABC（ASA）II.角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称为AAS定理。在ABC和ABC中， ABCABC（AAS）三、三角形全等条件的运用【想一想】如图1，O是AB的中点，A=B，AOC与BOD全等吗？为什么？【练一练】如图2，已知AB=AC, B=C,ABE与ACD全等吗？如图2，已知ADAE，BC，ABE与ACD全等吗？如图3，若12，34，ABC与ABD全等吗？如图3，若12，C=D，ABC与ABD全等吗？若ABC中，A30，B70，AC5，DEF中，D70，E80，DE5，那么ABC与DEG全等吗？书写格式要求注意隐含条件如对顶角、公共角、公共边没有图形就存在有多种可能，从是如何对应出发巩固提高应用迁移类型之一 三角形的条件“ASA”“AAS”的运用例1 如图4点D在AB上，点E在AC上，BE与CD相交于O，ABAC，BC，试判断BD与CE相等吗？说明理由。类型之二 全等三角形性质与三角形全等的综合运用例2 如图5，