1、第七章数据结构及其应用第七章数据结构及其应用数字,字符,声音,图像,表格等信息,均可输入计算机中进行处理。在计算机科学中,象这种能输入到计算机中并被计算机程序处理的信息,都可称为数据。 数据的基本单位是数据元素。数据之间存在有线性与非线性两种基本的逻辑结构,同时在存储结构上还有顺序和链式之分。 数据结构则是研究数据元素的逻辑结构,存储结构和与之有关的各种基本操作的一门学科。作为一个程序设计者,应当掌握好数据结构的有关知识,在解题时针对问题的特点,选择适当的数据结构,并构造算法,编出优美高效的好程序。 本章将介绍一些线性的数据结构及其基本操作。 第一节线性表“线性表”是指由有限多个类型相同的数据
2、元素组成的集合,它有以下的特点:(1)有唯一的头结点(即第一个数据元素)和尾结点(即最后一个数据元素);(2)除结点外,集合中的每个数据元素均只有一个前驱;(3)除尾结点外,集合中的每一个数据元素均只有一个后继。“线性表”是一种运用非常广范的数据结构。例一、某旅馆有100个房间,以1到100编号,第一个服务员来了,他将所有的房门都打开,第二个服务员再把所有编号是2的倍数的房门都关上,第三个服务员对编号是3的倍数的房门原来开的关上,原来关上的打开,此后的第四,五.服务员均照此办理。问第100个服务员走进后,有哪几扇门是开着的。解:Pascal程序:Program lt7_1_1;uses crt
3、;var door:array1.100 of boolean; 1到100号房门状态,false-关,true-开 i,j:integer;begin clrscr; fillchar(door,sizeof(door),true); 第一个服务员打开全部房门 for i:=2 to 100 do i表示服务员号码 for j:=1 to 100 div i do doori*j:=not doori*j; 对房号为i的倍数的房门进行相反处理 write(The code of opening door is : ); for i:=1 to 100 do if doori then wri
4、te(i, );end.分析:(1)这里用door1.100来存储1到100号房门的开关状态,即是一种线性表,其中:door1可以看成是头结点,而door100是尾结点;同时由于数组在内存中是按顺序占有一片连续的内存空间,因此这种存储结构即是顺序存储结构。 (2)这里用布尔变量true和false分别表示开和关两种状态,对某一房门进行相反处理时只要取反(not)即可,比如:若door10为false,not door10则为true。 例二、插入排序:在一个文本文件中存放的N个人的姓名,文本文件的格式为:第一行为N,以下第二至第N+1行分别是N个人的姓名(姓名不重复,由英文字母组成,长度不超过
5、10),请编一个程序,将这些姓名按字典顺序排列。解:Pascal程序:Program lt7_1_2;uses crt;type point=people; 定义结点类型 people=record name:string10; name-数据域,存放姓名 next:point; next-指针域,存放后继结点的地址 end;var head:point; n:integer; procedure init; 初始化 begin new(head);head.next:=nil; 定义头结点,初始链表为空 end; procedure insert(p:point); 将P指向的结点插入以he
6、ad开头的线性表中 var q1,q2:point; begin if head.next=nil then head.next:=p 将P指向的结点插入空链表 else begin q1:=head;q2:=q1.next; while (q2nil) and (q2.namep.name) do begin q1:=q2;q2:=q1.next; end; 查找结点p应插入的位置 q1.next:=p;p.next:=q2;将p插入q1之后q2之前 end; end; procedure work; var i:integer; fn:string; f:text; p:point; be
7、gin write(Filename:);readln(fn); assign(f,fn);reset(f); readln(f,n); for i:=1 to n do begin new(p);p.next:=nil; readln(f,p.name); insert(p); end; end; procedure print; 打印 var p:point; begin p:=head.next; while pnil do begin writeln(p.name); p:=p.next; end; end; begin clrscr; init; work; print;end.分析
8、:(1)排序有多种方法,插入排序是其中的一种,其原理同摸扑克牌类似:摸到一张牌,把它按大小顺序插入牌中,每一张都如此处理,摸完后,得到的就是一副有序的扑克牌。本题可以用插入排序求解; (2)为了减少移动数据的工作,可以采用链式存储结构。每个结点由两个域构成,数据域(用来存放姓名)和指针域(用来存放后继结点的地址)。如图A是将1,3,6,7按顺序构成一个线性链表的示意图。这样在这个有序表中插入一个5时,只需对指针进行相应地操作即可,如下图B: 头结点1 -3 -6 -7 尾结点 图 A 头结点1 -3 6 -7 尾结点 5 插入的结点 图 B练习一1、求1987乘幂的尾数: M和N是自然数,NM
9、=1,而1987M与1987N的末三位数相同,求最小的M和N。分析:(1)本题只须记录1987的乘幂的末三位数,故不必高精度计算;(2)用数组a1.n存储1987的1至n次幂的末三位数;(3)n的初始值为2,计算1987的n次幂的末三位数,并和1987的1至n-1次幂进行比较,若无相等的,则n=n+1,重复(3);否则,第一次找到相等的,即是所求的m,n值。2、一个特殊的数列: 写出两个1,然后在它们中间插入2成为121,下一步是在任意两个相邻的和数为4的数之间插入3,成为13231;再下一步又在任意两个相邻的和数为4的数之间插入4,成为1432341,.,由键盘输入N(1=N=9),求出用上
10、面方法构造出来的序列,其最后插入的数为N。分析:字符串也可以看做是一个特殊的线性表,本题初始串是11,对应N=1时的情况;然后在串中寻找相应的位置,依次插入2,3,.,K。3、求序列的第300项: 把所有3的方幂及互不相等的3的方幂和排列成一个递增序列:1,3,4,9,10,12,13,.,求这个序列的第300项。分析:本题可以用一个线性表来记录这个递增的序列,通过递推可以将整个序列构造出来。方法如下: (1)数组a存放线性表,t为尾指针,b存放3的幂,初始时t=1,b=1; (2)将b放入表尾,尾指针加1;atb;tt+1; (3)将b依次与1至t-1的元素相加,按顺序放入表尾; (4)重复
11、(2),(3),直至第300项放入表中。4、约瑟夫环(Joseph) 编号为1,2,.,N的N个人按顺时针方向围成一圈,每人持有一个密码(正整数)。一开始任选一个正整数作为报数上限值M,从第一个人开始按顺时针方向自1开始报数,报到M时停止,报M的人出列,将他的密码作为新的M值,从他在顺时针方向上的第一个人开始重新从1报数,如此下去,直至所有有人全部出列为止。试设计一个程序求出列的顺序。分析:这是一个数学游戏。N个人围成一圈,依次报数,可以用一个循环链表模拟这一过程。将链表的表尾指向表头,即形成循环链表。从某个人开始报数,报到M的人出列,也就是在在循环链表中删除相应的结点,然后依次删除完所有的结
12、点,此时链表为空,头指针与尾指针相等。在具体操作中,要注意删除头结点和尾结点时指针的处理,谨防出错。5、多项式的加法:试编程完成两个一元多项式的加法。分析:大家都知道,两个一元多项式相加实际上就是合并同类项,最后结果一般要求按字母的升幂或降幂排列,比如:(2X10+4X+1)+(3X5-4X+2)=2X10+3X5+3。那么一元多项式在计算机中如何表示呢?为了节省空间,一个元多项式一般用一个线性表表示,线性表的每一个结点包括两个域:一个用来存放系数,一个用来存放指数,比如,上面相加的两个一元多项式可以分别表示为: 2 10 4 1 1 0 3 5 -41 2 0 这样两个一元多项式相加就可以看
13、成是归并两个链表。第二节队列 在日常生活中有许多“队列“的例子,如车站售票口买票的队伍,排在前面的人先买到票离开队伍,后来的人则加入队伍的末尾等候买票;其特点是“先进先出”(First In First Out)或“后进后出”(Last In Last Out)。 “队列”是在一端插入,另一端删除的特殊的线性表。进行删除的一端称为“队首”,进行插入的一端称为“队尾”(如下图);插入也叫入队,删除则叫出队;在对队列进行操作时,一定要注意一头一尾。 出队 a1 a2 . an 入队 队头 队尾例1、有N张牌,记为1,2,.,N,应当怎样排放,才能使:打开第一张是1,然后报两张依次放在末尾;打开上面
14、一张,刚好是2,再依次打开上面一张,刚好是3;如此继续下去,直至打开最后一张是N。写一个程序解决这个问题。解:Pascal程序:Program lt7_2_1;uses crt;var a,b:array1.1000 of integer; i,j,t,h,n:integer;begin clrscr; write(N=);readln(n); for i:=1 to n do ai:=i; a1:=1;h:=2;t:=n;b1:=1; for i:=2 to n do begin for j:=1 to i do begin inc(t);at:=ah;inc(h); end; bah:=i
15、;inc(h); end; for i:=1 to n do write(bi:5);end.分析:这是一个典型队列的例子,请大家仔细体会在队列操作过程中头指针和尾指针的变化。 例2、集合的前N个元素:编一个程序,按递增次序生成集合M的最小的N个数,M的定义如下: (1)数1属于M; (2)如果X属于M,则Y=2*X+1和Z=3*1也属于M; (3)此外再没有别的数属于M。解:Pascal程序:Program lt7_2_1;uses crt;var a,b:array1.1000 of integer; x,ha,hb,t,total,n:integer;begin clrscr; writ
16、e(N=);readln(n); x:=1;a1:=1; ha:=1;hb:=1;t:=0;total:=1; while totalbhb then begin x:=bhb;inc(hb); end else begin x:=aha; if aha=bhb then inc(hb); inc(ha); end; inc(total); end;end.分析:可以用两个队列来存放Y和Z中的数,分别用数组a和数组b存放。然后递推求出第N项,方法如下: (1)令ha和hb分别为队列a和队列b的头指针,它们的尾指针为t。初始时,X=1,ha=hb=t=1; (2)将2*x+1和3*x+1分别放入
17、队列a和队列b的队尾,尾指针加1。即: at2*x+1,bt3*x+1,tt+1; (3)将队列a和队列b的头结点进行比较,可能有三种情况: (A)ahabhb (B)aha=bhb (C)aha0) or (hb0) do begin if ha0 then x:=ord(aha)-48 else x:=0; if hb0 then y:=ord(bhb)-48 else y:=0; mlm:=x+y+c; c:=mlm div 10; mlm:=mlm mod 10; inc(lm);dec(ha);dec(hb); end; if c0 then mlm:=c else dec(lm);
18、 write(a,+,b,=); for i:=lm downto 1 do write(mi);end.2、基数排序: 将278,109,063,930,589,184,505,269,008,083利用基数排序法按从小到大的顺序排列。分析:基数排序法是一种基于对关键字进行分配和收集的排序法,常用最低位优先法(Least Significant Digit first),简称LSD法。它先从最低位的关键字开始进行排序,然后对次低位关键字进行排序,依此类推,直到对最高位进行排序为止。例如本题,关键字是各位上的数码,从0到9共10个。首先,将需要排序的数放在队列A中,如图:3、有1至2N的自然数
19、,按从小到大的顺序排成一列,对这2N个数进行如下操作: (1)将这2N个数等分成A,B两组,即: A组:1,2,.,N; B组:N+1,N+2,.,2N (2)轮流从A,B两组中按顺序取数: 1,N+1,2,N+1,.,N,2N (3)再将取过的数等分为两组,并重复上述操作,直到这2N个数又按从小到大的顺序排好为止。 例如:当N=3时,操作如下: 初始序列为:1,2,3,4,5,6 (1) 1,4,2,5,3,6 (2) 1,5,4,3,2,6 (3) 1,3,5,2,4,6 (4) 1,2,3,4,5,6分析:将1至2N的自然数分成两组,用两个队列来模拟上述过程即可。4、有一个数,它的末位数
20、字是N,将N移到这个数的首位,得到的新数恰好是原数的N倍,现输入N的值,求满足条件的最小的数。第三节栈 “栈”是一种先进后出(First In Last Out)或后进先出(Last In First Out)的数据结构。日常生活中也常能见到它的实例,如压入弹夹的子弹,最先压进去的子弹最后射出,而最后压入的子弹则最先发射出来。 “栈”是一种只能在一端进行插入和删除的特殊的线性表,进行插入和删除的一端称为“栈顶”,而不动的一端称为栈底(如下图)。插入的操作也称为进栈(PUSH),删除的操作也称为出栈(POP)。 出栈 进栈 栈顶 an . a2 栈底 a1 例1、算术表达式的处理:由键盘输入一个
21、算术表达式(含有+,-,*,/,(,)运算),且运算结果为整数),编一程序求该算术表达式的值。分析:表达式的运算是程序设计中一个基本的问题,利用栈求解是一种简单易行的方法,下面介绍的是算符优先法。 比如:4+2*3-10/5 我们都知道,四则运算的法则是:(1)先乘除后加减,同级运算从左到右;(2)有括号先算括号。 因此上例的结果是8。 算符优先法需要两个栈:一个是操作数栈,用来存放操作数,记为SN;另一个是操作符栈用来存放运算符,记为SP。具体处理方法如下: (1)将SN,SP置为空栈; (2)从左开始扫描表达式,若是操作数压入SN中;若是操作符则与SP的栈顶操作符比较优先级有两种可能: (
22、a)优先级小于栈顶算符,此时从SN中弹出两个操作数,从SP弹出一个操作符,实施运算,结果压入SN的栈顶。 (b)优先级大于栈顶算符,此时将操作符压入SP中。 (3)重复操作(2)直至表达式扫描完毕,这时SP应为空栈,而SN只有一个操作数,即为最后的结果。 为了方便起见,可以将#作为表达式的结束标志,初始化时在SP的栈底压入#,并将其优先级规定为最低。下面给出的是计算4+2*3-10/5#的示意图步骤 SN SP 读入字符 说明 1 空 # 4 将4压入SN 2 4 # + 将+压入SP 3 4 # + 2 将2压入SN 4 4 2 # + * 将*压入SP 5 4 2 # + * 3 将3压入
23、SN 6 4 2 3 # + * - -的优先级小于*,因此将SN中的3,2弹出, 将SP中的*弹出,将2*3的结果压入SN中 7 4 6 # + - -的优先级小于其左边的+,因此将SN中的 4,6弹出,将SP中的+弹出,将4+6的结果压 入SN中 8 10 # - -压入SP中 9 10 # - 10 10压入SN中10 10 10 # - / 将/压入SP中11 10 10 # - / 5 将5压入SN中12 10 10 5 # - / # #优先级小于/,故SN中的10,5弹出,SP中 的/弹出,将10/5的结果压入SN中13 10 2 # - # #优先级小于-,故SN中的10,2弹
24、出,SP中 的-弹出,将10-2的结果压入SN中14 8 # # #与#相遇,运算结束,SN中的8是最后计算 的结果解:Pascal程序:Program lt7_3_1;uses crt;const number:set of char=0.9; op:set of char=+,-,*,/,(,); var expr:string; sp:array1.100 of char; sn:array1.100 of integer; t,tp,n,tn:integer; function can_cal(ch:char):boolean; begin if (ch=#) or (ch=) or
25、(sptp in *,/) and (ch in +,-) then can_cal:=true else can_cal:=false; end; procedure cal; begin case sptp of +:sntn-1:=sntn-1+sntn; -:sntn-1:=sntn-1-sntn; *:sntn-1:=sntn-1*sntn; /:sntn-1:=sntn-1 div sntn; end; dec(tn);dec(tp); end; begin clrscr; write(Expression : );readln(expr); write(expr+=); expr
26、:=expr+#; tn:=0;tp:=1;sp1:=#;t:=1; repeat if exprt in number then begin n:=0; repeat n:=n*10+ord(exprt)-48; inc(t); until not (exprt in number); inc(tn);sntn:=n; end else begin if (exprt=() or not can_cal(exprt) then begin inc(tp);sptp:=exprt;inc(t); end else if exprt=) then begin while sptp( do cal; dec(tp);inc(t); end else cal; end; until (exprt=#) and (sptp=#); writeln(sn1);end. 练习三1、假设一个算术表达式中可包含三种括号:圆括号“(”和“)”;方括号“”和“”以及花括号“”和“”,且这三种括号可按任意的次序嵌套使用,试利用栈的运算,判别给定的表达式中所含括号是否正确配对出现。分析:如果括号只有一种,比如说是“(”和“)”,则判断是否正确匹配可以
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