几何综合问题中考压轴题有答案.docx

1、几何综合问题中考压轴题有答案几何综合问题2012年中考压轴题（有答案）2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题24.（2012湖北恩施12分）如图，AB是O的弦，D为OA半径的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF，BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径【答案】解：（1）证明：连接OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90。OBA+ABC=90。OBBC。BC是O的切线。（2）连接OF，AF，BF，DA=

2、DO，CDOA，OAF是等边三角形。AOF=60。ABF=AOF=30。（3）过点C作CGBE于点G，由CE=CB，EG=BE=5。易证RtADERtCGE，sinECG=sinA=，。又CD=15，CE=13，DE=2，由RtADERtCGE得，即，解得。O的半径为2AD=。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明OBC=90即可证明BC是O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角

3、的一半即可求出ABF的度数。（3）过点C作CGBE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由RtADERtCGE和勾股定理求出DE=2，由RtADERtCGE求出AD的长，从而求出O的半径。25.（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在ABC中，ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，A0=MN（1）如图l，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长【答案

4、】解：（1）证明：BAAM，MNAP，BAM=ANM=90。PAQ+MAN=MAN+AMN=90，PAQ=AMN。PQABMNAC，PQA=ANM=90。AQ=MN。AQPMNA（ASA）。AN=PQ，AM=AP。AMB=APM。APM=BPCBPC+PBC=90，AMB+ABM=90，ABM=PBC。PQAB，PCBC，PQ=PC（角平分线的性质）。PC=AN。（2）NP=2PC=3，由（1）知PC=AN=3。AP=NC=5，AC=8。AM=AP=5。PAQ=AMN，ACB=ANM=90，ABC=MAN。，BC=6。NEKC，PEN=PKC。又ENP=KCP，PNEPCK。CK：CF=2：3

5、，设CK=2k，则CF=3k。，。过N作NTEF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。NE=TF=，CT=CFTF=3k。EFPM，BFH+HBF=90=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT，NTC=BFH=BPC。，。CT=。CK=2=3，BK=BCCK=3。PKC+DKC=ABC+BDK，DKE=ABC，BDK=PKC。tanBDK=1。过K作KGBD于G。tanBDK=1，tanABC=，设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。BK=5n=3，n=。BD=4n+3n=7n=。，AQ=4，BQ=ABAQ=6。DQ=BQBD=6。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线

6、的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形AQPMNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定PKC是等腰直角三角形；然后在BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。26.（2012湖北十堰10分）如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于点E（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CFAB于点F，连接AD交C

7、F于点G（如图2），求的值【答案】解：（1）证明：AB是O的直径，BCA=90。ABC+BAC=90。又CBD=BAC，ABC+CBD=90。ABD=90。OBBD。BD为O的切线。（2）证明：如图，连接CE、OC，BE，OE=ED，OBD=90，BE=OE=ED。OBE为等边三角形。BOE=60。又ODAC，OAC=60。又OA=OC，AC=OA=OE。ACOE且AC=OE。四边形OACE是平行四边形。而OA=OE，四边形OACE是菱形。（3）CFAB，AFC=OBD=90。又ODAC，CAF=DOB。RtAFCRtOBD。，即。又FGBD，AFGABD。，即。【考点】圆的综合题，圆周角定理

8、，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，则ABC+BAC=90，而CBD=BA，得到ABC+CBD=90，即OBBD，根据切线的判定定理即可得到BD为O的切线。（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则OBE为等边三角形，于是BOE=60，又因为ACOD，则OAC=60，AC=OA=OE，即有ACOE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可

9、得到四边形OACE是菱形。（3）由CFAB得到AFC=OBD=90，而ODAC，则CAF=DOB，根据相似三角形的判定易得RtAFCRtOBD，则有，即，再由FGBD易证得AFGABD，则，即，然后求FG与FC的比即可。27.（2012江苏镇江11分）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。若，BM=，求x的值；记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如

10、图2），当x取何值时，BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：ABC、APD和APE都是等边三角形，AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。ADMAPN（ASA），AM=AN。（2）易证BPMCAP，BN=，AC=2，CP=2x，即。解得x=或x=。四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠部分的面积。ADMAPN，。如图，过点P作PSAB于点S，过点D作DTAP于点T，则点T是AP的中点。在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPc

11、os600=x。AB=2，AS=ABBC=2x。当x=1时，S的最小值为。连接PG，设DE交AP于点O。若BAD=150，DAP=600，PAG=450。APD和APE都是等边三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四边形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG=PAG=450。PGA=900。设BG=t，在RtBPG中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。，解得t=1。BP=2t=22。当BP=22时，BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形ADPE是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，

12、HAO=150，EAH=450。设AO=a，则AD=AE=2a，OD=a。DG=DOGO=（1）a。又BAD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。DH=AD=2a，GH=DHDG=2a（1）a=（3）a，HE=2DODH=2a2a=2（1）a。，。以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由ABC、APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证

13、明。（2）由BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。由BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。28.（2012福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1）当点P与点C重合时（如图）求证：BOGPOE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：=，并结合图证明你的猜想；（5分）（3

14、）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图），若ACB=，求的值（用含的式子表示）（5分）【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OB=OP，BOC=BOG=90。PFBG，PFB=90，GBO=90BGO，EPO=90BGO。GBO=EPO。BOGPOE（AAS）。（2）。证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900，BPN=OCB。OBC=OCB=450，NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN，NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA）。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM

15、，BFP=MFP=900。又PF=PF，BPFMPF（ASA）。BF=MF，即BF=BM。BF=PE，即。（3）如图，过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得BF=BM，MBN=EPN。BNM=PNE=900，BMNPEN。在RtBNP中，即。【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由正方形的性质可由AAS证得BOGPOE。（2）过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明BMNPEN得到BM=PE，通过ASA证明BPFMPF得到BF=MF，即可得出

16、的结论。（3）过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM，MBN=EPN，从而可证得BMNPEN，由和RtBNP中即可求得。29.（2012辽宁沈阳12分）已知，如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120.（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上；（3）如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；若四边形CDEF的周长用t表示，请直接

17、写出t的取值范围【答案】解：(1)过点P作PQAB于点QPA=PB，APB=120，AB=4，AQ=AB=4=2，APQ=APB=120=60。在RtAPQ中，sinAPQ=AP=4。（2）证明：过点P分别作PSOM于点S，PTON于点T，OSP=OTP=90。在四边形OSPT中，SPT=360-OSP-SOT-OTP=360-90-60-90=120，APB=SPT=120。APS=BPT。又ASP=BTP=90，AP=BP，APSBPT（AAS）。PS=PT。点P在MON的平分线上。（3）8+44+4t8+4。【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全

18、等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】（1）过点P作PQAB于点Q根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PSOM于点S，PTON于点T）构建全等三角形APSBPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在MON的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。当ABOP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；当ABOP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点

19、A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。30.（2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，ADBC，ABC2BCD2，点E在AD上，点F在DC上，且BEF=A.（1）BEF=_(用含的代数式表示)；（2）当ABAD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当ABAD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。【答案】解：（1）1802。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。ADBC，A=180-ABC=1802，ADC=

20、180C=180-。AB=AD，ADB=（180A）=。BDC=ADCADB=1802。由（1）得：BEF=1802=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。EOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则G=AEG=。ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。AB=mDE，AD=nDE，AG=AE=（n+1）DE。BG=AGAB=（n+1）DEmDE=（n+1m）DE。【考点

21、】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形ABCD中，ADBC，ABC=2BCD=2，根据平行线的性质，易求得A的度数，又由BEF=A，即可求得BEF的度数：梯形ABCD中，ADBC，A+ABC=180。A=180ABC=1802。又BEF=A，BEF=A=1802。（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得EOBDOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得，从而可证得EODBOF，又由相似三角形的对应角相等，易得EBF=EFB=，即可得EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得DEFGBE，然后由相似三角

22、形的对应边成比例，即可求得的值。31.（2012辽宁鞍山12分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式【答案】解：（1）证明：AOG=ADG=90，在RtAOG和RtADG中，AO=AD，AG=AG，AOGADG（HL）。（2）PAG=45,PG=OG+BP。理由如下：由（1）同理可证ADPABP，则D

23、AP=BAP。由（1）AOGADG，1=DAG。又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90，即DAG+DAP=45。PAG=DAG+DAP=45。AOGADG，ADPABP，DG=OG，DP=BP。PG=DG+DP=OG+BP。（3）AOGADG，AGO=AGD。又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=AGD=PGC。又AGO+AGD+PGC=180，AGO=AGD=PGC=60。1=2=30。在RtAOG中，AO=3，OG=AOtan30=，G点坐标为：（，0），CG=3。在RtPCG中，PC=，P点坐标为：（3，）。设直线PE的解析式为y=kx+b，则，解得

24、。直线PE的解析式为y=x1。【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证AOGADG。（2）利用（1）的方法，同理可证ADPABP，得出1=DAG，DAP=BAP，而1+DAG+DAP+BAP=90，由此可求PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。（3）由AOGADG可知，AGO=AGD，而1+AGO=90，2+PGC=90，当1=2时，可证AGO=AGD=PGC，而AGO+AG

25、D+PGC=180，得出AGO=AGD=PGC=60，即1=2=30，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。32.（2012山东威海11分）探索发现：已知：在梯形ABCD中，CDAB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。（1）如图，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；（2）如图，如果ADBC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：AD=BC，CDAB，AC=BD，D

26、AB=CBA。AE=BE。点E在线段AB的垂直平分线上。在ABD和BAC中，AB=BA，AD=BC，AC=BD，ABDBAC（SSS）。DBA=CAB。OA=OB。点O在线段AB的垂直平分线上。直线EM是线段AB的垂直平分线。（2）相等。理由如下：CDAB，EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB。CDAB，ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB。AM2=BM2。AM=BM。（3）作图如下：作法：连接AC，BD，两线相交于点O1；在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；连接BG，AH，两线相交于点O2；作直线EO2，交AB于点M；作直线MO1。则直线MO1。

27、就是矩形ABCD的一条对称轴。【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】（1）一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上；另一方面可由SSS证明ABDBAC，从而得DBA=CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。（2）一方面由CDAB，得EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB，利用对应边成比例可得；另一方面由CDAB，得ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到AM=BM的结论。（3）按（2）的结论作图即可。33.（2012四川泸州9分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，C是的弧AD中点，弦CEAB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。【答案】解：（1）证明：AB是O的直径，弦CEAB，。又C是弧的中点，。ACP=CAP。PA=PC。AB是直径ACB=90。PCQ=90AC