高考数学真题导数专题.docx

1、高考数学真题导数专题2017年高考真题导数专题一解答题（共12小题）1已知函数f（x）=ae2x+（a2）exx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围2已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）223已知函数f（x）=x1alnx（1）若f（x）0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值4已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a0，bR）有极值，且导函数f（x）的极值点是f（x）的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1

2、）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b23a；（3）若f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围5设函数f（x）=（1x2）ex（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）ax+1，求a的取值范围6已知函数f（x）=（x）ex（x）（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间，+）上的取值范围7已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosxsinx+2x2），其中e2.17828是自然对数的底数（）求曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令h（x）=g（x）af（x）（aR），讨论h（x）的单调性并判断有无极第1页（共1

3、8页）值，有极值时求出极值8已知函数f（x）=excosxx（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0， 上的最大值和最小值9设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x0，2，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且1，x0）（x0，2，满足|x0| 10已知函数f（x）=x3ax2，aR，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3

4、，f（3）处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（xa）cosxsinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值11设a，bR，|a|1已知函数f（x）=x36x23a（a4）x+b，g（x）=exf（x）（）求f（x）的单调区间；（）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）ex在区间x01，x0+1上恒成立，求b的取值范围12已知函数f（x）=ex（exa）a2x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）0，求a的取值范围第2页（共18页）2017年高考真题

5、导数专题参考答案与试题解析一解答题（共12小题）1（2017新课标）已知函数f（x）=ae2x+（a2）exx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a2）exx，求导f（x）=2ae2x+（a2）ex1，当a=0时，f（x）=2ex10，当xR，f（x）单调递减，当a0时，f（x）=（2ex+1）（aex1）=2a（ex+）（ex），令f（x）=0，解得：x=ln，当f（x）0，解得：xln，当f（x）0，解得：xln，x（，ln）时，f（x）单调递减，x（ln，+）单调递增；当a0时，f（x）=2a（ex+）（ex）0

6、，恒成立，当xR，f（x）单调递减，综上可知：当a0时，f（x）在R单调减函数，当a0时，f（x）在（，ln）是减函数，在（ln，+）是增函数；（2）若a0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a0时，f（x）=ae2x+（a2）exx，当x时，e2x0，ex0，当x时，f（x）+，当x，e2x+，且远远大于ex和x，当x，f（x）+，第3页（共18页）函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（，ln）是减函数，在（ln，+）是增函数，f（x）min=f（ln）=a（ ）+（a2）ln0，1ln0，即ln+10，设t=，则g（t）=lnt+t1，（t0），求导g（t）=+

7、1，由g（1）=0，t=1，解得：0a1，a的取值范围（0，1）方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a2）exx，求导f（x）=2ae2x+（a2）ex1，当a=0时，f（x）=2ex10，当xR，f（x）单调递减，当a0时，f（x）=（2ex+1）（aex1）=2a（ex+）（ex），令f（x）=0，解得：x=lna，当f（x）0，解得：xlna，当f（x）0，解得：xlna，x（，lna）时，f（x）单调递减，x（lna，+）单调递增；当a0时，f（x）=2a（ex+）（ex）0，恒成立，当xR，f（x）单调递减，综上可知：当a0时，f（x）在R单调减函数，当a0时，f（x）在（，lna

8、）是减函数，在（lna，+）是增函数；（2）若a0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a0时，由（1）可知：当x=lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（lna）=1ln，当a=1，时，f（lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a（1，+）时，由1ln0，即f（lna）0，故f（x）没有零点，第4页（共18页）当a（0，1）时，1ln0，f（lna）0，由f（2）=ae4+（a2）e2+22e2+20，故f（x）在（，lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0ln（1），则f（n0）=（a+a2）n0 n0 n00，由ln（1）lna，因此在（lna，+）有一个零点a

9、的取值范围（0，1）2（2017新课标）已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22【解答】（1）解：因为f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）=axalnx0，求导可知h（x）=a则当a0时h（x）0，即y=h（x）在（0，+）上单调递减，所以当x01时，h（x0）h（1）=0，矛盾，故a0因为当0x时h（x）0、当x时h（x）0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=aaln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2xxlnx，f（

10、x）=2x2lnx，令f（x）=0，可得2x2lnx=0，记t（x）=2x2lnx，则t（x）=2，令t（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln210，从而t（x）=0有解，即f（x）=0存在两根第5页（共18页）x0，x2，且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx0=0，所以f（x0）= x0x0lnx0= x0+2x02=x0，由x0可知f（x0）（x0）max=+=；由f（）0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上单调

11、递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）f（）= ；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）223（2017新课标）已知函数f（x）=x1alnx（1）若f（x）0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值【解答】解：（1）因为函数f（x）=x1alnx，x0，所以f（x）=1= ，且f（1）=0所以当a0时f（x）0恒成立，此时y=f（x）在（0，+）上单调递增，这与f（x）0矛盾；当a0时令f（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，即f（x）min=f（a），又因为f（x）

12、min=f（a）0，所以a=1；（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x1lnx0，即lnxx1，所以ln（x+1）x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+ ） ，kN*第6页（共18页）一方面，ln（1+）+ln（1+即（1+）（1+ ）（1+）+ln（1+）e；）+=11，另一方面，（1+）（1+ ）（1+ ）（1+）（1+ ）（1+ ）= 2；从而当n3时，（1+）（1+ ）（1+ ）（2，e），因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m成立，所以m的最小值为3（4（2017江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a0，bR）有极值，且导函数f（x）的极值点是f

13、（x）的零点极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b23a；（3）若f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f（x）=3x2+2ax+b，g（x）=6x+2a，令g（x）=0，解得x=由于当x时g（x）0，g（x）=f（x）单调递增；当x时g（x）0，g（x）=f（x）单调递减；所以f（x）的极小值点为x=，由于导函数f（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（）=0，即+1=0，所以b= +（a0）因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a

14、0，bR）有极值，所以f（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a212b0，即a2所以b= +（a3）+0，解得a3，第7页（共18页）（2）证明：由（1）可知h（a）=b23a=27），由于a3，所以h（a）0，即b23a；+=（4a327）（a3（3）解：由（1）可知f（x）的极小值为f（）=b，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）= + +a（ +）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）（x1+x2）23x1x2+a（x1+x2）22x1x2+b（x1+x2）+2= +2，又因为f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小

15、于，所以b + +2= ，因为a3，所以2a363a540，所以2a（a236）+9（a6）0，所以（a6）（2a2+12a+9）0，由于a3时2a2+12a+90，所以a60，解得a6，所以a的取值范围是（3，65（2017新课标）设函数f（x）=（1x2）ex（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）ax+1，求a的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）=（1x2）ex，xR，所以f（x）=（12xx2）ex，令f（x）=0可知x=1，当x1或x1+时f（x）0，当1x1+时f（x）0，所以f（x）在（，1 ），（1+ ，+）上单调递减，在（1 ，第8页（共18页）1+ ）上单调

16、递增；（2）由题可知f（x）=（1x）（1+x）ex下面对a的范围进行讨论：当a1时，设函数h（x）=（1x）ex，则h（x）=xex0（x0），因此h（x）在0，+）上单调递减，又因为h（0）=1，所以h（x）1，所以f（x）=（1x）h（x）x+1ax+1；当0a1时，设函数g（x）=exx1，则g（x）=ex10（x0），所以g（x）在0，+）上单调递增，又g（0）=101=0，所以exx+1因为当0x1时f（x）（1x）（1+x）2，所以（1x）（1+x）2ax1=x（1axx2），取x0= （0，1），则（1x0）（1+x0）2ax01=0，所以f（x0）ax0+1，矛盾；当a0时，

17、取x0=（0，1），则f（x0）（1x0）（1+x0）2=1ax0+1，矛盾；综上所述，a的取值范围是1，+）6（2017浙江）已知函数f（x）=（x）ex（x）（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间，+）上的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）=（x）ex（x），导数f（x）=（12）ex（x）ex=（1x+）ex=（1x）（1）ex；（2）由f（x）的导数f（x）=（1x）（1可得f（x）=0时，x=1或，第9页（共18页）ex，当x1时，f（x）0，f（x）递减；当1x时，f（x）0，f（x）递增；当x时，f（x）0，f（x）递减，且x x22x1（x1）20，则f（x）0由

18、f（）=e ，f（1）=0，f（）=e ，即有f（x）的最大值为e ，最小值为f（1）=0则f（x）在区间，+）上的取值范围是0，e 7（2017山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosxsinx+2x2），其中e2.17828是自然对数的底数（）求曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令h（x）=g（x）af（x）（aR），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【解答】解：（I）f（）=22f（x）=2x2sinx，f（）=2曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程为：y（22）=2（x）化为：2xy22=0（II）h（x）=g（x）af（x

19、）=ex（cosxsinx+2x2）a（x2+2cosx）h（x）=ex（cosxsinx+2x2）+ex（sinxcosx+2）a（2x2sinx）=2（xsinx）（exa）=2（xsinx）（exelna）令u（x）=xsinx，则u（x）=1cosx0，函数u（x）在R上单调递增u（0）=0，x0时，u（x）0；x0时，u（x）0（1）a0时，exa0，x0时，h（x）0，函数h（x）在（0，+）单调递增；x0时，h（x）0，函数h（x）在（，0）单调递减第10页（共18页）x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=12a（2）a0时，令h（x）=2（xsinx）（exelna）=0

20、解得x1=lna，x2=00a1时，x（，lna）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增；x（lna，0）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递减；x（0，+）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2当a=1时，lna=0，xR时，h（x）0，函数h（x）在R上单调递增1a时，lna0，x（，0）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增；x（0，lna）时，exelna0，h（x）0

21、，函数h（x）单调递减；x（lna，+）时，exelna0，h（x）0，函数h（x）单调递增当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2综上所述：a0时，函数h（x）在（0，+）单调递增；x0时，函数h（x）在（，0）单调递减x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=12a0a1时，函数h（x）在x（，lna）是单调递增；函数h（x）在x（lna，0）上单调递减当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=aln2

22、a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增0（a1时，函数h（x）在（，），lna，+）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=2a1当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=aln2a2lna+sin（lna）+cos（lna）+2第11页（共18页）8（2017北京）已知函数f（x）=excosxx（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0， 上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=

23、ex（cosxsinx）1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为k=e0（cos0sin0）1=0，切点为（0，e0cos00），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=excosxx的导数为f（x）=ex（cosxsinx）1，令g（x）=ex（cosxsinx）1，则g（x）的导数为g（x）=ex（cosxsinxsinxcosx）=2exsinx，当x0， ，可得g（x）=2exsinx0，即有g（x）在0，则f（x）在0，递减，可得g（x）g（0）=0，递减，即有函数f（x）在区间0，最小值为f（ ）=e cos上的最

24、大值为f（0）=e0cos00=1；=9（2017天津）设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x0，2，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且1，x0）（x0，2，满足|x0| （【解答】）解：由f（x）=2x4+3x33x26x+a，可得g（x）=f（x）=8x3+9x26x6，第12页（共18页）进而可得g（x）=24x2+18x6令g（x）=0，解得x=1，或x=当x变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表：xg（x）g（x