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1、研究生数学建模竞赛优秀论文选行车时间估计和最做路线选择A24页全国第二届部分高校研究生数模竞赛题 目 行车时间估计和最优路线选择（A）摘 要：本题是解决公路车辆行驶时间预测和最优路线选择的问题。首先，通过对 San Antonio 某段公路一段监测数据进行分析，结合实际情况，提出了两种行车时间估计模型：模型一仅采用各测点的行车速度信息，在单位观测时间内， 所有通过测段车辆速度为相邻两测点速度的平均值，车辆行驶时间为测段长度与均值速度的比值，为研究各个测段行驶时间的相互影响，计算了各测段行驶时间向量的相关系数矩阵；模型二综合考虑了观测速度和流量，车辆通过测段的时间由自由通过时间和滞留时间两部分组

2、成。分别采用两种模型对该观测段行车时间进行估测，两种模型计算结果基本吻合，并给出了基于概率的行车时间估计区间；对两种模型进行评价，提出了两种模型各自的适用条件及影响因素。然后，由于各个路段行驶时间的不确定性，现有的交通系统不能准确的估计行驶时间并选择最优路线。为考虑各种路况特征（单个路段平均行驶时间，路段长度和行驶时间方差）对总行车时间的影响，引入广义行车费用，给定各个路况特征对行车时间的影响权重值，进而计算出各个路段的广义行车费用，最优路线即为广义行车总费用最少的路线。特别的，当路段长度的权重值为 1（仅考虑距离影响）时，采用 Dijkstra 算法编制了 VB 程序，可以获得任意两点间的最

3、优路线。另外，结合现有系统提供的信息，根据行车时间估计模型一，可以得到各个路段行驶时间向量的协方差矩阵，进而求出任一行驶路线的平均行驶时间及其方差；比较所有行驶路线的平均行驶时间，得出最优路线， 因此，考虑各个路段行驶时间相互影响时，该方法适用于节点较少的最优路线选择问题。参赛密码 （由组委会填写）关键词： 行车时间 滞留量 Dijkstra 算法 广义费用 相关性最优路线参赛队号 1356I：行车时间估计模型一、问题描述：公路行车时间估计对于现代交通运输起着重要的作用。为了进行行车时间估计，在美国 San Antonio 的公路上，安装探测装置以测定车流量和车速。探测器每天 24 小时进行数

4、据采集，每 2 分钟采样一次，每次采样时间为 20 秒，每一次采样可以得出当前的车流量和车速，根据某一天下午 3：40 至傍晚 6：58 的测量数据，对以下问题分析研究：1、分析公路的交通特征，即车行通畅情况和交通拥堵情况。2、给出车辆行驶时间的预测模型。二、问题分析：636 m 417m 522m 475mtravel direction Detector 1 Detector 2 Detector 3 Detector 4 Detector 5图 1 测点布置图根据直观了解，如果所有车辆在某一测段内行驶速度变化不大，则相邻两个探测器的测得的速度差值也不会大，因而可以认为探测器所测得的速度值

5、，就是该区间内每辆车的行驶速度，那么行车时间应为该段距离与此速度的商，据此，我们提出第一种车辆行驶时间估计模型，此模型仅与探测器所测得的速度有关。另外，对于某个测段，如果进入该区间的车辆多于驶出该区间的车辆，其结果就是造成该测段内车辆拥堵，影响正常行驶，则部分车辆将在区间内“耽搁”一些时间，根据这一个实际情况，我们建立了第二种车辆行驶时间估计模型，此模型中考虑了交通流量的影响。三、模型假设、建立与求解（一）第一种行车时间估计模型1、假设（1）在各路段中车辆单向行驶。（2）测点在 20 秒内的行车状况可以代表 2 分钟内的行车状况。（3）每辆车在两测点间的行驶速度为进入点速度和驶出点处速度的平均

6、值，即：v = 1 (v2 i+v j )（1）其中下标i 表示车辆进入处测点位置， j 表示车辆离开处测点位置。（4）车辆在时刻tn 通过各个测段的行驶时间T ( X i, j , tn ) 服从正态分布。2、模型建立（1）基本单元模型车辆通过lij 的时间为：图 2 基本单元模型T = lijV v= 2 lijvi + v j（2）式中lij 表示两测点之间的距离， vi ， v j 分别表示驶入测点i 和驶出测点 j 处的行车速度。（2）实用计算模型根据基本单元模型，可得出tn 时刻 Xi, j 测段的行车时间为：T ( X , t ) =2l( X i, j )（3）（3）V i,

7、j nv( X i, tn ) + v( Xj , tn )式中 i, j 分别表示车辆进入点和车辆驶出点；Xi, j 表示相邻两探测器间的测量段；l( X i, j ) 表示 Xi, j 测段的长度；v( Xi , tn ) 表示tn 时刻，车辆进入 Xi, j 测段时的速度；v( X j ,tn ) 表示tn 时刻，车辆驶出 Xi, j 测段时的速度。则车辆通过 Xi, j 测段的平均时间为：TV ( Xi, j ) =NTV ( X i, j , tn )n=1 N（4）（4）式中 N 表示该测段测量数据个数。3、模型求解表 1 各测点行车速度(单位：mile/h)tnv( X 1 ,

8、tn )v( X 2 , tn )v( X 3 , tn )v( X 4 , tn )v( X 5 , tn )03:40:07 PM575462205803:42:07 PM626863215906:58:07 PM6468573664表 2 测段间距(单位：m)l( X 1,2 )l( X 2,3 )l( X 3,4 )l( X 4,5 )全程6364175224752050把表 1 和表 2 中的数据代入（3）、（4）式，得到各测段行车时间和全程行车时间，结果如下表：表 3 行车时间及标准差X 1,2X 2,3X 3,4X 4,5全程TV ( X i, j ) （sec）26.9326.

9、7161.5552.8167.95标准差 S （sec）8.9240.52106.8461.02165.5对于不同时刻各测段行车时间和全程（包括四个测段）行车时间，计算结果如图 4、图 5 所示：650600550500450400350300250200150100500-50t04:18:07 PM04:58:07 PM05:44:07 PM06:24:07 PM -n图 4 不同时刻各测段的行车时间10008006004002000t04:18:07 PM 04:58:07 PM 05:44:07 PM 06:24:07 PM -n图 5 不同时刻全程的行车时间4、结果分析及评价（1）相

10、关性分析考虑各个测段行驶时间存在相互影响，用软件 Matlab 求出四个测段行车时间向量TV( X i, j, t1 )TV ( Xi, j, t2) TV( X i, j, t N)T 的协方差，协方差矩阵为：0.00804 0.0310C = 10 0.07340.00360.03100.16420.35510.0440.07340.35511.14200.05830.00360.00440.05830.3723用函数CORRCOEF ( X ) 函数求得四个测段行车时间的相关系数，其相关系数矩阵为：1.00000.8589CF =0.77030.06620.85891.00000.820

11、30.01770.77030.82031.00000.08950.06620.01770.08951.0000矩阵CF 中的元素CF ，其中CF =Cij 。ij ij由相关函数矩阵可以看出， TV ( X 1,2 ) 与TV ( X 2,3 ) 、TV ( X 3,4 ) 的相关系数分别为 0.8589和 0.7703，说明TV ( X 1,2 ) 与TV ( X 2,3 ) 、TV ( X 3,4 ) 之间相互影响程度较大；而TV ( X 4,5 ) 与TV ( X 1,2 ) 、TV ( X 2,3 ) 、TV ( X 3,4 ) 的相关系数则分别为 0.0662、0.0177、0.08

12、59，其值均较小，这说明TV ( X 4,5 ) 对TV ( X 1,2 ) 、TV ( X 2,3 ) 、TV ( X 3,4 ) 的影响较小。四个测段的行车时间中，最大相关系数 0.8589 出现在TV ( X 1,2 ) 与TV ( X 2,3 ) 之间，说明该两测段行车时间的相关程度最大，在进行行车时间评估时应对此重点进行考虑。（3）模型评价及建议从图 4 、图 5 可以看出，在特定交通时段内，其行车时间明显高于其它时段的行车时间；另一方面，由表 3 计算结果也看出，如果对整个观测时段得到的全部数据一起进行统计分析，其均值标准差S 过大。故结合实际情况，建议将交通时段分成两部分，交通高

13、峰期和非交通高峰期。对图 4、图 5 进行观测分析，把 05:15 PM 06:25PM 定为交通高峰期，其余时间定为非交通高峰期。200150100500-50650600550500450400350300250200150100500-50-100-150-20003:58:07 P04M:18:07 P04M:38:07 P04M:58:07 P06M:28:07 P06M:48:07 PM -tn图 5 非高峰期各测段的行车时间t05:24:07 P0M5:40:07 P0M5:50:07 P0M6:00:07 P0M6:10:07 P0M6:20:07 PM -n图 6 非高峰期各

14、测段的行车时间表 4 高峰期和非高峰期各测段行车时间和全程行车时间X 1,2X 2,3X 3,4X 4,5全程非高峰期TV ( X i, j ) （sec）23.514.824.127.289.5标准差 S （sec）1.00.75.911.217.0高峰期TV ( X i, j ) （sec）32.544.2108.0108.4293.0标准差 S （sec）12.060.0115.184.6222.1在非高峰期交通时段，行车时间按( - 2 , + 2 ) 进行估计，其中 为均值， 为方差，则从第 1 测点到第 5 测点间的行车时间的估计区间（55.5 秒，129.5 秒），保证概率为 9

15、5.44%。在高峰期交通时段，第 1 测点到第 5 测点间行车时间数据离散性较大， 给出行车时间的预测区间意义不大，故只给出平均行车时间：293 秒。（二）第二种时间估计模型1、模型假设（1）在各路段中车辆单向行驶。（2）测点在 20 秒内的行车状况可以代表 2 分钟内的行车状况。Q( Xi ,tn ) = 6 q( Xi ,tn )， Q( X j ,tn ) = 6 q( X j ,tn )（5）式中 q( Xi ,tn ) 20 秒内进入测段 Xi, j 的车辆数；q( X j ,tn ) 20 秒内驶出测段 Xi, j 的车辆数；Q( Xi ,tn ) 120 秒内进入测段 Xi, j

16、 的车辆数；Q( X j ,tn ) 120 秒内驶出测段 Xi, j 的车辆数。（3）车辆在测段间的行驶时间为自由通过时间TF 和滞留时间TC 的代数和，且TF 和TC 不相关，即：TT = TF + TC（6）（4）车辆自由通过某测段的速度v f ( Xi, j ) 为两测点间所测得的平均行车速度最大值，即：v f ( Xi, j) = Maxv( X i , tn ) + v( X j , tn ) , n = 1,2, N2（7）（5）车辆在某测段内的滞留时间TC 只与该测段内的滞留量有关。（6）滞留量不能为负，当进入车辆数小于驶出数量时，认为没有滞留车辆，滞留量为零。2、模型建立（1

17、）自由通过时间计算模型根据假设（4），车辆在 Xi, j 测段的自由通过时间为：T ( X) = l( Xi, j )（8）F i, jv f ( Xi, j )（2）滞留时间模型1）滞留时间基本模型车流方向i j图 7 测段内车辆滞留量图Qi 表示 2 分钟内进入测点i 的车辆数，Q j 表示 2 分钟内驶出测点 j 的车辆数，则 Ki, j表示该 2 分钟内滞留在 Xi, j 段内的车辆数，根据假设（6），车辆滞留量不能为负，所以对 Ki, j 定义如下：Qi - QjQi - Qj 0Ki, j = 0Qi - Qj 0（9）从统计意义上来讲，滞留在 Xi, j 测段内的车辆都被“耽搁”

18、2 分钟，则在 Xi, j 内，C由于交通拥堵“耽搁”的总时间量为T = t Ki, j，其中t 为 2 分钟，即 120 秒。对于“通过”该测段的每辆车来说，在该测段因为滞留而被“耽搁”的平均时间为：2）滞留时间实用计算模型TTC = CQj= t Ki, jQj（10）基本模型中 Ki, j 没有考虑tn-1 时刻滞留的车辆在tn 时刻影响，如果用tn-1 时刻滞留量与tn 时刻车辆滞留量两者的平均值作为在 Xi, j 测段内在tn 时刻的车辆滞留量，更为合理。故将 Ki, j 修正为 Ki, j ：K ( Xi, j, tn) = K ( X i, j , tn-1 ) + K ( X

19、i, j , tn )2Q( X i , tn ) - Q( X j , tn )Q( X i , tn ) - Q( X j , tn ) 0（11）K ( X i, j , tn ) = 0Q( X i, tn) - Q( Xj , tn) 0（12）由（10）、（11）式可以得出在测段 X i, j 内的滞留时间：T ( X,t ) = t K ( Xi, j ,tn ) = K ( Xi, j ,tn -1 ) + K ( Xi, j ,tn ) t （13）C i, j nQ( Xj ,tn )2Q( Xj ,tn )式中 TC ( X i, j , tn ) 在tn 时间段内每辆通

20、过车辆在测段 X i, j 上的滞留时间；t 两次测量的时间间隔，为 120 秒。则车辆通过 X i, j 段的平均滞留时间为：TC ( Xi, j ) =NTC ( X i, j , tn )n=1 N（14）式中 N 表示该测段测量数据个数。3、模型求解表 6 各测点行车速度和车流量Detector 1Detector 2Detector 3Detector 4Detector 5tnSpeed(mile/h)FlowSpeed(mile/h)FlowSpeed(mile/h)Flowspeed(mile/h)FlowSpeed(mile/h)Flow03:40:07 PM5710549.

21、7628.92010.7585.903:42:07 PM629.56811.46313.621105912.206:58:07 PM644.2683.9574.5364.4644.1Speed ： v( X i , tn ) Flow ： q( Xi ,tn )把表 6 数据代入（5）、（12）、（13）、（14）式，计算滞留时间TC ( X i, j ) ；代入（7）、（8）式计算自由通过时间TF ( Xi, j ) ；把TC ( X i, j ) ， TF ( Xi, j ) 的计算值代入（6）式得到行车总时间TT ( X i, j ) 。TT ( X i, j ) 计算结果如表 7 所示

22、，按照该模型计算，走完全程需要的平均时间估计值为 166.95 秒。表 7 探测器所测各测点行车速度和车流量X 1,2X 2,3X 3,4X 4,5全程l( Xi, j ) （m）6364175224752050v f ( X i , j ) （m/s）30.6231.5129.9529.27TF ( Xi, j ) （s）20.7713.2317.4316.2367.66TC ( X i, j ) （s）31.6320.6135.9911.0699.29TT ( X i, j ) （s）52.4033.8453.4227.29166.95四、两种行车时间估计模型评价与改进第一种时间估计模型和

23、第二时间估计模型都假设了 20 秒内的行车状况能代表 2 分钟内的行车状况，在第一模型中，只考虑了行车速度影响因素，而此行车速度为 20 秒内的行车速度，显然，如果增加观测时间，这个模型的精度将提高。对于第二模型，考虑了行车速度和流量的影响，在这一假设条件下，降低了流量的测量精度。表 8 两种模型行车时间计算结果比较T ( X 1,2 )T ( X 2,3 )T ( X 3,4 )T ( X 4,5 )全程时间第一种模型26.9326.7161.5552.8167.95第二种模型52.4033.8453.4227.29166.95第一种时间估计模型计算的全程行车时间为 167.95 秒，第二种

24、时间估计模型计算的全程时间预计值为 166.95 秒，两者计算值基本相同；但是，由表 8 可以看出，对于各个测量段，所计算出的行车时间估计值有一定差别。从全程 2.050 公里来看，可以认为流量对行车时间估计没有影响，但是对于单个测段，流量对行车时间的估计值有一定影响。第一种模型仅考虑了测点的行车速度，适用于距离较短、交通状况良好的情况下的行车时间估计，第二种模型综合考虑了最大行车速度和流量对行车时间的影响，当各测段内流量发生变化时，认为交通状况变化（例如：交通拥堵）产生车辆滞留，适用于测段距离较长的路段行车时间估计。但该模型为一种简化模型，它的第（6）个假设认为滞留量不能为负，这一假设有一定

25、的局限性，实际情况应考虑观测区间长度和观测时间间隔长度的影响，当测段长度比较大，或者观测时间间隔比较小时，滞留量可以为负， 对于这类情况该模型有待改进。II&III：最优路线的选择和行驶时间评估模型一、问题描述由于各个路段行驶时间的不确定性，San Antonio 现有的交通系统在提供最优路线和可靠的行驶时间估计时存在缺陷。现有的交通系统中的路况信息包括：路段正常行驶， 路段拥堵，路段严重拥堵，路段在施工（但车辆运行情况不明），实时信息牌（某些信息牌在某些时刻没有路况信息显示）在各个路段的分布情况。这些路况信息每隔 5 分钟更新一次，用鼠标点击某一路段，还可以获得该路段的运行速度信息。由于各个

26、路段行驶时间的不确定性，现有的系统不能准确的给出最优路线和可靠的时间估计值。因此， 需要给出各路段行驶时间不确定性的衡量指标，并在此基础上建立合理的时间评估模型和最优路线选择模型。二、问题分析通常，在每条可供选择的路线的特征确定之后，最优路线的选择还要根据司机的行驶习惯来确定。也就是说，最优路线的确定要满足多目标的约束（比如行驶时间、路程、是否堵车等各个方面的因素），还要满足司机在选择路线时的个人习惯。这样，建立每一种类型的司机行驶时间（司机从出发地到达目的地的时间消耗）的数学达式是比较困难的，而对这样一个多因素影响下的行驶时间函数，其最优解的确定变成了求解 NP 问题，这也是相当困难的。根据

27、以上分析，最优路线选择时需要考虑的问题包括：1、考虑各种因素的影响，直接计算出发地到目的地之间的时间（NP 问题）计算耗时很长，不适合大规模交通系统使用。2、个别路段不能提供相关路况信息或信息不准确。4、不同司机选择最优路线的决策方法不同。三、模型假设、建立与求解（一）不考虑各个路段行驶时间的相关性1、假设(1)各个路段的行驶时间T 都服从正态分布。(2)假定利用现有系统可以获得的各个路段的路况，采用问题 I 中提出的方法，可以得到在时刻t 通过各个路段的平均时间T (t) ，以及行驶时间的均方差 T (t) 。(3)各个路段的平均行驶时间T (t) ，各个路段行驶时间的方差 T (t) 都是

28、相互独立的随机变量。(4)司机对各种路况特征的使用偏好为已知。(5)以各个路段的平均行驶时间T (t) ，行驶时间的方差 T (t) 和路段的长度作为表示路段特征的指标。(6)在司机通过任意到达目的地路线的时间t 内，各个路段的路况特征指标不变。(7)在各路段中车辆单向行驶。2、建立模型根据以上假设和分析，可以建立第i 个路段上广义行驶费用的线性方程：3Yi = wj Zij (t) = w1Zi1 (t) + w2 Zi 2 (t) + w3 Zi3 (t)j=1式中： wj 表示路段第 j 个特征指标在广义行驶费用中占的权重；（15）Zij (t) 表示t 时刻第i 个路段上第 j 个特征指标的标准化值（即第i 个路段第 j 个特 征 值 与 所 有 路 段 第 j 个 特 征 值 最 大 值 的 比