《勾股定理》培优训练1.docx

1、勾股定理培优训练1勾股定理培优训练一1.如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长.2.如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到DCE，连接BD，交AC于F.（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长.3.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心.应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高

2、CD上，且PD=AB，求APB的度数.探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.（1）连接PA、PB，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB=45，然后即可求出APB的度数；（2）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解4. 已知，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB交AB于点E，且CD=AC，DFBC，分别与AB、AC交于点

3、G.（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长.5.如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9求AC的长6.已知等边OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1，A1B1与OB相交于点A2（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到OA3B3，OA4B4，OAnBn（如图）求OA6B6的周长7. ABC中，BC=a，AC=b，AB=c若C=90，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股

4、定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论8.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题（）2+1=2，S1=；（）2+1=3，S2=；（）2+1=4，S3=（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S22+S102的值9. RtOAB的斜边AO在x轴的正半轴上，直角顶点B在第四象限内，SOAB=20，OB：AB=1：2，求A、B两点的坐标10.已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（1）当扇形CEF绕点C在ACB的内部

5、旋转时，如图，求证：MN2=AM2+BN2；请你完成证明过程：（2）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由11.如图，ABC是边长为4的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到DCE，连结BD，交AC于F（1）猜想BD与DE的位置关系，并证明你的结论；（2）求BDE的面积S12.已知ABC=90，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在ABC的内部作等边ABE和APQ，连接QE并延长交BP于点F（1）如图1，若AB=2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直

6、接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=2，设BP=4，求QF的长13.四边形ABCD中，AC平分BAD，B和D都是直角（1）求证：BC=CD（2）若将原题中的已知条件“B和D都是直角”放宽为“B和D互为补角”，其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论（3）探究：在（2）的情况下，如果再限制BAD=60，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由14.在ABC中，A=2B，且A=60求证：a2=b（b+c）15.如图，梯形ABCD中，

7、ADBC，B=90，AD=AB=4，BC=7，点E在BC边上，将CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C处（1）求CDE的度数；（2）求CDE的面积16.在四边形ABCD中，DAB=BCD=90，ADC=60，AB=2，BC=11，求：（1）CD的长（2）四边形ABCD的面积17.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点M、N在边BC上（1）如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN；（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足MAN=45，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由18.已知在ABC中，ADB

8、C，垂足为D点在边BC上，BFAC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，BAD=45（1）如图：若BAC是锐角，则点F在边AC上，求证：BDEADC；若DC=3，求AE的长；（2）若BAC是钝角，AE=1，求AC的长19.如图，ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是ABC的高，B1B2是ABB1的高，B2B3是AB1B2的高，B3B4是AB2B3的高，Bn-1Bn是ABn-2Bn-1的高（1）求BB1的长；（2）填空：B1B2的长为 ，B2B3的长为 ；（3）根据（1）、（2）的计算结果，猜想写出Bn-1Bn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）20.如图，ABD、CBD都是等边

9、三角形，DE、BF分别是ABD的两条高，DE、BF交于点G（1）求BGD的度数；（2）连接CG，求证：BG+DG=CG；求的值21.（1）如图1，在ABC中，BC=3，AC=4，AB=5D为AB边上一点，且ACD与BCD的周长相等，则AD= （2）如图2，在ABC中，BC=a，AC=b，AB2=BC2+AC2E为BC边上一点，且ABE与ACE的周长相等；F为AC边上一点，且ABF与BCF的周长相等，求CECF（用含a，b的式子表示）22.如图，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，ABE=CBE（1）求证：BH=AC；（

10、2）求证：BG2-GE2=EA223.如图，等边ABC和等边DEC，CE和AC重合，CE=AB（1）求证：AD=BE；（2）若CE绕点C顺时针旋转30，连BD交AC于点G，取AB的中点F边FG求证：BE=2FG24.在讨论问题：“如图1，ABC=30，ADC=60，AD=CD，请问：BD、AB、BC三边满足什么关系”时，某同学在图中作ACEDCB，连接BE得图2，然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2他的判断是否正确？请说明理由26.如图1，RtABC中，ACB=90，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DEDF（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；（2）如

11、图2，如果CACB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由27.已知：ABC中，ABBC，AC的中点为M，MNAC交ABC的角平分线于N（1）如图1，若ABC=60，求证：BA+BC=BN；（2）如图2，若ABC=120，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明（1）连接AN、CN，过点N作NEAB于点E，NFBC于点F，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AN=NC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NF，然后利用“HL”证明RtANE和RtCNF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后求

12、出BA+BC=2BF，在RtBNF中，利用NBF的余弦值列式整理即可得证；（2）连接AN、CN，在BC上截取BE=AB，然后利用“边角边”证明ABN和ABE全等，根据全等三角形对应边相等可得NA=NE，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得NA=NC，从而得到NE=NC，过点N作NFBC于点F，根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=EC，然后表示出BF，在RtBFN中，利用NBF的余弦值列式整理即可得解28.在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，BC=2，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45（A，D，E按逆时针方向）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E（1

13、）求证：1=2（2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由（1）求出B=45，根据三角形外角性质得出1+B=ADC=45+2，求出即可（2）分为三种情况，DE=AE，AD=AE，AD=DE，根据等腰三角形性质（等腰三角形两边相等），三角形全等推出即可（3）存在，条件是CD=AC，求出DEA=CAD=22.5，根据CD=CA可得CAD=ADC，ADE=45可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出CAD；再根据CAD+E=

14、ADE可得CAD=E存在，当D在BC延长线上，且CD=CA时，ADE是等腰三角形，理由是：ACB=45，ADB45，EDB90，BDE永远是钝角，ADE是钝角，即ADE只能为等腰ADE的顶角，ADE=45=ACB=DCE，又CD=CA，CAD=CDA=22.5，EDC=67.5，DEC=EDC-DCE=22.5，CAD=CED，DA=DE，ADE是等腰三角形29.如图，ABC是等边三角形，过点C作CDCB交CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作BCE=BAD，交AB的延长线于点E（1）求证：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的长30.已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中AC=AD（1）如图1，若AB=AE，DAC=EAB=60，则BFC= ；（2）如图2，若ABC=30，ACD是等边三角形，BC=4，AB=3求BD的长；（3）如图3，若ACD为锐角，作AHBC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定DAC与ABC的数量关系，并证明你的结论（3）DAC=2ABC成立，过点B作BE