基于层次凸分解的面状目标几何信息度量.docx

1、基于层次凸分解的面状目标几何信息度量基于层次凸分解的面状目标几何信息度量徐震，刘慧敏，邓敏，何占军（中南大学测绘与国土信息工程系，湖南长沙，410083）摘要：地图空间信息的定量度量是国际理论制图学界研究的一个基础问题。地图的空间信息含量亦是评价制图质量、地图综合算法以及空间信息传输效率的重要理论依据，其中单个目标的信息度量是进行整个地图信息度量的基础。本文以面状目标为例，基于层次凸分解方法，提出面状目标几何信息的定量度量方法。首先，顾及人类视觉认知的特点和方式，将面状目标的几何形态结构分解为凸包树。进而，通过对凸包几何形状信息描述指标的有效性分析，采用凸包的边长差异性与边数两个指标来度量凸包

2、的几何信息量，而凸包树中所有凸包的几何信息则构成了整个面状目标的几何信息。最后，通过实验例证和比较分析，进一步验证了本文所提方法的可行性和合理性。关键词：信息度量；几何信息；凸分解；凸包；面状目标1 引 言鉴于地图记录、表达和传输空间信息的功能，任何地图都载负着一定的空间信息量。近年来，地图空间信息的定量度量已经成为国际GIS和制图学界的一个基础研究专题1, 2。据文献分析可以发现3-9，现有方法大都是基于信息熵来研究地图的信息，并且主要是从地图层次考虑整个地图的信息量，而没有考虑空间目标本身的几何信息含量。实质上，空间目标本身的几何形态表达着重要的地理空间特征，其蕴含的几何信息是地图空间信息

3、的重要组成部分。在制图综合过程中，单个空间目标的信息量也是决定空间目标取舍的一个主要依据10。面状目标的几何信息载负于其几何形态结构中，读图者通过视觉识别其几何形态结构来获取几何信息。因此，需要顾及人类视觉认知的方式和特点，提出符合人类视觉认知规律的面状目标几何形态结构描述方法，这亦是面状目标几何信息定量度量的重要基础。计算机视觉、模式识别、图像理解、计算机图形学、视觉感知等领域的研究普遍认为，人眼在认知面状目标时具有三个特点：会下意识地将面状目标剖分为若干子部分11-20；对面状目标的凸形部分较为敏感16, 19, 20；遵循从整体轮廓到局部细节的层次化认知方式19, 21-23。据此，本文

4、采用层次凸分解的方式将面状目标分解为一组凸包集合，并描述为以凸包为结点的层次树形结构，称之为凸包树21-29。在此基础上，针对地图空间信息产生的本质特征，即差异性和多样性特征30-33，来分析和描述凸包树中凸包的复杂性，进而提出面状目标几何信息的定量度量方法。2 遵循人眼认知规律的面状目标形状剖分人眼在识别面状目标几何形状的过程中，通常会将面状目标剖分为若干子部分，并通过子部分的形状特点来认知面状目标的几何形态。因此，遵循人眼认知规律，提出面状目标的形状剖分规则，这亦是建立合理的面状目标剖分方法以及正确认知面状目标几何形态结构的重要基础。面状目标的几何形状具有双侧性。如图1，从面状目标外部往里

5、看，该面状目标的几何形状类似于一个酒杯；从内部往外看，该面状目标的几何形状却类似于一个人脸的侧面。因此，从不同侧观察面状目标，人眼获取的几何形状信息是不同的。类似地，对于面状目标的某一局部区域，若从外部往里看为凸形，则从内部往外看即为凹形。反之，若从外部往里看为凹形，则从内部往外看即为凸形。同时，人眼具有对面状目标的凸形部分较为敏感的特点，因此，本文将面状目标剖分为两类子部分，一类是从面状目标外部往里看为凸形的子部分；另一类是从面状目标内部往外看为凸形的子部分。如图2，选取了4个几何形状渐变的面状目标，它们包含的孔洞从面状目标的中心逐渐移向边缘，最后孔洞化为缺口。从（a）的内部往外看（即视觉）

6、，区域为凸形，而从（a）的外部往里看（即视觉），区域为凸形，故将（a）剖分为（）和（）。同理，（b）可以作同样的剖分。从（c）的内部往外看（即视觉），区域为凸形，从（c）的外部往里看（即视觉），区域为凸形，故将（c）剖分为（）和（）。同理，（d）可以作同样的剖分。显然，这种剖分与人眼视觉识别结果完全相符。图2 4个几何形状渐变的面状目标及其视觉识别结果3 面状目标的层次剖分模型最早的凸包树概念由Sklansky提出，用于度量面状目标的凹凸程度24。随后，模式识别领域的学者们对面状目标凸包树生成算法的优化进行了研究，并且大多是针对栅格图形的几何形态结构21, 25-28。在地理信息科学领域，艾廷

7、华等人基于凸包树提出空间数据的变化累积模型，并用于矢量地图渐进式传输22-23；进而，Bulbul &Frank考虑带孔洞面状目标的情况，提出带孔洞面状目标的凸包树建立方法29。下面基于凸包、缺口多边形、父凸包、子凸包、根凸包、叶凸包等概念，提出面状目标的层次凸分解方法，进而建立面状目标的凸包树，该方法适用于简单面状目标和带孔洞面状目标这两种情况。定义1 凸包：对于多边形或面状目标P，其凸包是指包含P的最小凸多边形。如图3，（a）为多边形（由实线表示），（b）为简单面状目标（由竖条纹区域表示），（c）为带孔洞面状目标（由竖条纹区域表示），由虚线表示的多边形即为它们的凸包。定义2 缺口多边形：对

8、于多边形或简单面状目标P，其缺口多边形是指P的凸包与P的轮廓线所围成的多边形；对于带孔洞面状目标P，其缺口多边形是指P的凸包与P的轮廓线所围成的多边形以及P的孔洞的轮廓线所围成的多边形。如图3，对于（a）和（b），由点阵区域的轮廓线表示的多边形A、B、C即是P的缺口多边形；对于（c），由点阵区域的轮廓线表示的多边形A、B、C、D即是P的缺口多边形。定义3 父凸包和子凸包：若多边形Q为多边形或面状目标P的一个缺口多边形，则P的凸包即称为H的凸包的父凸包，反之，Q的凸包称为P的凸包的子凸包。如图4，面状目标A的凸包为A（由虚线表示），A的缺口多边形为B（由实线表示），B的凸包为B，这里称A是B的父

9、凸包，B是A的子凸包。同理，B是C的父凸包, C是B的子凸包，C是D的父凸包, D是C的子凸包。定义4 根凸包和叶凸包：面状目标本身的凸包没有父凸包，称为面状目标的根凸包；当缺口多边形本身为凸多边形时，凸包即是其本身，这种情况下没有子凸包，称其为面状目标的叶凸包。如图4，A为面状目标A的根凸包，D为面状目标A的叶凸包。基于以上定义，可以将凸包树的建立方法描述为：1）建立一个新的树结构，剖分面状目标得到其凸包（具体剖分方法据定义1），并将其存为树结构的根结点（即根凸包）；2）剖分新存为结点的凸包，得到其子凸包（具体剖分方法据定义2和3），并存为该结点的子结点；3）重复步骤2，直至新存为结点的凸包

10、没有子凸包（即叶凸包）为止。如图5，（a）为一个带孔洞的面状目标；（b）为它的层次化剖分结果；（c）为其凸包树。4凸包几何形状信息的度量4.1凸包几何形状信息描述指标的选定由几何信息的差异性本质可知，凸多边形的几何信息主要源于凸多边形的边与边之间的长度差异性、内角与内角之间的角度的差异性。依据边长和内角的差异性，可将凸多边形分为正多边形和非正多边形。如图6，（a）、（b）、（c）、（d）即为正多边形，而（e）、（f）、（g）、（h）即为非正多边形。相应地，后者边长和内角的差异性更大，即几何复杂性更大，因而几何信息含量也更大。又由几何学知识可知，对于边数为n（n为大于2的整数）的凸多边形，它具有

11、如下性质：性质1：当n=3时，在凸多边形内，大边对大角，小边对小角。性质2：凸多边形的内角中锐角的个数不能多于3个；性质3：凸多边形的内角均小于180；性质4：凸多边形的内角和为；由性质1可知，在三角形中，边长与内角成正相关，因此，边长与内角的差异性并非完全独立，若同时考虑边长与内角的差异性而计算得到的凸多边形几何信息量也会发生冗余。由性质2和3可知，随着边数n的增大，凸多边形的绝大多数内角都为大于90小于180的钝角，由性质可推知，凸多边形内角的平均值为，并且随着边数n的增大，凸多边形内角的平均值也会增大。由此推知，凸多边形内角的差异性并不大。又依据边数的不同，可将凸多边形分为三边（角）形、

12、四边形、五边形、六边形等。据人类视觉感受的经验可知，凸多边形的边数越大，则其几何信息含量越大。如图6，（a）为正三边（角）形，（b）为正四边形，（c）为正五边形，（d）为正六边形，它们的几何复杂度依次增大，几何信息量也依次增大。由于它们是正多边形而不具有边长差异性，因此，仅由边长差异性指标来描述它们的几何信息显然缺乏完备性。综合考虑以上各因素，本文选取边与边之间的长度差异性（即边长的差异性）和边数作为凸多边形几何形状信息的描述指标，以确保度量结果的完备性和独立性。4.2基于边长差异性的凸包几何形状信息现有的地图信息度量方法大多是基于Shannon34信息论中信息熵概念建立起来的，用于表征信源所

13、包含的平均信息量，可表达为： （1）式中：为第i个随机事件发生的概率，并且。许多学者认为这种信息度量方法是基于概率的，不适用于度量符号固化的地图的信息量32-33。实质上，基于信息熵的地图信息度量是以地图符号的比率代替概率来度量地图符号的差异性。凸多边形边长的差异性造成了凸多边形的几何信息量，而且凸多边形的边长差异性越大，则凸多边形的几何信息量就越大。如图7，（a）中凸多边形各个边长均相等，而（b）中凸多边形各个边长具有一定差异性，而（c）中凸多边形各个边长的差异性程度最大，因此，（a）、（b）、（c）中的凸多边形的几何信息量应该依次递增。如前所述，基于信息熵测度差异性的功能，分两步对由边长的

14、差异性造成的几何信息量进行度量： 按照边长的差异，对各个边长进行分类； 统计各个类型边长的频数，基于各个类型边长的比值计算信息熵。具体地，将边数为n的凸多边形的各个边长表达为边长序列，即：。然后，将各边长除以边长序列中最大值，进而得到边长比值序列，即：。对于第j个边长比值（），有，故将区间等间距划分为m个子区间，即，。进而，对边长比序列中的每个元素，统计它们掉入各个区间的频数，得到频数序列。于是，第i类边的数量在总边数中所占比例为： （2）显然，。根据式（1），则可将基于边长差异性的凸包几何信息量表达为： （3）其中，令，单位为bit。4.3基于边数的凸包几何形状信息凸多边形的边数越大，则其几

15、何复杂性程度越大，其蕴含的几何信息量即越大。如图8，（a）为正四边形，（b）为正六边形，（c）为正八边形，它们的边数依次增大，它们的几何信息量也依次增大。实质上，信息熵亦可以侧重度量指标值大小对信息量的影响来度量几何信息量的大小。若凸多边形的边数为n，仿式（1），则令，则有。进而，可将基于边数的凸包几何信息量表达为： （4）4.4 凸包权值的设定面状目标被描述为凸包树后，凸包的尺寸大小决定着其对面状目标几何形态的表达能力。在很大程度上，凸包的尺寸越大，则其越能表达面状目标的几何形态。实质上，大尺寸的凸包表达着面状目标的整体的大轮廓，而小尺寸的凸包则表达着面状目标的局部的小细节。如图9，（a）中

16、缺口比（b）的大，显然，（a）的几何复杂性比（b）的大，几何信息含量也更大。因此，需要依据凸包的尺寸来对凸包的几何信息量设定权值。仿文献17，本文选取第k个凸包与根凸包的面积之比为第k个凸包几何信息量的权值，即： （5）其中，为第k个凸包的面积，为根凸包面积。从而可以将面状目标的几何信息量表达为： （6）其中，V为面状目标所包含的凸包数量。5算例分析为对上述算法进行验证，本文选取华东某市1:2000、1:10000两种比例尺的居民地数据，基于Visual Studio2008的C#开发环境使用ArcEngine9.3进行二次开发来实现基于层次化凸分解的面状目标几何信息度量算法，共设计两个实验。

17、实验一通过度量单个面状目标的几何信息量并作比较分析，以验证本文算法的可行性；实验二通过度量若干个局部区域的多个面状目标的几何信息量并作比较分析，以验证本文算法的有效性。5.1 实验一实验从比例尺分别为1:2000和1:10000的居民地数据中选取了4对面状目标，如图10。其中，（a）、（c）、（e）、（g）为1:2000居民地面状目标，（b）、（d）、（f）、（h）为1:10000居民地面状目标。首先，分别对这4对面状目标作层次凸分解，进而得到剖分效果图和凸包树，如图11。然后，基于式（6）计算得到它们的几何信息量，如表1。比例尺1:2000（a）（c）（e）（g）1:10000（b）（d）（

18、f）（h）图10 在1：2000和1：10000比例尺中的4对面状目标比例尺1:2000（a）4.919（c）5.901（e）6.370（g）8.4531:10000（b）3.000（d）4.975（f）5.827（h）7.706表1 4对面状目标的几何信息度量结果从横纵向两个角度分析：针对同一地物、考虑比例尺变化作纵向比较，比例尺影响着面状目标的几何信息含量，即比例尺越大，地图中面状目标的详细程度越高，其蕴含的几何信息量应越大。如图8和9，（a）与（b）、（c）与（d）、（e）与（f）、（g）与（h）相比，前者均比后者的详细程度要高，且前者的凸包树均比后者的复杂。由表1可知，前者的几何信息量

19、均比后者大，与人眼判断结果一致。针对同一比例尺、考虑不同面状目标之间的几何形态差异性作横向比较，面状目标的几何形态复杂性影响着面状目标的几何信息含量，即几何形状越复杂，则其蕴含的几何信息量应越大。如图9和10，在1:2000数据中，（a）、（c）、（e）、（g）的几何形态复杂性依次递增，表1中它们的几何信息量也依次递增。同样地，在1:10000数据中，（b）、（d）、（f）、（h）的几何形态复杂性也依次递增，由表1知其几何信息量也依次递增。结果与人眼判断结果一致，由此验证了本文算法的可行性。5.2 实验二比例尺为1:2000的居民地数据共包含12714个面状目标，如图12。本实验对该数据中所有

20、面状目标分别作层次凸分解，进而得到其凸包树。然后，基于式（6）计算得到它们的几何信息量，并作统计分析，如表2和图13。表2 居民地数据的几何信息量统计分析结果几何信息量/bit最小值1.585最大值13.106平均值4.020中值3.000总和51110.025理论上，面状目标几何信息量的理论取值范围是1.585,+)，即面状目标为等边三角形时取最小值1.585bit，但随着目标的无限复杂几何信息量可以取无限大值。然而，作为人工地物，居民地数据中的面状目标的几何形状的复杂性有限，一般情况下不会建造出特别复杂性的地物。因此，其蕴含的几何信息量也是有限的，因此，表1显示几何信息量最大值为13.10

21、6bit，显然是与实际情况相符。同时，当几何信息量取，面状目标即为等边三角形或正方形，实际地物的几何形状不会过于复杂，同时也不会过于简单。因此，位于该取值范围内的目标仅为470个，显然也较为合理。由表1可知，统计得到的几何信息量中值为3.000bit，即为长方形的几何信息量。由图13可知，12714个目标中有7079个目标的几何信息量。由于大部分居民地地物都为长方形，或包含一些细部特征的长方形，因此，本文得出的几何信息量统计分析结果与实际情况相符。6结论与展望1面状目标的几何形状是其几何信息的载体，因此，面状目标的几何信息度量需要建立在对其几何形态结构的认知和定量表达的基础上。顾及人类视觉认知

22、的方式和特点，本文采用层次凸分解的方式将面状目标分解为一组凸包集合（即凸包树），这种定量化的几何形态认知结果与人的主观感受相符合。2基于地图信息的差异性本质，以信息熵为数学工具，考虑凸包的边数以及凸包内边与边之间的长度差异，提出面状目标几何信息的定量度量方法。为了避免几何信息度量结果的冗余并保证度量指标之间的独立性，本文对凸包几何形状描述指标的选定作了综合分析，从而实现了度量目标的明确性、度量方法的科学性、度量结果的可靠性。3通过实验分析和例证发现，本文几何信息度量算法既可以有效地区分不同比例尺、不同几何形状的面状目标，又可以与实际情况相联系，对整幅地图中面状目标的几何信息作有效分析，验证了本

23、文算法的可行性和有效性。本文的后续研究集中在两个方面： 运用本文提出的方法从几何信息的角度对一些经典综合算法进行测评，也进一步检测本文所提方法的实用性； 将本文的方法加以扩展，同时考虑几何信息、拓扑信息和专题信息等，研究一类空间目标乃至一幅地图的几何信息度量问题。参考文献1 王家耀. 我国地图制图学与地理信息工程学科发展研究J. 测绘通报, 2007, (5): 1-6.2 ZARYCKI T. On the pragmatic approach to map analysis. In: Wolodtschenko A (ed.), the Proceedings of a seminar o

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