数项级数敛散性判别方法0312140148.docx

1、数项级数敛散性判别方法0312140148华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法 （总结）专业班级 :水利港航 39 班成员组成 : 丁哲祥 1联系方式 :数项级数敛 散性判别法（总结）摘要 ：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方 法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。 我们这学期学习过的 数项级数敛散性判别法有许多， 本文对数项级数敛散性的判别方法进 行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。关键词 ：数项级数 敛散性 判别方法 总结Abstractthe mathematicaldent

2、ifying method; analysis summary数项级数的定义数项级数的定义设an是一个数列，则称表达式a i+a2+a3+an+ 为(常数项)无穷级数，简称数项级数或级数，记为 an或 an称an为级数的通项或一般项。n 1下面举几个例子：(1)1+2+3+4+5+6+n+二 n ;(2) 1-111 ( 1)n1+ =2 3 4 n(1)n1n常见的数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。交错级数：级数中的项正负相间的级数。调和级数：形如1 1 1 12 3 n1的级数。n等比级数：形如 a+aq+ad+aq3+aqn+二 aqn (a 0)的级数。P级数：形如1 1 1

3、 11p 2p 3p npJp( P是实数)。2.数项级数是否收敛的判别定理及性质：定理一.考察级数 an前n项的和S n=ai+G+a3+an= ai ,则称Sn为级数的前n项部分和， Sn为级数的部分和数列。所以，若级数 an的部分和数列 Sn收敛，即极限lim sn存在，则称n级数 an收敛，此时称极限lim Sn为级数 an的和，记为n反之，若级数的部分和数列发散，则级数发散。定理二.(级数收敛的必要条件)如果级数 an收敛，则他的一般项n 1收敛于零。推理：如果级数 an不收敛于零，则级数发散。n 1性质1.设级数 an， 0分别收敛于s和t，k是一常数，则(1)级数 kan也收敛，

4、且其和为ks。(2) 级数 an bn也收敛，且其和为s t。性质2.在级数中添加，删除或修改有限项，不改变函数的敛散性。 定理三.一切调和级数都是发散的定理四.等比级数收敛的条件n等比级数(几何级数) aq (az 0)的敛散性：当q 1时，级数收敛(2)当pW 1时，级数发散定理七.设 an与 bn是两个正项级数，若若级数 bn收敛时，且an三bn ( n=1, 2, 3,)，级数 an也收敛；当级数 bn发散时，且an三bn (n=1, 2, 3,)，级数 an也发若lim也二C,且cm0,则两个级数具有相同的敛散性。n bnlim幻二，则有级数 bn发散可推出级数 an发散。n bnl

5、im弘=0，则有级数 bn收敛可推出级数 an收敛。n bn定理九.交错积数的收敛判别法（莱布尼兹定理）：设交错级数 （1）n1an（ an0），如果an满足条件n 1（1） 数列 an为单调减少数列，（2） 数列 an的极限值趋于0.定理十.绝对收敛与条件收敛1.对于数项级数 an，如果由 an的各项加绝对值所构成的正项级数an|收敛，则称级数 an绝对收敛；如果级数 an收敛，而级数 ann 1 n 1发散，则称级数 an条件收敛。对于正项级数而言，收敛就是绝对收敛，但应注意，对于非正项级数，收敛，绝对收敛，条件收敛就是不n 1 n 1同的概念。例如，级数 LJL是条件收敛，而级数 是绝对

6、n n2收敛。所以，如果级数 an绝对收敛，则级数 an收敛。2.（比值判别法） 已知级数 an,（3）若lim加1=1，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法判别n ann 1 n 1其敛散性。例如，级数 4是条件收敛，而级数 是绝对n n2收敛。注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时， 需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有 所了解。例如：调和级数，等比级数，p级数。比较法虽然简单，但 是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自身比较。3.（根值判别法） 已知级数 an,（1） 若nim n an l1或”m倆1=，则级数发散；（3）

7、nim 1=1，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法n 1 n 1判别其敛散性。例如，级数 4是条件收敛，而级数 理一是n n绝对收敛。3.研究及其成果（以例题分析）例题二.判断调和级数的敛散性例题三.讨论p级数的敛散性例题四.交错级数的推广例题五.比较判别法的应用例题六.关于正项级数敛散性判定的一类方法的推广四、总结：在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多种方法处理。但是总有一种比较适合且简便的方法。而且不同的方法有不同的适用范围。在某些领域可能有着特别方便的应用， 但是在另一些领域内可能毫无用处。所以我们需要选择合适的方法。对于有些 题目，可能需要多种方法共同处理。 对于正项级数首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。如果通项趣于零，可根 据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。 如果不是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数定理。五 . 参考文献 ：高等数学（下册）第三版 上海交大，集美大学编万方数据第 22卷第一期 2006年2月关于正项级数敛散性判定的一类方法（周玉霞）万方数据第28卷第3期2012年6月一道数学竞赛题的相关问题（苏化明，禹春福）六. 分工情况全过程由丁哲祥单独完成