1、数项级数敛散性判别方法0312140148华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法 (总结)专业班级 :水利港航 39 班成员组成 : 丁哲祥 1联系方式 :数项级数敛 散性判别法(总结)摘要 :数项级数是逼近理论中的重要内容之一,也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方 法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。 我们这学期学习过的 数项级数敛散性判别法有许多, 本文对数项级数敛散性的判别方法进 行了分析归纳总结,得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。关键词 :数项级数 敛散性 判别方法 总结Abstractthe mathematicaldent
2、ifying method; analysis summary数项级数的定义数项级数的定义设an是一个数列,则称表达式a i+a2+a3+an+ 为(常数项)无穷级数,简称数项级数或级数,记为 an或 an称an为级数的通项或一般项。n 1下面举几个例子:(1)1+2+3+4+5+6+n+二 n ;(2) 1-111 ( 1)n1+ =2 3 4 n(1)n1n常见的数项级数正项级数:级数中所有项均大于等于零。交错级数:级数中的项正负相间的级数。调和级数:形如1 1 1 12 3 n1的级数。n等比级数:形如 a+aq+ad+aq3+aqn+二 aqn (a 0)的级数。P级数:形如1 1 1
3、 11p 2p 3p npJp( P是实数)。2.数项级数是否收敛的判别定理及性质:定理一.考察级数 an前n项的和S n=ai+G+a3+an= ai ,则称Sn为级数的前n项部分和, Sn为级数的部分和数列。所以,若级数 an的部分和数列 Sn收敛,即极限lim sn存在,则称n级数 an收敛,此时称极限lim Sn为级数 an的和,记为n反之,若级数的部分和数列发散,则级数发散。定理二.(级数收敛的必要条件)如果级数 an收敛,则他的一般项n 1收敛于零。推理:如果级数 an不收敛于零,则级数发散。n 1性质1.设级数 an, 0分别收敛于s和t,k是一常数,则(1)级数 kan也收敛,
4、且其和为ks。(2) 级数 an bn也收敛,且其和为s t。性质2.在级数中添加,删除或修改有限项,不改变函数的敛散性。 定理三.一切调和级数都是发散的定理四.等比级数收敛的条件n等比级数(几何级数) aq (az 0)的敛散性:当q 1时,级数收敛(2)当pW 1时,级数发散定理七.设 an与 bn是两个正项级数,若若级数 bn收敛时,且an三bn ( n=1, 2, 3,),级数 an也收敛;当级数 bn发散时,且an三bn (n=1, 2, 3,),级数 an也发若lim也二C,且cm0,则两个级数具有相同的敛散性。n bnlim幻二,则有级数 bn发散可推出级数 an发散。n bnl
5、im弘=0,则有级数 bn收敛可推出级数 an收敛。n bn定理九.交错积数的收敛判别法(莱布尼兹定理):设交错级数 (1)n1an( an0),如果an满足条件n 1(1) 数列 an为单调减少数列,(2) 数列 an的极限值趋于0.定理十.绝对收敛与条件收敛1.对于数项级数 an,如果由 an的各项加绝对值所构成的正项级数an|收敛,则称级数 an绝对收敛;如果级数 an收敛,而级数 ann 1 n 1发散,则称级数 an条件收敛。对于正项级数而言,收敛就是绝对收敛,但应注意,对于非正项级数,收敛,绝对收敛,条件收敛就是不n 1 n 1同的概念。例如,级数 LJL是条件收敛,而级数 是绝对
6、n n2收敛。所以,如果级数 an绝对收敛,则级数 an收敛。2.(比值判别法) 已知级数 an,(3)若lim加1=1,则级数可能收敛也可能发散,需用其他方法判别n ann 1 n 1其敛散性。例如,级数 4是条件收敛,而级数 是绝对n n2收敛。注:对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时, 需要构造一个级数,这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有 所了解。例如:调和级数,等比级数,p级数。比较法虽然简单,但 是需要构造新级数,所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自身比较。3.(根值判别法) 已知级数 an,(1) 若nim n an l1或”m倆1=,则级数发散;(3)
7、nim 1=1,则级数可能收敛也可能发散,需用其他方法n 1 n 1判别其敛散性。例如,级数 4是条件收敛,而级数 理一是n n绝对收敛。3.研究及其成果(以例题分析)例题二.判断调和级数的敛散性例题三.讨论p级数的敛散性例题四.交错级数的推广例题五.比较判别法的应用例题六.关于正项级数敛散性判定的一类方法的推广四、总结:在以上的例题中,可以看出,每一个题,可能有多种方法处理。但是总有一种比较适合且简便的方法。而且不同的方法有不同的适用范围。在某些领域可能有着特别方便的应用, 但是在另一些领域内可能毫无用处。所以我们需要选择合适的方法。对于有些 题目,可能需要多种方法共同处理。 对于正项级数首先观察其通项是否趣于零,如果通项不趣于零,则级数发散。如果通项趣于零,可根 据级数通项的特点,考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。 如果不是正项级数,可以通过加绝对值使其变为正项级数定理。五 . 参考文献 :高等数学(下册)第三版 上海交大,集美大学编万方数据第 22卷第一期 2006年2月关于正项级数敛散性判定的一类方法(周玉霞)万方数据第28卷第3期2012年6月一道数学竞赛题的相关问题(苏化明,禹春福)六. 分工情况全过程由丁哲祥单独完成
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