1、高等数学试题及答案 2 高等数学试题 一、填空题(每小题分,共分) _ 函数2 的定义域为 _ 2 _。 函数x 上点( , )处的切线方程是_。 (Xoh)(Xoh) 设(X)在Xo可导且(Xo),则 ho h _。 设曲线过(,),且其上任意点(,)的切线斜率为,则该曲线的方程是 _。 _。 4 _。 x 设(,)(),则x(,)_。 _ R R22 累次积分 (2 2 ) 化为极坐标下的累次积分为 _。 0 0 3 2 微分方程 ( )2 的阶数为_。 3 2 设级数 n发散,则级数 n _。 n=1 n=1000 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在
2、题干的( )内, 每小题分,每小题分,共分) (一)每小题分,共分 设函数() ,(),则() ( ) 0 时, 是 ( ) 无穷大量 无穷小量 有界变量 无界变量 下列说法正确的是 ( ) 若( X )在 XXo连续, 则( X )在XXo可导 若( X )在 XXo不可导,则( X )在XXo不连续 若( X )在 XXo不可微,则( X )在XXo极限不存在 若( X )在 XXo不连续,则( X )在XXo不可导 若在区间(,)内恒有(),(),则在(,) 内曲线弧()为 ( ) 上升的凸弧 下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧 设(x) (x),则 ( ) (X)(X) 为常数 (X)
3、(X) 为常数 (X)(X) () () 1 ( ) -1 方程在空间表示的图形是 ( ) 平行于面的平面 平行于轴的平面 过轴的平面 直线 设(,)3 3 2 ,则(,) ( ) (,) 2(,) 3(,) (,) 2 n 设n,且 ,则级数 n ( ) n n=1 在时收敛,时发散 在时收敛,时发散 在时收敛,时发散 在时收敛,时发散 方程 2 是 ( ) 一阶线性非齐次微分方程 齐次微分方程 可分离变量的微分方程 二阶微分方程 (二)每小题分,共分 下列函数中为偶函数的是 ( ) x 3 3 设()在(,)可导,12,则至少有一点(,)使( ) ()()()() ()()()(21) (
4、2)(1)()() (2)(1)()(21) 设(X)在 XXo 的左右导数存在且相等是(X)在 XXo 可导的 ( ) 充分必要的条件 必要非充分的条件 必要且充分的条件 既非必要又非充分的条件 设()()2 ,则(), 则() ( ) 过点(,)且切线斜率为 3 的曲线方程为 ( ) 4 4 4 4 x 2 ( ) x0 3 0 ( ) x0 22 y0 对微分方程 (,),降阶的方法是 ( ) 设,则 设,则 设,则 设,则 设幂级数 nn在o(o)收敛, 则 nn 在o( ) n=o n=o 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与n有关 设域由,2所围成,则 ( ) D 1 1 0 x _
5、 1 y 0 y _ 1 x 0 x _ 1 x 0 x 三、计算题(每小题分,共分) _ 设 求 。 () (2) 求 。 x4/3 计算 。 (x )2 t 1 设 (),(),求 。 0 t 求过点 (,),(,)的直线方程。 _ 设 x ,求 。 x asin 计算 。 0 0 求微分方程 ( )2 通解 。 将 () 展成的幂级数 。 ()() 四、应用和证明题(共分) (分)设一质量为的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度 ( 比例常数为 )求速度与时间的关系。 _ (分)借助于函数的单调性证明:当时, 。 附:高等数学(一)参考答案和评分标准 一、填空题(每小题分,共分) (,
6、) 2 2 () /2 (2) 0 0 三阶 发散 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的 ( )内,每小题分,每小题分,共分) (一)每小题分,共分 (二)每小题分,共分 三、计算题(每小题分,共分) 解:()() (分) () (分) _ () (分) () (2) 解:原式 (分) x4/3 ()()2 (分) xx 解:原式 (分) (x)2 (x) (分) x (x)2 xx (分) x x (x) (分) x 解:因为(),() (分) () 所以 (分) () 解:所求直线的方向数为, (分) 所求直线方程为 (分) _ _ 解:x +y
7、+ sinz( ) (分) _ x + y + sinz() (分) _ asin 解:原积分 2 3 (分) 0 0 0 /2 2 3d 2 (分) 0 解:两边同除以()2 得 (分) ()2 ()2 两边积分得 (分) ()2 ()2 亦即所求通解为 (分) 解:分解,得() (分) (分) n n ()n ( 且 ) (分) n=0 n=0 n ()n n ( ) (分) n=0 n+1 四、应用和证明题(共分) 解:设速度为,则满足 (分) 解方程得(-kt/m) (分) 由t=0定出,得(-kt/m) (分) _ 证:令() 则()在区间,连续 (分) 而且当时,() (分) _ 2 因此()在,单调增加 (分) 从而当时,()() (分) _ 即当时, (分)
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