二项式展开.docx

1、二项式展开二项式展开定理定理及基本概念1.(a b)n Cn0an Cn1an 1b Cnr an rbr Cnnnn(n N*) ；2.项数：一共 n 1项；3.通项： Tr 1 Cnr an rbr ；一定注意两点：1)涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式；2)注意项数与系数 r 的关系。4.二项式系数与各项系数之间的联系与区别。二、 性质1. 二项式系数的对称性： Cnr Cnn r ；2.二项式系数和： 2n ；3.奇数项二项式系数和 =偶数项二项式系数之和 =2n 1 ；4.二项式系数最大项： n1)当n是偶数时，此时项数 n 1是奇数，中间项的二项式系数 Cn2 最大；n 1

2、 n 12)当 n 是奇数时，此时项数 n 1是偶数，中间两项的二项式系数 Cn2 =Cn2 最大。5.系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。基本题型解题思路及步骤一、 利用通项公式求某项系数1.写出通项公式的时候注意：1) 所有的系数写在最前面，包括符号；2) 所有根式都写出分数次数形式；3)明白什么是有理项；4)注意 r 的取值范围。2.只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。3.有两个式子相乘：1) 分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；2) 只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项； 一定注意系数 ；3)有多个 ri 的，注意各自的取值范围和相互

3、之间的关系 。赋值求系数和1.常用的赋值是令 x 0,1, 1 ，具体要通过 所求的式子 来判断赋值；2.所有系数之和：令 x 1 ；二项式系数之和： 2n ；3.所有系数绝对值之和：令 x 1；变换原来式子里的符号，边为相加；再令 x 1 ；4.求导和积分的形式。三、 对二项式定理的理解：组合项、整除1.二项式定理的 a,b 理解：都表示一个整体；2.根据所求的问题，对前面的 a,b 进行重新组合。例题讲解求某项的系数191. 求(x 2 )9展开式中第几项为常数项，并求常数项的值。x解：直接用通项公式打开： Tr 1 C9r(x)9 r( x 2)r C9r( 1)rx9 3r ；(注意系

4、数都放一起)常数项即 x 的次数为 0，也即： 9 3r 0r 3；所以常数项为 第 4 项；且常数项为： C93 ( 1)3 842. 在二项式 ( 3 x ) 的展开式中，第四项的系数为 56 ，求 的系数。3 x x解：第四项的系数为 56： 注意：项数与展开式中 r 的取值的关系 。此时： r 3 。3 Cn3 =56，解得： n 8；3 13r 321再利用通项公式： Tr 1 C8r(x 3)8 r(x4)r C8r x 12 ；1 13r 32 1要求 1 的系数，所以： 13r 32 1 r 2 ；x 12 212故 1 前的系数为： C82 28求二项式 (3x 2展开式中常

5、数项的值。x3.40 5 r解：r 2 10 r 1 2 rTr 1 C1r0(3x2)10 r( 12 x 2)rC1r0(3)10 r( 12)rx 2 ，所以 r 8；常数项的值为： C18032( 12)8 240556。(一定严格按步骤来，注意系数的符号 )4. 求二项式 ( x 23 x)8 展开式中有理项的系数和。解：什么是有理项 xk，当 k Z 时为有理项；1 1 24 r用通项公式打开： Tr 1 C8r(x2)8 r( 2x3)r C8r( 2)r x 6 ；24 r要满足有理项，即： Z且0 r 8,r Z ，所以： r 0或r 66当 r 0时， C80( 2)0 1

6、；当 r 6时， C86( 2)6 1792 ；故：有理项的系数和为 1793。5. 求多项式 (x 1 )6( x 1)10 展开后常数项。x解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取的 r1,r2 的取值范围；(xx)1展开： C6r1(x)6 r1 (x 2)r1； ( x 1)10展开1： C1r02 ( x2 )10 r2 ( 1)r2122r2 3r1所以：(x1 )6( x 1)10 展开后： xC6r1C1r02( 1)r2 x2 ( 0 r16,0 r2 10 )所以：22r2 3r1 0 ，所以： r14, r2 10 或 r15,r2 7或 r16,r2 4 ；当 r

7、14,r210时， C64C1100( 1)1015；当 r15, r27 时， C6 C10 ( 1)720；当 r16,r24时， C66C140( 1)4210；所以常数项为： 15 210 720 495 。6. 求展开式 (1 3x)4(1 2x)3中， x2 的系数。解：(1 3x)4展开： C4r1(3x)r1；(1 2x)3展开： C3r2( 2x)r2；所以： (1 3x)4(1 2x)3展开： C4r1C3r23r1( 2)r2xr1 r2 ，其中： 0 r1 4,0 r2 3；r1 0 r1 1 r1 2所以： 1 或 1 或 1 ；r2 2 r2 1 r2 0故系数为：

8、 C40C3230( 2)2 C41C1331( 2)1 C42C3032 ( 2)0 67. 已知 (1 x x2)(x 13)n( 2 n 8)的展开式中没有常数项，则 n的值为。 x3解： (x 13)n展开： Cnr1(x)nr1(x3)r1 Cnr1xn 4r1；x由题意可知，展开式中没有常数项。则 n 4r1 0, n 4r1 1,n 4r1 2 ，所以： n 4r1,n 4r1 1,n 4r1 2 ，所以： n 5。318. 求 (x 3 )7 (2x )6中， x 1的系数。3 x x9. 求(x2 3x 1)9(x 2)5 的展开式中， x2前的系数为2 3 7 8 310.

9、 求(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)7 (x 1)8 的展开中 x3 的系数。系数最值1. 在 (a b)2n 的展开式中，二项式系数最大的项是第几项。解：展开式式中一共有： 2n 1项。所以中间项为：第 n 1项。一定要时刻注意项数与次 数的关系。2 1 n2.在 (x2 )n的展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为x解：只有第 4 项二项式系数最大，所以一共有 7 项，所以： n 6。通项公式： Tr1 C6r(x2)6 r(1)r C6r x12 3r ，常数项 r 4，所以： C64 15。x1n3.已知 ( 2x)n，若展开式中第 5，第 6

10、 与第 7 项二项式系数为等差数列，求展开式中二 2项式系数最大项的系数是多少解：通项公式为： Tr 1 Cnr(1)n r(2x)r Cnr 22r nxr ；二项式系数为等差数列，所以： 2Cn5 Cn4 Cn6，解得 n 7或 n 14；当n 7时，二项式系数最大是第 4项和第 5项，故：T4 C7326 7 35，T5 C7421 70；4 7 2 5 7 当 n 14 ，二项式系数最大是第 8 项，故： T8 C174 3432 。注意题目的问题： 是二项式系数最大项的系数 ！4. 求 (1 2x) 7 的展开式中系数最大的项解：通项公式为： Tr 1 C7r(2x)r C7r2rx

11、r ，各项系数的通项为： C7r2r则：C7r2rC7r2rr1 r 1C7 2r 1 解得： rC7r 1 25；所以系数最大项为第 6 项； T6 C7525x5 672x5 。65.求 (3 2x)6 的展开式中系数最小的项是第几项三、 赋值1n1. 若(x 3 2 )n的展开式中偶数项系数和为 256，求n的值。3 x 2解：令 x 1，得所有项的系数和 (1 1)n 0 ；故 2n 2 256 512 n 9 。注意“各项系数和”与“二项系数和”的联系与区别；注意“减号”与“加号”的联系与区别。2.1若(3xn 的展开式中所有奇数项的系数和为 1024 ，求它的中间项。解：由题可知所

12、有奇数项的系数和即为所有奇数项的二项式系数和为1024；所以：2n 2 1024 n 11，所以中间项第 6,7 项；所以：61T6 462x 4， T7 462x 15。3.在(x2)2006的二项式展开中，记含 x的奇次幂的项之和为 S，当 x 2 时，求 S解：令x2，则 (x 2 )2006 ( 2 2 ) 2006 0；令 x的偶次幂的项之和为 T ；2 ，则 ( 2 2 ) 2006 23009 ；T S 0 3008 则：T S 0 TT SS 230009 S 23008。题目如果改为： x 3 时， S的值呢还是要注意：奇次幂和偶次幂，对于 x 取相反数的时候的影响。n a

13、b4.若二项式 (3 x) n中所有项的系数和为 a ，所有项的系数的绝对值之和为 b ，则 的 ba 最小值为( B ) 解：所有项的系数和即令 x 1，所以 a 2n ；所有项绝对值的和就是要把系数是负的变成正的，令 x 1，所以： b 4n ；所以： a b 1n 2n 5 。注意 n N*。b a 2n 25.若( x 3) n展开式中各项系数绝对值之和为 1024，则展开式中 x 的一次项系数为x解：由上一题可知，尝试令 x 1 ，发现不可行，原式没有意义；发现 ( x 3)n与 ( x 3 )n展开式中各项系数的绝对值相等； xx3n( x ) 的各项系数和；x3故 ( x )n

14、的绝对值之和等价于x所以：令 x 1， 4n 1024 n 5；( x 3)n 展开的通项公式：x1 5 3rTr 1 C5r(x2)5 r( 31)r C5r( 3)r x 2 x11故 x的一次项系数为： C51( 3)1 15 。上述两个例题就是求各项系数绝对值之和的两个思想。56. (1 x 5y)5的展开式中不含 x 的项的系数和为解：不含 x 的项，可令 x 0 ；则题目等价于 (1 5 y) 5的各项系数和； 令 y 1，则 (1 5y)5 ( 4)5 1024。要消除 x ，可以令 x 0 。597. 设多项式展开： (1 x)5(3 2x)9a0(x14 131)14 a1(

15、x 1)13a13(x 1) a14 ，则a0 a1a13 ( D)A. 39B. 25 39C. 25D. 3925解：观察右边的形式：可令 x0，则a0 a1a13 a1439；此时，离目标多了一个 a14 ；再令 x 1 ，则 a1425所以： a0 a1a133925。8. 若 (1 2 x) 2009a0a1x2009a2009 x，则a12a222a200922009的值为解：观察所求的形式：1 ，则 a02a12a222a2009220090；再令 x 0 ，则 a01；所以： a1 a222 22a2009220091。9. 已知 x 是函数 f4(x)asin xcosx图象

16、的一条对称轴，(12014ax)2014i ai x ， i02014则 ai 的为i1解：由题意可知：f (0)f(2)令 x 0 ，则 a01；令 x 1 ，则 a0a20140；所以：a1a2014 1 。201310. 若 (2x 1) 2013a0 a1xa2013 x2013，则 a1 a3a2013 的值。解：发现要求的是x 的奇数次幂的系数和；令x1 ，则 a0a2013 1 ；令x1 ，则 a0a1 a 2a3 a2012a201320133；所以：a1 a3a2013201313211.4设 (2x 2)4a0a1x4 a4x求 (a0 a2 a4 )22(a1 a3)2

17、的值。解：(a0 a2 a4 )(a1a3)2(a0 a1a2 a3 a4)( a0a1a2 a3 a4 )；即：(a0 a2 a4 )(a1a3)2(2 2)4 ( 2 2)4 1612.2013若 (2x 1) 2013a0a1xa2013 x2013，则12a222 a122013a1 的值。解：发现所求的式子分母中都有a1 ，所以：a222 a1a201322013a1 a1a222a2013 )22013 )令x12 ，则： a0a1 a222 22a2013220130；令x0 ，则 a01；所以：a1 a222 22a2013 12 2013 1又 a1C22001132 2 4

18、026；所以：2 22a1a201320132 a1a1a1 2a222a2013 )2 2013 )1。4026 。8213. 已知 (1 2x) a0 a1x a2x8a8 x ，则 a1 2a28a8 ( D)A. 8B. 8C. 16D. 16解：发现求的形式，用常规的思想不好解，令 x 1 不行；令1也不行；再观察发现 ai 前面的系数，正好是对应的 x 的次数；所以两边都时求导，即：(1 2x)8 (a0 a1x a2x2a8x8) 16(12x)7a12a2x8a8x7此时，令 x 1 ，则：16a1 2a28a8。14.2014若 (2x 1) 2014a0 a1x2014a2

19、014 x ，则求2014 1i 0 i 1aii 的值。解：由上一题的解法，发现每个要求的ai 前的系数正好是对应x 的次数加 1 ；联想到可求积分，即：(2x2014 11)20144030(2x 1)2015 C1；(a0a1x2014a2014 x )a0xa1 2x2a2014 2014x2015C2；则：40130(2x 1)2015 C1a0xa1 x22a2014 2014x2015C2 ；令x1 ，则 14030a0 a1a20142015C2C1；令x10，则 40130 C2 C1 ；所以：a1a0 21a20142015 4030 2015四、 组合、整除1.已知 (1

20、 x)10 a0 a1(1 x) a10(1 x)10 ，则 a8 ( )A. 5 B. 5 C. 90 D. 180解：二项式展开 (a b)n 中的 a,b仅仅是字母的表示，可以代表一个整体；观察右边的形式，可以发现 (1 x) 应该是 a,b 中的一个；(1 x)10 ( 1 x)10 2 (1 x)10 ；所以 a8 C180( 2)2 180 。也可根据次数，直接定位出 a8 的值。2 10 102.已知 x x a0 a1(x 1) a10(x 1) ，则 a9 的值。解：由题意发现， a9 的值与 x2 无关；且 (1 x) 应该是 a,b 中的一个；所以： x10 (1 x)

21、110 ；所以 a9 C110 10 。55a4 =3. 将 f(x) (x 1) 5表示为 f(x) a0 a1(x 1) a5(x 1)5，则 a3解：由题意可知： x 1应该是 a, b中的一个；所以： (x 1)5 (x 1) 25；所以： a3 a4 4C52 2C51 30 。2 1 34. (x2 2 2)3展开式中的常数项为( C )xA. 8 B. 12 C. 20 D. 20 解法一：由展开式的原理可知：要出现常数项，要么都是常数，要么 所以： ( 2)3 C13C21( 2) 20 。解法二：把三项中的两项看成一个整体，再利用二项式展开定理进行展开； (x2 12 2)3

22、 (x2 12 ) 23，xx1所以通项为： C3r1( 2)3 r1(x2 12)r1 ；x2又 (x2 12 )r1 展开的通项为： Crr12x2r1 4r2 x11所以： (x2 12 2) 3的展开式为： C3r1 Crr12 ( 2)3 r1x2r1 4r2 (0 r1 x1r2 0 r2 1所以常数项可能的情况为： 2 或 2 ；x 的次数和为 0；3,0 r2 r1 )r1 0 r1 2故常数项为： ( 2)3C32C21( 2) 20 ；21解法三： (x2 22)31 23 16 (x ) (x ) ；x2xx故展开式的通项为：C6r(r 6 2r1) x ；所以常数项为

23、r 3 ；C63( 1)3 20 。9 4 3 25. (a b c)9 的展开式中， a4b3c2 项的系数为解：由上题解法一思想：在 9 个括号中，分别去取项；则a4b3c2的系数为： C94C53 1260 。6. 求Cn1 6Cn2 6n 1Cnn的值。(用含有 n的式子来表示)解：观察形势，发现与二项式展开的形式比较接近，但是 6 的次数不匹配；所以 C1n 6Cn2 6n 1Cnn 1 (Cn0 6Cn1 62Cn2 6nCnn 1)；n n n 6 n n n n则可发现 6肯定是 a,b 中的一个；所以：1(Cn0 6C1n 62Cn2 6nCnn 1) 7 1 ；66也即：1

24、 2 n 1 n 7 1 C n 6C n 6 C n 。67.证明： 32n 2 8n 9 能被 64 整除。解：要证明能被 64整数，希望原来的式子化简完后每个因式都能被 64 整除；结合二项式展开定理的形式，希望 a, b中的一个为 64或 64的某个因子；32 n 29n1 9(9)n 9(18)n ；则 (18)n1 C1n8 Cn2 82Cn3 882Cnn8n 282 ；所以：32n2 9(18)n 99Cn189Cn282 9Cn388 29Cnn8所以：32n2 8n9 64n9Cn2829Cn3882 9Cnn8n282；所以 32 n 28n 9能被 64 整除。n 28

25、2 ；课后练习2 1 9 9 211.求 (x2 )9展开式中 x9的系数。2x 2162. 求二项式 (2x )6 的展开式中第几项为常数项，并求出常数项的值。第四项， 202x13.若(x2 )n的展开式中，第 5项为常数项，求 n的值。 6x4.(3x 1)5 展开式中各项系数绝对值之和。2 8 35. 求 (2 x) (2 x)2 (2 x)8展开式中 x3 的系数。6.在(3x1n4 )n 展开式中，只有第6 项的二项式系数最大，则展开式中常数项为7. 已知函数 f(x)x3 2f (2)x，nf(2)，则 (x)n 展开式中常数项是C)A. 第 7 项 B. 第 8 项 C. 第

26、9 项 D. 第 10 项8.若 (2x 3)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 ，则 a1 2a2 3a3 4a4 5a5 10 10 109.已知 (1 x)10 a0 a1(1 x) a10(1 x)10 ，求 a818010. 求 Cn1 3Cn23n 1Cnnn4132511. 求 (x2 3x 2)5的展开式中 x的一次项系数。12. 求 ( x42)4的常数项。13. 设二项式 (33 x21)n 的展开式中各项系数和为p ，二项式系数和 s ，若 p s 512 ，则 n 的值为14. 求证：1 2 3 4 n 1 n n 11 2C n Cn 2C n C n 2 C n Cn 32 。15. 求 718被8除的余数。x16. 求 (21 2)5 的展开式中的常数项为x17. 求证：Cn1 2Cn2 nCnn n2n 118. 求证：Cn0 1 Cn1 1 Cn2 1 Cnn 1 (2n 1 1)2 3 n 1 n 1