小学奥数最全知识点汇总.docx

1、小学奥数最全知识点汇总小学奥数的知识点汇总1、年龄问题的三大特征年龄问题： 已知两人的年龄， 求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系 的应用题，叫做年龄问题。年龄问题的三个基本特征： 两个人的年龄差是不变的 ; 两个人的年龄 是同时增加或者同时减少的 ; 两个人的年龄的倍数是发生变化的 ;解题规律：抓住年龄差是个不变的数 （常数） ，而倍数却是每年都在变化的这 个关键。例：父亲今年 54 岁，儿子今年 18 岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的 7 倍 父子年龄的差是多少54 - 18 = 36（岁） 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍7 - 1 = 6 几年前儿子多少岁36- 6 = 6（岁） 几

2、年前父亲年龄是儿子年龄的 7 倍18-6 = 12 （年）答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的 7倍。2、归一问题特点归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量， 一般是那个“单一量”， 题 目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 复合应用题中的某些问题， 解题时需先根据已知条件， 求出一个单位量的数值， 如单位面积的产量、 单位时 间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的 条件和问题求出结果。 这样的应用题就叫做归一问题， 这种解题方法叫做“归一 法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答， 这种

3、 方法叫做倍比法。由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值， 再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义， 抓准题中数量的对应关系， 列出算式， 求得问题的解决。3、植树问题总结植树问题基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树基本公式： 棵数=段数+1棵距X段数二总长棵数=段数-1棵距X段数二总长棵数=段数棵距X段数二总长 关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系4、鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、 假设问题， 就是把假设错的那部 分置换

4、出来 ;基本思路：1假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：2假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少 ；3每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因 ；4再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：1把所有鸡假设成兔子：鸡数 =（兔脚数X总头数-总脚数）十（兔脚数-鸡脚2把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数X总头数）十（兔脚数一鸡脚 数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。5、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种 标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的 关系求对象分组的组数或

5、对象的总量 .基本思路：先将两种分配方案进行比较， 分析由于标准的差异造成结果的变 化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量 .基本题型：1一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数=（余数+不足数）宁两次每份数的差2当两次都有余数 ；基本公式：总份数=（较大余数一较小余数）宁两次每份数的差3当两次都不足 ；基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）宁两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。6、牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“ 1”份，根据两次不同的吃法，求出 其中的总草量的差 ；再找出造成这种差异的原因，即

6、可确定草的生长速度和总草 量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的 ； 关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间X长时间牛头数-较短时间X短时间牛头数）十（长时间- 短时间 ）；总草量=较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量；7、平均数问题平均数基本公式：平均数=总数量*总份数总数量=平均数X总份数总份数=总数量十平均数平均数=基准数+每一个数与基准数差的和宁总份数基本算法：1求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算 .2基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数 ；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数 ; 以基准数为标准，求所有给出数与基准数的 差；再求出

7、所有差的和 ；再求出这些差的平均数 ；最后求这个差的平均数和基准数 的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式8、 周期循环数周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有 366 天；1年份能被 4 整除； 如果年份能被 100整除，则年份必须能被 400 整除； 平 年：一年有 365 天。1年份不能被 4 整除； 如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；9、 抽屉原理抽屉原则一：如果把 (n+1) 个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至 少放有 2 个物

8、体。例：把 4个物体放在 3个抽屉里， 也就是把 4 分解成三个整数的和， 那么就 有以下四种情况：14=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式， 我们会发现一个共同特点： 总有那么一个抽屉 里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm那么必有一个抽 屉至少有 :1k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时。2k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点： X 表示不超过 X 的最大整数。例=4;=0;=2;关键问题： 构造物体和抽屉。 也就是找到代表物体和抽屉的量

9、， 而后依据抽 屉原则进行运算。10、定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本 （ 混 合）运算。基本思路： 严格按照新定义的运算规则， 把已知的数代入， 转化为加减乘除 的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。11 、数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就 叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示; 项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示; 公差

10、：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示; 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示; 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn表示.基本思路：等差数列中涉及五个量： a1 ,an, d, n, sn, 通项公式中涉及四 个量，如果己知其中三个，就可求出第四个 ; 求和公式中涉及四个量，如果己知 其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式： an = a1+（n-1）d;通项二首项+（项数一 1） x公差；数列和公式：sn，二（a1+ an） x n* 2;数列和=（首项+末项）x项数* 2;项数公式：n= (an+ a1)宁d+1;项数=(末项-首项)十公差+1;公差公

11、式：d =(an- a1)宁(n -1);公差=(末项-首项)-(项数-1);关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式 ;12 、二进制及其应用十进制：用09十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的 含 义 ， 十 位 上的 2 表 示 20， 百 位 上的 2 表 示 200。 所 以 234=200+30+4=2 102+3X 10+4。=AnX 10n-1+A n-1 x 10n-2+A n-2X 10n-3+A n-3X 10n-4+A n-4X 10n-5+A n-6X 10n-7+A3X 102+A2X 101+A1X 100注意：”0=11=“其中N是任意自然数)

12、二进制：用 01 两个数字表示，逢 2 进 1; 不同数位上的数字表示不同的含 义。(2)=AnX2n-1+An-1X2n-2+An-2X2n-3+An-3X 2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7+A3X 22+A2X 21+A1X 20注意： An 不是 0 就是 1 。十进制化成二进制：1根据二进制满 2进 1 的特点，用 2连续去除这个数，直到商为 0，然后把 每次所得的余数按自下而上依次写出即可。2先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。13、加法原理加法乘法原理和几何计

13、数加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有： m1+ m 2 + m n 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n个步骤进行，做第1步有ml种方 法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法 不管前面n-1步用哪 种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：mix m2 x mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或

14、空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点 ; 没有长度。1数线段规律：总数=1+2+3+(点数一 1);2数角规律=1+2+3+(射线数一 1);3数长方形规律：个数=长的线段数x宽的线段数：4数长方形规律：个数=1x 1+2X 2+3X 3+行数x列数14、质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫 做素数。合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数

15、是某个数的约数， 那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数： 把一个数用质数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。 通常 用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且 a1求约数个数的公式：P=(r1+1) x (r2+1) x (r3+1) x x (rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数15、约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数 ; 其中最大的一个，叫 做这几个数的最大公约数。

16、最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数 m所得的积的最大公约数等于这几个数的最 大公约数乘以 m。例如： 12的约数有 1、 2、 3、 4、 6、 12;18 的约数有： 1、 2、 3、 6、 9、 18;那么 12 和 18 的公约数有： 1、 2、 3、 6;那么 12 和 18 最大的公约数是： 6，记作 （12 ，18）=6; 求最大公约数基本方法：1、 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、 短除法

17、：先找公有的约数，然后相乘。3、 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是 所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数 ; 其中最小的一个，叫 做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作12， 18=36; 最小公倍数的性质：1、 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、 两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法： 1、短除法求最小公倍数 ;2 、分解质因数的

18、方法16、数的整除一、基本概念和符号：1、 整除：如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没 有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。2、 常用符号：整除符号“ |”，不能整除符号“”；因为符号“t”，所以 的符号“”；二、 整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被 2、5整除。2.能被 4、25整除：末两位的数字所组成的数能被 4、25整除。3.能被 8、125整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125整除。4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除。5.能被 7 整除：1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7

19、 整除。2逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。6.能被 11 整除：1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11整除。2奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。3逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11整除。7.能被 13 整除：1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13整除。2逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13整除。三、 整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，

20、b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。17、余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a* b=q r，且0余数的性质：1余数小于除数。2若 a、 b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a 。3a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除 以 c 的余数。4a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以 c 的余数。18、余数问题余数、同余与周期一、 同余的定义：1若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。2已知三个整数a、b、m,如果m|a-b，就

21、称a、b对于模m同余，记作a= b(mod m),读作a同余于b模m。二、 同余的性质：1自身性：a= a(mod m);2对称性：若 a= b(mod m)，贝U b= a(mod m);3传递性：若 a= b(mod m)，b= c(mod m)，贝U a= c(mod m);4和差性：若 a= b(mod m)，c= d(mod m)，J则 a+c= b+d(mod m)，a-c=b-d(modm);5相乘性：若 a= b(mod m)，c= d(mod m)，贝U ax c= b x d(mod m);6乘方性：若 a= b(mod m)，贝U an三 bn(mod m);7同倍性：若

22、 a= b(mod m)，整数 c，贝U ax c= b x c(mod mx c);三、 关于乘方的预备知识：1若 A=ax b,贝U MA=Mxb=(Ma)b2若 B=c+d则 MB=Mc+d=MfcMd四、 被 3、 9、 11 除后的余数特征：一个自然数M, n表示M的各个数位上数字的和，则 Mn(mod 9)或(mod 3);2一个自然数MX表示M的各个奇数位上数字的和，丫表示M的各个偶数 数位上数字的和，则 MY-X或11-（X-Y）（mod 11）;五、费尔马小定理：如果p是质数（素数）,a是自然数，且a不能被p整除, 则即-1三 1（mod p）。19、分数与百分数的应用基本概

23、念与性质：分数：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数 （0 除外），分数的 大小不变。分数单位：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：1逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。2对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。3转化思维方法： 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见的是 转换成比例和转换成倍数关系 ; 把不同的标准 （在分数中一般指的是一倍量 ）下的 分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍

24、量。4假设思维方法： 为了解题的方便， 可以把题目中不相等的量假设成相等或 者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。5量不变思维方法： 在变化的各个量当中， 总有一个量是不变的， 不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况： A、分量发生变化，总量不变。B总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化， 但分量之间的差量不变化。6替换思维方法： 用一种量代替另一种量， 从而使数量关系单一化、 量率关 系明朗化。7同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。8浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。20、分数大小的比较

25、分数大小的比较基本方法：通分分子法： 使所有分数的分子相同， 根据同分子分数大小和分母的关系 比较。通分分母法： 使所有分数的分母相同， 根据同分母分数大小和分子的关系 比较。3基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。4分子和分母大小比较法： 当分子和分母的差一定时， 分子或分母越大的分 数值越大。5倍率比较法： 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小， 除了运用以 上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。 ( 具体运用见同倍率变化 规律)6转化比较方法：把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。7倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1进行比较。8大小比较

26、法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0比较。9倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。10基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。21、 完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是： 0、1 、4、5、6、9; 反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1; 反之不成立。3.除以 4 余 0 或余 1; 反之不成立。4.约数个数为奇数 ; 反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数 ; 反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数 ; 偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式： X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式： (X

27、+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式： (X-Y)2=X2-2XY+Y222、 比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。 比号前面的数叫比的前项， 比号后面的数 叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数 （ 零除外 ） ，比值不变。 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。 a:b=c:d 或 比例的性质：两个外项积等于两个内项积 （交叉相乘 ） ，ad=bc。正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A 与 B 成正比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A 与 B 成反比。

28、比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。23、综合行程问题综合行程 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程 三者之间的关系 .基本公式：路程=速度X时间；路程十时间二速度;路程十速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和X相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间=路程差十速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）X顺水时间逆水行程=（船速-水速）X逆水时间顺水速度 =船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）*2水 速=（顺水速度-逆水速

29、度）*2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 主要方法：画线段图法基本题型：已知路程 （相遇路程、追及路程 ） 、时间（相遇时间、追及时间 ） 、 速度（ 速度和、速度差 ）中任意两个量，求第三个量。24、工程问题基本公式：1工作总量=工作效率X工作时间2工作效率=工作总量十工作时间3工作时间=工作总量十工作效率基本思路：1假设工作总量为“ 1”（ 和总工作量无关 ）;2假设一个方便的数为工作总量 （ 一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数 ），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间 .关键问题：确定工

30、作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评：合久必分，分久必合。25、逻辑推理问题逻辑推理基本方法简介：条件分析假设法： 假设可能情况中的一种成立， 然后按照这个假设去判 断，如果有与题设条件矛盾的情况， 说明该假设情况是不成立的， 那么与他的相 反情况是成立的。例如，假设 a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。2条件分析列表法： 当题设条件比较多， 需要多次假设才能完成时， 就需 要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格 中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻 辑规律进行判断。3条件分析图表法： 当

31、两个对象之间只有两种关系时， 就可用连线表示 两个对象之间的关系， 有连线则表示“是， 有”等肯定的状态， 没有连线则表示 否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识， 没有表示不认识。4逻辑计算： 在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外， 还要进行相 应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。5简单归纳与推理： 根据题目提供的特征和数据， 分析其中存在的规律和方 法，并从特殊情况推广到一般情况， 并递推出相关的关系式， 从而得到问题的解 决。26、几何面积 基本思路： 在一些面积的计算上， 不能直接运用公式的情况下， 一般需要对图形进行割 补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形 进行计算 ; 另外需要掌握和记忆一些常