数学与应用数学专业目 录.docx

1、数学与应用数学专业目 录数学与应用数学专业目 录数学分析I、II、III 开课院系：数学系课程编号：1、3、5课程英文名称：Mathematical Analysis课程总学时：85+85+68 总学分：5+5+4含实验或实践学时：0 学 分：0推荐使用教材：数学分析 编 者：陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中出版社：高等教育出版社 出版时间及版次：1983年7月第2版（2001年重印）课程教学目标与基本要求：数学分析是应用数学专业和计算数学专业的一门重要基础课，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生（利用数学工具）进行独立工作的能力提供必需的训练。学生学好这门课程的基本内容和方

2、法，对今后的学习具有关键性的作用。通过本课程的教学，要求学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。本课程的教学分为三个学期进行，在第二、三学期尝试双语教学，将专业英语融合到专业课教学中。考试形式：闭卷笔试80%，平时考查20%。各章节授课内容（细化到章、节、目）、教学目标、授课模式（指传统讲授、讨论、多媒体教学等）、学时分配：授课内容教学目标授课模式学时分配第一章 变量与函数1函数的概念一、变量 二、函数 三、 函数的一些几何特性2复合函数和反函数一、复合函数 二、反函数3基本初等函数1在广度和深度上认识理解函

3、数,包括：函数的概念，函数常用的表示法，函数的几何特性，函数的运算。掌握初等函数以及一些重要的非初等函数。传统讲授数学实验讲授2学时+习题课2学时第二章 极限与连续数列的极限和无穷大量一、数列极限的定义二、数列极限的性质三、数列极限的运算四、单调有界数列五、无穷大量的定义六、无穷大量的性质和运算函数的极限一、函数在一点的极限二、函数极限的性质和运算三、单侧极限四、函数在无限远处的极限五、函数值趋于无穷大的情形六、两个常用的不等式和两个重要的极限连续函数 一、连续的定义二、连续函数的性质和运算三、初等函数的连续性四、不连续点的类型五、闭区间上连续函数的性质（暂不证明）无穷小量和无穷大量的阶理解定

4、义的内涵，能应用其证明数列极限。熟练数列极限的性质、运算法则、数列极限存在的条件（单调有界定理、Cauchy收敛准则）。掌握一些常见的数列极限。正确理解24种函数极限的概念，几何意义，并能熟练运用 、语言形式讨论问题。掌握函数极限的性质、运算，重点熟练归结原则（即函数极限与数列极限的关系）。熟练两个常用的不等式和两个重要的极限，能应用其证题。深入理解连续函数局部性质及整体性质。 掌握连续函数的运算定理及初等函数的连续性。 了解间断点及间断点的类型。熟悉无穷小量和无穷大量阶的比较。传统讲授讲授18学时+习题课学时6第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明1关于实数的基本定理一、子列

5、 二、上（下）确界 三、区间套定理四、BolzanoWeierstrass致密性定理五、Cauchy收敛原理六、Borel有限覆盖定理闭区间上连续函数性质的证明 一、有界性定理二、最大（小）值定理三、零点存在定理四、反函数连续性定理五、Cantor一致连续性定理深刻理解描述实数集连续性的六个基本定理，将其作为分析论证实数理论部分的工具，反复应用，熟练掌握。掌握闭区间上连续函数性质的证明，能够应用这些定理证明相关问题。传统讲授讲授8学时+习题课4学时 第四章 导数与微分导数的引进与定义一、导数的引进二、导数的定义及几何意义简单函数的导数一、常数的导数二、三角函数的导数三、对数函数的导数四、幂函数

6、的导数求导法则一、导数的四则运算二、反函数的导数复合函数求导法微分及其运算一、微分的定义二、微分的运算法则6隐函数及参数方程所表示函数的求导法一、隐函数求导法二、参数方程所表示函数的求导法7不可导的函数举例高阶导数与高阶微分一、高阶导数及其运算法则二、高阶微分正确理解导数、微分、高阶导数、高阶微分的概念。掌握导数、微分的来源背景、几何意义、应用。了解一阶微分形式的不变性以及高阶微分的Leibniz公式；高度熟练、准确计算各类函数的导数。掌握一元函数连续、可导、可微分三者之间的关系。 传统讲授讲授12学时+习题课4学时第五章 微分学的基本定理及其应用中值定理一、费尔马（Fermat）定理二、拉格

7、朗日（Lagrange）定理2Taylor公式一、利用导数作近似计算二、泰勒（Taylor）公式3函数的升降、凸性与极值 一、函数的上升与下降二、函数的极大值与极小值三、函数的最大值与最小值四、函数的凸性4平面曲线的曲率一、什么是曲线的曲率二、曲线的弧长三、曲率的计算待定型一、 及待定型二、其他待定型*方程的近似解熟练掌握中值定理（Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理）及几何意义。掌握应用Taylor展式作近似计算、误差估计以及计算某些极限或证明相关问题。3掌握利用导数研究函数的性质，讨论函数性态的步骤，会作函数的图像。4了解平面曲线曲率的求法、几何意义。5熟练求

8、待定型的LHospita法则。6了解求方程近似解的程序以及 “牛顿切线法”的思想。 传统讲授数学实验讲授4学时+讲讲授12学时+习题课4学时第六章 不定积分不定积分的概念及运算法则一、不定积分的定义二、不定积分的基本公式三、不定积分的运算法则不定积分的计算 一、“凑”微分法二、换元积分法三、分部积分法四、有理函数积分法五、其他类型的积分举例掌握求不定积分的基本方法（第一及第二换元法，分部积分法，有理函数积分法，某些无理函数及三角函数的积分法）。2了解不定积分作为求导运算的逆运算所带来的一些新思想和结论。传统讲授数学实验讲讲授6学时+习题课2学时第七章 定积分定积分的概念 定积分存在的条件一、定

9、积分存在的充分必要条件 二、可积函数类定积分的性质定积分的计算 一、定积分计算的基本公式 二、定积分的换元公式 三、定积分的分部积分公式四、杂例 五、椭圆积分了解定积分的来源背景、深刻理解定积分的意义。掌握判别函数可积的两个充分必要条件。熟悉可积函数类。掌握定积分的计算（NL公式，换元积分法，分部积分法）。传统讲授讲授12学时+讲授12学时+习题课4学时第八章 定积分的应用和近似计算平面图形的面积2曲线的弧长3体积4旋转曲面的面积5质心6平均值、功 一、平均值 二、功*定积分的近似计算理解微元法的思想，并能应用微元法或定积分的定义将某些几何、物理方面的实际问题化为定积分解决。熟练应用定积分计算

10、各种问题的公式。了解定积分近似计算的思想及几个简单计算公式的推导。传统讲授数学实验讲授8学时+习讲授8学时+习题课2学时第九章 数项级数1预备知识：上极限和下极限2级数的收敛性及其基本性质 正项级数任意项级数一、绝对收敛级数二、交错级数三、Abel判别法和Dirichlet判别法5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质*无穷乘积了解数列上、下极限的来源背景，掌握数列上、下极限的基本性质。熟练数项级数的概念及定义此概念的思想方法，掌握收敛级数的基本性质并会应用这些性质去分析解决相关的问题。3掌握判断正项级数敛散性的方法以及判断变号级数绝对收敛和条件收敛方法。传统讲授数学实验讲授12学时+习题课4学时第

11、十章 广义积分无穷限的广义积分一、无穷限广义积分的概念二、无穷限广义积分和数项级数的关系三、无穷限广义积分的收敛性判别法四、Abel判别法和Dirichlet判别法无界函数的广义积分一、无界函数广义积分的概念，Cauchy判别法 *二、Abel判别法和Dirichlet判别法了解无穷限广义积分的性质，注意它与数项级数的相同点以及不同于数项级数的特点。掌握判断无穷限广义积分敛散的方法（包括判断广义积分的绝对收敛性和条件收敛性）。掌握判断无界函数广义积分敛散性的方法以及两类广义积分的计算方法。传统讲授讲授10学时+习题课4学时第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数的一致收敛一、函数项级数的概念二、

12、一致收敛的定义三、一致收敛级数的性质四、一致收敛级数的判别法幂级数一、收敛半径二、幂级数的性质三、函数的幂级数展开Weierstrass逼近定理理解一致收敛在函数项级数及函数列的分析性质中的作用。掌握函数项级数及函数列的一致收敛的概念、性质、判别法。掌握计算幂级数收敛半径和确定收敛域的方法。理解CauchyHadamard定理，Abel第一、第二定理的思想。掌握幂级数的性质和应用。掌握初等函数的幂级数展开方法（直接展法和间接展法）。了解逼近定理的思想和应用。 传统讲授数学实验讲授10学时+习题课4学时第十二章 Fourier级数和*Fourier变换Fourier级数一、Fourier级数的引

13、进 二、三角函数系的正交性三、Fourier系数四、Dirichlet积分 五、Riemann引理六、Dini判别法及其推论*七、Dirichlet-Jordan判别法八、Fourier级数的一致收敛性九、函数的Fourier级数展开十、周期为的函数展开十一、Fourier级数的复数形式*十二、Fourier级数的逐项求积和逐项求导*Fourier变换一、Fourier变换的概念二、Fourier变换的一些性质1了解和掌握Fourier级数以及Fourier系数的一些重要性质。2掌握Riemann引理和Dini判别法的一些应用。3收敛定理是一个基础定理，它给出了函数能展成Fourier级数的充

14、分条件。理解它的意义，掌握它的证明方法。4会将若干简单函数按照要求展成特定形状的Fourier级数。5了解Fourier级数逐项求导及逐项求积的条件，并初步具有应用这些理论和方法论证问题的能力。*6了解Fourier变换的思想。传统讲授讲授10学时+习题课2学时第十三章 多元函数的极限与连续平面点集一、邻域、点列的极限二、开集，闭集、区域三、平面点集的几个基本定理多元函数的极限和连续性一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性四、有界闭区域上连续函数的性质五、二重极限和二次极限熟悉平面点集的有关概念，掌握描述平面点集连续性的矩形套定理、有限覆盖定理、Bolzano-Weierst

15、rass聚点定理、Cauchy收敛准则及其证明。掌握二元函数的概念，分清二重极限和二次极限的区别和联系。掌握二元函数极限的计算方法。掌握二元函数连续性的定义和连续函数的性质，并能应用它们证明一些理论问题。传统讲授讲授6学时+习题课2学时第十四章 偏导数和全微分偏导数和全微分的概念一、偏导数的定义二、全微分的定义三、高阶偏导数与高阶全微分 求复合函数偏导数的链式法则3由方程（组）所确定的函数的求导法一、一个方程的情形二、方程组的情形4空间曲线的切线与法平面5曲面的切平面与法线6方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度Taylor公式熟练掌握偏导数的定义以及求偏导数，特别是求多元复合函数的偏导数的链

16、式法则以及隐函数的求导法。理解全微分的概念及其意义，以及会利用一阶全微分形式的不变性计算偏导数和全微分。掌握二元函数连续、可微分、偏导数存在之间的关系。会求空间曲线的切线与法平面方程以及空间曲面的切平面与法线方程。掌握方向导数和梯度的概念、计算公式以及它们之间的关系。掌握二元函数Taylor公式（定理的条件和结论）以及二元函数的微分中值定理。传统讲授数学实验讲授10学时+习题课4学时第十五章 极值和条件极值极值和最小二乘法一、极值 二、最小二乘法条件极值熟练掌握多元函数取得极值的必要条件和充分条件，掌握求极值和最值的方法。掌握多元函数取得条件极值的必要条件和充分条件的证明方法，并会用Lagra

17、nge乘数法求条件极值。能将实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。传统讲授数学实验讲授6学时+习题课2学时第十六章 隐函数存在定理、函数相关隐函数存在定理一、情形二、多变量及方程组情形 函数行列式的性质、函数相关一、函数行列式的性质*二、函数相关掌握隐函数存在定理的条件、结论和证明定理的方法。了解函数行列式的性质，了解函数相关或独立的概念及判别函数相关或独立的条件。传统讲授讲授2学时第十七章 含参变量的积分1掌握含参变量的（常义）积分的分析性质。会利用对参变量的求导法和交换积分顺序的方法计算一些定积分。传统讲授讲授2学时+习题课2学时第十八章 含参变量的广义积分 一、一致收敛的定义

18、二、一致收敛积分的判别法 三、一致收敛积分的性质 四、Euler积分 *五、Abel判别法、Dirichlet判别法1理解一致收敛的概念在含参变量广义积分的分析性质中所起的作用。掌握含参变量广义积分一致收敛的判别法和一致收敛的含参变量广义积分的性质。3会利用参变量广义积分的性质和Euler积分计算某些广义积分。传统讲授讲授4学时+习题课2学时第十九章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念积分的性质 理解关于积分概念推广的各种情形，特别是它们的实际背景。 掌握多重Riemann积分的概念和一些基本性质。传统讲授讲授2学时

19、第二十章 重积分的计算及应用二重积分的计算一、化二重积分为二次积分二、用极坐标计算二重积分三、二重积分的一般变量变换三重积分的计算一、化三重积分为三次积分二、三重积分的变量替换 积分在物理上的应用一、质心 二、矩 三、引力*广义重积分熟练掌握化二重积分为二次积分的方法，能够根据积分域和被积函数的特点进行适当的变量替换，特别是极坐标替换。熟练掌握化三重积分为三次积分的方法，能够根据积分域和被积函数的特点进行适当的变量替换，特别是柱面坐标变换，球面坐标变换。掌握积分在物理上的各种应用（如：计算质心坐标、转动惯量、引力等）。传统讲授数学实验讲授8学时+习题课4学时第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算

20、第一类曲线积分2 第一类曲面积分一、曲面的面积二、化第一类曲面积分为二重积分第二类曲线积分一、变力作功与第二类曲线积分的定义二、第二类曲线积分的计算三、两类曲线积分的联系第二类曲面积分一、曲面的侧的概念二、第二类曲面积分的定义三、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算掌握两类曲线积分的概念、性质及其物理意义。能够熟练计算用不同形式给出的曲线方程的两类曲线积分。掌握两类曲面积分的概念、性质及其物理意义。能够熟练计算用不同形式给出的曲面方程的两类曲面积分。了解两类曲线积分的联系以及两类曲面积分的联系。传统讲授数学实验数学实验讲授8学时+习题课2学时第二十二章 各种积分间的联系和场论初步各种积分间

21、的联系一、Green公式 二、Gauss公式三、Stokes公式曲线积分和路径的无关性场论初步 一、场的概念 二、向量场的散度与旋度 *三、保守场 *四、算子理解各种积分间的联系的三个公式。会应用Green公式计算曲线积分，用Gauss公式、Stokes公式计算曲面积分。会应用曲线积分和路径的无关性的条件（四个等价命题）计算或论证某些问题。了解场论的初步知识。了解二阶微分运算。传统讲授数学实验讲授8学时+习题课2学时学习参考书： 1 张筑生数学分析新讲北京大学出版社1991年9月第1版2 华东师范大学数学系数学分析高等教育出版社1980年9月第1版3 刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义高等教育出版社1

22、992年6月第3版4 Walter Rudin(美).PRINCIPLES OF MATHMATICAL ANALYSIS，机械工业出版社2004年1月(英文版)第3版5 Patrick M. Fitzpatrick(美)ADVANCED CALCULUS-A COURSE IN MATHEMATICAL ANALYSIS机械工业出版社2003年5月(英文版)第1版编写工作小结(课程各教学环节的变化情况、创新点)：1.在传统讲授的基础上，增加了20学时的数学实验课程。2.方程的近似解，定积分的近似计算及Fourier变换等内容，因后继课程要详细讲解，本课程可以不讲授。其它如无穷乘积部分等加*号

23、的内容，如学时较紧，可以不讲。3.将部分内容（例如：隐函数存在定理；场论初步等内容）改为教师指导、学生自学，开展讨论及撰写小论文的新形式，打破传统的单一教学模式，鼓励学生自学，全面提高学生的素质，在今后本课程的教学中，此方面的工作仍需要重点地深入探讨。高等代数I、II 开课院系：数学系课程编号：7、9课程英文名称：Advanced Algebra I、II课程总学时：68+68 总学分：4+4含实验或实践学时：0+0学分：0+0推荐使用教材：高等代数 编 者：北京大学出版社：高等教育出版社 出版时间及版次：2003年7月第3版课程教学目标与基本要求：本大纲主要内容分为两大部分，多项式理论和线性

24、代数；线性代数又大致可分为两部分，其一是以算法为主的行列式、线性方程及矩阵的理论，其二是空间论，主要包括线性空间、线性变换、标准形、欧几里德空间等。多项式理论是中学有关内容的推广，是培养数学意识的最早、最合适的材料之一，这一点在教学中要充分给予体现，而不要简单地认为是线性代数等数学课的预备知识。矩阵和约当标准形的推导是很漂亮的理论，要求从理解数学的完美、培养数学素质的角度去掌握基本内容。通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析

25、问题解决问题的能力。本课程共讲授两个学期，计划总学时数为136。考试形式：闭卷笔试。授课内容（细化到章、节、目）教学目标授课模式（指传统讲授、讨论、多媒体教学等）学时分配第一章 多项式 1数域2一元多项式 3整除的概念4最大公因式5因式分解定理6重因式7多项式函数8. 复系数和实系数多项式的因式分解9. 有理系数多项式10. 多元多项式11. 对称多项式掌握数域的定义, 整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。传统讲授17第二章 行列式

26、1引言2排列3级行列式4行列式的性质5. 行列式的计算6. 行列式按一行（列）展开7. Cramer法则8. Laplace定理，行列式的乘法法则熟练掌握行列式的性质,计算。掌握运用克莱姆法则求解线性方程组的方法。传统讲授14第三章 线性方程组1消元法2维向量空间3线性相关性4矩阵的秩5线性方程组有解判别6线性方程组解的结构熟练掌握线性方程组的解法, 会用基础解系表示解集。传统讲授13第四章 矩阵1矩阵概念的一些背景2矩阵的运算3矩阵乘积的行列式和秩4矩阵的逆5矩阵的分块6. 初等矩阵7. 分块乘法的初等变换及应用举例熟练掌握矩阵的运算，逆矩阵的求法。 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、

27、乘法的运算及性质。传统讲授13第五章 二次型1二次型及其矩阵表示2标准形3唯一性问题4正定二次型熟练掌握二次型化标准形的方法。掌握正定二次型的等价条件。传统讲授9第六章 线性空间1集合，映射2线性空间的定义与性质3维数，基，坐标4. 基变换与坐标变换5. 线性子空间6. 子空间的交与和7. 直和8. 线性空间的同构正确理解和掌握线性空间的定义及性质, 理解线性子空间的定义及判别定理, 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。传统讲授16第七章 线性变换1线性变换的定义2线性变换的运算3线性变换的矩阵4特征值与特征向量5. 对角矩阵6.

28、线性变换的值域和核7. 不变子空间8. 若当标准形介绍9. 最小多项式理解和掌握线性变换的定义及性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度空间的关系。传统讲授19第八章 矩阵1矩阵2矩阵的标准形3不变因子4. 矩阵相似的条件5. 初等因子6. 若当标准形的理论推导7. 矩阵的有理标准形掌握矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。传统讲授14第九章 欧几里德空间1.定义与基本性质2.标准正交基3.同构4.正交变换5.子空间6.对称阵的标准形7.向量到子空间的距离，最小二乘法8.酉空间介绍深刻理解欧氏空间的定义及性质，掌握正交变换的概念及等价