1、高考数学大一轮复习第九章平面解析几何99圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题教师用书【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题教师用书1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程:ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0,可考虑一元二次方程的判别式,有0直线与圆锥曲线相交;0直线与圆锥曲线相切;b0)表示的曲线大致是()答案D解析将方程a2x2b2y21变形为1,ab0,b0,0,即3m3时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭
2、圆C有两个不重合的公共点(2)当0,即m3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0,即m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化
3、为判别式与0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中,直线l:yt(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y22px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由解(1)由已知得M(0,t),P,又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为yx,代入y22px整理得px22t2x0,解得x10,x2,因此H.所以N为OH的中点,即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点,理由如下:直线MH的方程为ytx,即x(yt)代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直线MH与C只有一个公共点,
4、所以除H以外直线MH与C没有其它公共点题型二弦长问题例2(2016全国甲卷)已知A是椭圆E:1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|AN|时,求AMN的面积(2)当2|AM|AN|时,证明:k0,由|AM|AN|及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(2,0),因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0,解得y0或y,所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)证明将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入1得(34k2)x216k2x16k2120,由x1(2)得x1,故|AM|x12|.由题设,直线AN的方程为y(x2),
5、故同理可得|AN|.由2|AM|AN|,得,即4k36k23k80,设f(t)4t36t23t8,则k是f(t)的零点,f(t)12t212t33(2t1)20,所以f(t)在(0,)上单调递增,又f()15260,因此f(t)在(0,)有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以kb0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列(1)求E的离心率;(2)设点P(0,1)满足|PA|PB|,求E的方程解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|a,l的方程为yxc,其中c.设A(x1,y1)
6、,B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组消去y,化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0,则x1x2,x1x2.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|x2x1|,即a,故a22b2,所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知x0,y0x0c.由|PA|PB|,得kPN1,即1,得c3,从而a3,b3.故椭圆E的方程为1.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知(4,2)是直线
7、l被椭圆1所截得的线段的中点,则l的方程是_答案(1)D(2)x2y80解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1,1),所以直线AB的方程为y(x3),代入椭圆方程1消去y,得x2a2xa2a2b20,所以AB的中点的横坐标为1,即a22b2,又a2b2c2,所以bc3,a3,选D.(2)设直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则1,且1,两式相减得.又x1x28,y1y24,所以,故直线l的方程为y2(x4),即x2y80.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015浙江)已知椭圆y21上两个不同的点A,B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最
8、大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为yxb.由消去y,得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点,所以2b220,将AB中点M代入直线方程ymx,解得b由得m或m.(2)令t,则|AB|.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t),所以S(t)|AB|d .当且仅当t2时,等号成立故AOB面积的最大值为.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1x2,y1y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥
9、曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意:如果点A,B关于直线l对称,则l垂直直线AB且A,B的中点在直线l上的应用已知双曲线x21上存在两点M,N关于直线yxm对称,且MN的中点在抛物线y218x上,则实数m的值为_答案0或8解析设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1),显然x1x2.3,即kMN3,M,N关于直线yxm对称,kMN1,y03x0.又y0x0m,P,代入抛物线方程得m218,解得m0或8,经检验都符合.1(2016泰安模
10、拟)斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A2,) B(2,)C(1,) D(,)答案B解析要使直线与双曲线恒有两个公共点,则渐近线的斜率的绝对值应大于,所以|,e 2,即e(2,),故选B.2(2016青岛模拟)已知抛物线y22px(p0)与直线axy40相交于A,B两点,其中A点的坐标是(1,2)如果抛物线的焦点为F,那么|FA|FB|等于()A5 B6 C3 D7答案D解析把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y22px与直线方程axy40,得p2,a2,由消去y,得x25x40,则xAxB5.由抛物线定义得|FA|FB|xAxBp7,故选D.3(2016丽水
11、一模)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.答案C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为yxt,由消去y,得5x28tx4(t21)0,则x1x2t,x1x2.|AB|x1x2|,当t0时,|AB|max.4(2016天津模拟)直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2 C1或2 D0答案A解析因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行,所以它与双曲线只有1个交点,故选A.5设双曲线1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.答案D解析双曲线1的
12、一条渐近线为yx,由方程组消去y,得x2x10有唯一解,所以()240,2,e .6过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x2的距离之和等于5,则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案D解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x1,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则A,B到直线x1的距离之和为x1x22.设直线方程为xmy1,代入抛物线y24x,则y24(my1),即y24my40,x1x2m(y1y2)24m22.x1x224m244.A,B到直线x2的距离之和为x1x22265.满足题意的直线不存
13、在7已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为_答案6解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x24,那么|AF|BF|x1x22,又|AF|BF|AB|AB|6,当AB过焦点F时取得最大值6.8过椭圆1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故1,1,两式相减得0.又P是A,B的中点,x1x26,y1y22,kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.9已知F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左,右焦点,A是其上顶点,且AF1F2是
14、等腰直角三角形,延长AF2与椭圆C交于另一点B,若AF1B的面积为6,则椭圆C的方程为_答案1解析因为AF1F2为等腰直角三角形,所以bc,ac,设|BF2|x,则由椭圆的定义可知|BF1|2cx,在BF1F2中,由余弦定理可知(2cx)2x24c22x2ccos,解得x,所以2cc2ccsin6,解得c2,所以b2,a29,则椭圆的方程为1.10已知双曲线C:x21,直线y2xm与双曲线C的右支交于A,B两点(A在B的上方),且与y轴交于点M,则的取值范围为_答案(1,74)解析由可得x24mxm230,由题意得方程在1,)上有两个不相等的实根,设f(x)x24mxm23,则得m1,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x11得,的取值范围为(1,74)11(2016郑州模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2y24x2y0的圆心(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程解(1)圆C方程化为(x2)2(y)26,圆心C(2,),半径r.设椭圆的方程为1(ab0),则所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得到椭圆的左,右焦点分别是F1(2,0),F2(2,0),|F2C|0.y1y2,y1y2. |AB|.将代入上式得|AB| ,|m|1,SAOB|AB|11,当且仅当|m|,即m时,等号成立(SAOB)max1.
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