习题四解答.docx

1、习题四解答习题四解答1求下列级数的收敛半径。(1) n(2)(3)n!nzo n(1)(2)(3)R 1/lim1limannannan 1anlimn0 2n2n 1TT2limnlimnan 1anan 1limL n 1/ n 1 !n!nim 7lim nnn! n 1nim7TVRlimnn1ennz2n n在收敛圆内一致收敛。因收敛半径丄n，而级数敛。R limnanan 112lim nn 1n 1 2，故其收敛圆为。又因 z z|z| 1 ,121 n收敛，由教科书中的定理4.1.6，级数 n 1nz在收敛圆z 1内一致收3.下列结论是否正确？为什么?（1）(2)(3)每一个在

2、Zo连续的函数一定可以在 Zo的邻域内展开成Taylor 级数。n解（1）不对。如n0 在收敛圆z 1内收敛，但在收敛圆周（2）不对。如一个幕级数的收敛半径为零 ，则其和函数并非解析函数z 1上并不收敛;z在全平面上连续但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor级数。an z4.幕级数n 0n2能否在z 0收敛而在z 3发散?解不能。因如an z 2 nn 0 在z 0收敛，则由Abel定理其收敛半径 Rn r nanz Rean z5.如果n 0 的收敛半径为R，证明级数n 0 的收敛半径nRe an zn 0 在|z| R内绝对收敛，于是其收敛半径 R。126.我们知道，函数1 x当x

3、为任何实数时，都有确定的值，但它的 Taylor展11 z2在解幕级数的收敛半径为其和函数的各奇点到其中心的最短距离，而函数|z| 1上有奇点z1i，故 1 z21 z2 z4之右边幕级数的收敛半径为R |i 0| 1，又只能在z 1,1时成立即乙 1 z2 z4因为此级数在z 1处发散，故在实数范围内1 z11 x21 x2只当|x| 1时成立。7.把下列各函数展成 z的幕级数,11(1)13z ;(2)彳2 21 z -(3)sin11 z(6)123解由11 z zz(1)z1 “36z13 1 zz并指出它们的收敛半径。2 z2 2cosz ； (4) shz; (5) e sin z

4、,|z|1 ,，故9“ n 3nz1 z|z| 1? 1 1 ?而收敛半径R=1 ;(2) 因又因而 R =1 ； cosz(3)因故而其收敛半径shz(4)因而收敛半径z e(5)因而收敛半径sin(6)因 1 z1r_zn 2n1 z2zz|z|z|z2z4!12zz66!cosz2zz-,e4 z2!ez2sinshz6 z3!sin zz2，z2z23z44z6|z| 1 ,8 z12 z6!: 3z,1! 3!23zz2!3!33zz3!5!16510zz3!5!46zz2!3!6 z，|z31cos-zz1，|z|z，|Z|z，|z|z|，|z|sinz42 z2.z2 z2 z2

5、!4 z2!|z|6z3!10 z5!zcos1sin 1 z 1 z,|z| 1,sin-11 z 3!sinsin1sin 1zcos 1 z1 !z22cos1 z而收敛半径R=1 。&求下列函数在指定点(1)Zoz3|z|cos1cos11 sin12Zo处的(2)-cos16sin1，|z| 1Taylor展开式,并指出它们的收敛半径Z0 2（3）解(1)Z因(4)13zzo,|z|于是收敛半径R=2。(2)因|z1|z2| 321z21722原式 422222nn11z21=2n022n3n 0nn1亠 n1n 02?n1z2n 03n 1n111只2n1 an 1zn 023故而

6、R 3。1 z 21 -3 32z 223n n1 z 23nz 2 n|z 2| 3(3)|z1|而 R=1。(4)因n1,|z 1| 11 1 4 3z 4 3z 1 i 3 3i11 3i 3z 1 i1 3i 13z1 3i1 3i1 3i其中1 3i14 3z3nn 0 13i|z 11 3i3.103Laurent 级数。且收敛半径9.把下列各函数在指定的圆环域内展开成1(1)2 z1 z2，1 |z|2 1(2)z12 z0|z| 1,0|z 1| 1 ；z 11,0|z 1|1,1 |z 2|(3)z21(4)1 z e1|z|sin11(5)z，0 |z 1|解 （1 ）因1

7、 2 1z 1 5 _5_2 2 2(z 1)(z 2) z 1 z 1 z 2 故(2)(z21)( z2)102n5 z22n102n5 z4在0 |z| 1内,2n 15 z3z12zZ? (n 1)102n103z204080|z| 2 ；|z1|内,z1(3)|z1|(z 1)(z 2)|z2|(z1)(z2)(4)|z|内,e1z32!z2z33!z2z32! z23! z34! z4sin zz2n(5),|z |1 sin1 Z n 02n 1! 12nTZ其中1.2.nanZ设幕级数n 0的收敛半径R0,r R,Mr 0ma2x | f re |12n 1 ! z和函数为由T

8、aylor系数公式及复积分计算公式知ann 0 n!1 oi |z|an |求证如下不等式。(1)(2)对任意的复数z有ez(1 )因e|z|i reJ|e inr|d0,12e|z|z|e|z|故对任一复数(2)因时,1；|zN1|7|z|1|z|e|z2 z2!3 z3!n zn!|z|z|2!|z|232!Lzfn!|z|nn 1 !证明:iree0 |z 1|,n 0,1,2,。indn- d r2n 1z /1/ zzze 1z1 2!3!n!1z ee|z|12!|z|z|e|z|.故当|z| 1时，有11 -2!1n!又因故由以上三个不等式即得f z3.设内的简单闭曲线。Z1z

9、e丄 12! 3!1n!1 1 12! 3! n!1 1 1 12 2 3 4111，其中C为任一条包含原点且落在圆周： z a在 z a内，故f ZLz2 in!0n!又因2an 0 n!anf z;dzi,4nan 0;1,2,4.试求下列函数在给定点的(1)Zo(3)zln 1 e(5)ln z,z0解（1由于_za|z|1,2,Taylor展开式。(2)sin1e1z22!n!|a|2z,zf 00!ZoZ2!1 2nn!5 2!2n 1z2n 1 n!2n 1 z2n1 n!|z|(2)sin 2z z2sin112sin 1cos zcos1sin zsin 1n 02 2 nn

10、z 11 -2n !cos1n 02 2n 1 z 12n 1 !sin 1 nn 02 2 n z 1(2n)!sin 1 nn 02 2n 1z 12 (2n 1)!sin 12n22n2n !sin2n 122 2n 1z 12n 1 !sin 1n 0n2sin1nn02(3)因2In 1zzz2故3zln 12zz z2从而345z In 1 z1 z2 zzze23413452 zzzz+ 3!234n 0厂, z 13 4 51 2 z z z2! 2 3 432 nz 1n!35nzzn 11z，z 134n45n 1zzn 1z1,|z| 134n(4)因2 1 35 43

11、51 z zzz264 |z| 1 ；3z_3|z| 1In 1|z|(5)令lnz，则因此f n in!In z11 z12(6)令 f1e&求导得得微分方程1!z1,2,Inilni;in!n 1,2,|zi|,显然z=1是的奇点，1z e1 z所以它可在|z|1内展为z的Taylor级数,将上述微分方程逐次求导，得2z求得f 0 e, f 01e1 z e 1 z 从而4z2f ze, f 0 3e, f3 2 13 3z z 2! 3!5.试求下列函数在给定圆环域内的(1)z , 0 |zi|z|(2)(3)(4)13e,Laurent 级数。(z 2)(z2z 57213 ,zz 2

12、zezz2 11)|z| 2,z|z| ,|z| 1;(5)In|z|(6)cotz|z|z|(2)(1)显然|z|2z故原式内,z2n2n12n2n在 2 |z|2n2n故原式z2n2 |z|其中22n(3)zz 22n22n2,2n0 |z2|2；ze2(4) zz 11 2 z 2!13 14z z3 4!13z42413240 |z| 1(5) z 2InIn 1In 1丄z2丄zzzz2i z2z2z z12 212k2z23z2i z12.k i2k 112k 11n ni arctan 2 z2n 0an22 I arctan 丄2k2a1k0 2k1 2k 1n 2l1,2,n

13、 2l(6)cotz ,0 |z|cotzcosz sin zI z Ize e2I z iz e e2iI z eFz eI 2z .ei I 2ze2iT2F ezcot z I z2ziT2ze 12IB2k2k !2I2kB2k1 2k !2k2i zcot z22nB2n 2nz2n !|z|这里应用了展开式zez 1B2n2n,1 z |这里Bn, n 0,1,2,称为 Bernoulli它们满足(1)Bo 1, Cn 1B0Cn 1B1Cn 1B2n Cn 1Bn(2)B2l 10,1 1,2,3,cotz从而cotz,|z|2n2n2n2n 1 z2n 1 z2m 1 z2m2m 1z2mk2n2m 1Z-2m1 k2n2n2 B2n2n !3 cotz z2n2n 1 z1n A2n2 2n 12n z|z| 2每一个幕级数收敛于一个解析函数；