九年级数学上第二十一章一元二次方程教案人教版.docx

1、九年级数学上第二十一章一元二次方程教案人教版2017年九年级数学上第二十一章一元二次方程教案（人教版）第二十一章一元二次方程 211一元二次方程 1通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念 2了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别 活动1复习旧知 1什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2下列哪些

2、方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式 (1)2x1(2)mxn0(3)1x10(4)x21 3下列哪个实数是方程2x13的解？并给出方程的解的概念 A0B1C2D3 活动2探究新知 根据题意列方程 1教材第2页问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程 2教材第2页问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？

3、一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？ (3)归纳一元二次方程的概念 1一元二次方程：只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的_方程，叫做一元二次方程 2一元二次方程的一般形式是ax2bx

4、c0(a0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 提出问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？ (2)为什么要限制a0，b，c可以为0吗？ (3)2x2x10的一次项系数是1吗？为什么？ 3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根) 活动4例题与练习 例1在下列方程中，属于一元二次方程的是_ (1)4x281；(2)2x213y；(3)1x21x2； (4)2x22x(x7)0. 总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未

5、知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程 例2教材第3页例题 例3以2为根的一元二次方程是() Ax22x10 Bx2x20 Cx2x20 Dx2x20 总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等 练习： 1若(a1)x23ax10是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是_ 2将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)4x281；(2)(3x2)(x1)8x教材第4页练习第2题 4若4是关于x的一元二次方程2x27xk0的一个根，则k的值为_

6、 答案：1.a1；2.略；3.略；4.k4. 活动5课堂小结与作业布置 课堂小结 我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？ 作业布置 教材第4页习题21.1第17题.21.2解一元二次方程 212.1配方法(3课时) 第1课时直接开平方法 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2c0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(exf)2c0型的一元二次方程 重点 运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程，领会降次转化的数学思想 难点 通过根据平方

7、根的意义解形如x2n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1：填空 (1)x28x_(x_)2；(2)9x212x_(3x_)2；(3)x2px_(x_)2. 解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(p2)2p2. 问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知 上面我们已经讲了x29，根据平方根的意义，直接开平方得x3，如果x换元为2t1，即(2t1)29，能否也用直接开平方的方法

8、求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把2t1变为上面的x，那么2t13 即2t13，2t13 方程的两根为t11，t22 例1解方程：(1)x24x41(2)x26x92 分析：(1)x24x4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x2)21. (2)由已知，得：(x3)22 直接开平方，得：x32 即x32，x32 所以，方程的两根x132，x232 解：略 例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是1010x10(1x)；二年后人均住房面积就应该是10(

9、1x)10(1x)x10(1x)2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10(1x)2(1x)2直接开平方，得1x1.2 即1x1.2，1x1.2 所以，方程的两根是x10.220%，x22.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x22.2应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为20%. (学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、巩固练习 教材第6页练习 四、课堂小结 本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2p(p0)的方程，那么xp转化为应用直接开平方法

10、解形如(mxn)2p(p0)的方程，那么mxnp，达到降次转化之目的若p0则方程无解 五、作业布置 教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题 通过复习可直接化成x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤 重点 讲清直接降次有困难，如x26x160的一元二次方程的解题步骤 难点 将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧 一、复习引入 (学生活动)请同学们解下列方程： (1)3x215(2)4(x1)290(3)4x216

11、x169(4)4x216x7 老师点评：上面的方程都能化成x2p或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得 xp或mxnp(p0) 如：4x216x16(2x4)2，你能把4x216x7化成(2x4)29吗？ 二、探索新知 列出下面问题的方程并回答： (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？ 问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？ (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征 (2)不能 既然不能直接降次解方程，那么

12、，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x26x160移项x26x16 两边加(6/2)2使左边配成x22bxb2的形式x26x32169 左边写成平方形式(x3)225降次x35即x35或x35 解一次方程x12，x28 可以验证：x12，x28都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 例1用配方法解下列关于x的方程： (1)x28x10(2)x22x120 分析：(1)显然方程的左边不是一

13、个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上 解：略 三、巩固练习 教材第9页练习1，2.(1)(2) 四、课堂小结 本节课应掌握： 左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程 五、作业布置 教材第17页复习巩固2，3.(1)(2)第3课时配方法的灵活运用 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目 重点 讲清配方法的解题步骤 难点 对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次

14、项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解 一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)x24x70(2)2x28x10 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题 解：略(2)与(1)有何关联？ 二、探索新知 讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(xp)2q的

15、形式，如果q0，方程的根是xpq；如果q0，方程无实根 例1解下列方程： (1)2x213x(2)3x26x40(3)(1x)22(1x)40 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式 解：略 三、巩固练习 教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6) 四、课堂小结 本节课应掌握： 1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤 2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到 五、作业布置 教材第17页复习巩固

16、3.(3)(4) 补充：(1)已知x2y2z22x4y6z140，求xyz的值 (2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2y22x4y16的值总是正数.21.2.2公式法 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2bxc0(a0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程 重点 求根公式的推导和公式法的应用 难点 一元二次方程求根公式的推导 一、复习引入 1前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 (1)x24(2)(x2)27 提问1这种解法的(理论)依据是什么？ 提问2这

17、种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程) 2面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式) (学生活动)用配方法解方程2x237x (老师点评)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评) (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(xp)2q的形式，如果q0，方程的根是xpq；如果q0，方程无实根 二、探索新知 用配方法解方程： (1)ax27x30

18、(2)ax2bx30 如果这个一元二次方程是一般形式ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问题：已知ax2bxc0(a0)，试推导它的两个根x1bb24ac2a，x2bb24ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2bxc 二次项系数化为1，得x2baxca 配方，得：x2bax(b2a)2ca(b2a)2 即(xb2a)2b24ac4a2 4a20，当b24ac0时，b24ac4a20 (xb2a)

19、2(b24ac2a)2 直接开平方，得：xb2ab24ac2a 即xbb24ac2a x1bb24ac2a，x2bb24ac2a 由上可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2bxc0，当b24ac0时，将a，b，c代入式子xbb24ac2a就得到方程的根 (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解 (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例1用公式法解下列方程： (1)2x2x10(2)x21.53x (3)x22x120(4)4x

20、23x20 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 补：(5)(x2)(3x5)0 三、巩固练习 教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6) 四、课堂小结 本节课应掌握： (1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念； (3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0；2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b24ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果 (4)初步了解一元二次方程根的情况 五、作业布置 教材第17页习题4，5.21.2.3因式

21、分解法 掌握用因式分解法解一元二次方程 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题 重点 用因式分解法解一元二次方程 难点 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便 一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)2x2x0(用配方法)(2)3x26x0(用公式法) 老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解 二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题 (老师提问)(1)上面两个方

22、程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？ (学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解 因此，上面两个方程都可以写成： (1)x(2x1)0(2)3x(x2)0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x0或2x10，所以x10，x212. (2)3x0或x20，所以x10，x22.(以上解法是如何实现降次的？) 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法 例1解方程： (1)10x4.9x20

23、(2)x(x2)x20(3)5x22x14x22x34(4)(x1)2(32x)2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略(方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是() A(x3)(x5)102，x310，x52，x113，x27 B(25x)(5x2)20，(5x2)(5x3)0，x125，x2(x2)24x0，x12，x22 Dx2x，两边同除以x，得x1 三、巩固练习 教材第14页练习1，2. 四、课堂小结 本节课要掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用 (2)因式分解法要使方程一边

24、为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 五、作业布置 教材第17页习题6，8，10，11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用 2培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力 3渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律 4培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神 重点 根与系数的关系及其推导 难点 正确理解根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系 一、复习引入 1已知方程x2ax3a0的一个根是6，则求a及另一个根的值 2由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关

25、系其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？ 3由求根公式可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1bb24ac2a，x2bb24ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是bb24ac与bb24ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？ 二、探索新知 解下列方程，并填写表格： 方程x1x2x1x2x1x2 x22x0 x23x40 x25x60 观察上面的表格，你能得到什么结论？ (1)关于x的方程x2pxq0(p，q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？ (2)关于x的方程ax2bxc0(a0)的两根x1，x

26、2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？ 解下列方程，并填写表格： 方程x1x2x1x2x1x2 2x27x40 3x22x50 5x217x60 小结：根与系数关系： (1)关于x的方程x2pxq0(p，q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1x2p，x1x2q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零) (2)形如ax2bxc0(a0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论 即：对于方程ax2bxc0(a0) a0，x2baxca0 x1x2ba，x1x2ca (可以利用求根公式给出证明) 例1不解方程，写出下列方程的两根

27、和与两根积： (1)x23x10(2)2x23x50 (3)13x22x0 (4)2x26x3 (5)x210 (6)x22x10 例2不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x222x10 (x121，x221) (2)2x23x80 (x17734，x25734) 例3已知一元二次方程的两个根是1和2，请你写出一个符合条件的方程(你有几种方法？) 例4已知方程2x2kx90的一个根是3，求另一根及k的值 变式一：已知方程x22kx90的两根互为相反数，求k； 变式二：已知方程2x25xk0的两根互为倒数，求k. 三、课堂小结 1根与系数的关系 2根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零 四、作业布置 1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积 (1)x25x30(2)9x2x2(3)6x23x2