插值拟合与MATLAB编程.docx

1、插值拟合与MATLAB编程插值、拟合与MATLAB编程相关知识在生产和科学实验中，自变量与因变量间的函数关系有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。在MATLAB中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理

2、。一、插 值1、一维插值：已知离散点上的数据集，即已知在点集X=上的函数值Y=，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出处的值。xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method可以下列方法之一：nearest：最近邻点插值，直接完成计算； spline：三次样条函数插值；linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算； cubic：三次函数插值；对于minxi,maxxi外的值，MATLAB使用外推

3、的方法计算数值。例1：已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为：75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，计算出1995年的产量，用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。解：程序如下year=1900:10:2010;product=75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226

4、.505, 249.633, 256.344, 267.893p1995=interp1(year,product,1995) x=1900:2010;y=interp1(year,product,x,cubic);plot(year,product,o,x,y);计算结果为：p1995=252.9885。2、二维插值已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲面）通过这些点，并能够求出这些已知点以外的点的函数值，这一过程称为二维插值。MATLAB函数：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)该命令用指定的算法找出一个二元函数，然后以给出处的

5、值。返回数据矩阵，Xi，Yi是向量，且必须单调，和meshgrid(Xi,Yi)是同类型的。method可以下列方法之一：nearest：最近邻点插值，直接完成计算； spline：三次样条函数插值；linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算； cubic：三次函数插值；例2：已知1950年到1990年间每隔10年，服务年限从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下：表：某企业工作人员的月平均工资（元）服务年限年份1020301950150.697169.592187.6521960179.323195.072250.2871970203.212239.092322.7671980226

6、.505273.706426.7301990249.633370.281598.243试计算1975年时，15年工龄的工作人员平均工资。解：程序如下：years=1950:10:1990;service=10:10:30;wage=150.697 169.592 187.652 179.323 195.072 250.287 203.212 239.092 322.767 226.505 273.706 426.730249.633 370.281 598.243;mesh(service,years,wage) %绘原始数据图w=interp2(service,years,wage,15,1

7、975); %求点(15,1975)处的值计算结果为：235.6288例3：设有数据x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x,y构成的网格上，数据为：12,10,11,11,13,1516,22,28,35,27,2018,21,26,32,28,2520,25,30,33,32,20求通过这些点的插值曲面。解：程序为：x=1:6;y=1:4;t=12,10,11,11,13,15 16,22,28,35,27,20 18,21,26,32,28,25; 20,25,30,33,32,20subplot(1,2,1)mesh(x,y,t)x1=1:0.1:6;y1=1:0.1:4

8、;x2,y2=meshgrid(x1,y1);t1=interp2(x,y,t,x2,y2,cubic);subplot(1,2,2)mesh(x1,y1,t1);结果如右图。作业：已知某处山区地形选点测量坐标数据为：x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 8

9、2 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 9

10、8 99 97 96 98 94 92 871、 画出原始数据图;2、 画出加密后的地貌图，并在图中标出原始数据。二、拟合曲线拟合已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值，这一过程称为曲线拟合。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数使得最小。MATLAB函数：p=polyfit(x,y,n) p,s= polyfit(x,y,n) 说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)多项式曲线求值函数：poly

11、val( ) 调用格式： y=polyval(p,x) y,DELTA=polyval(p,x,s) 说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。y,DELTA=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。例5：求如下给定数据的拟合曲线，x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0，y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60。解：MATLAB程序如下：x=0.5,1.0,1.5,

12、2.0,2.5,3.0;y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60;p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,*r,x1,y1,-b)计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560此结果表示拟合函数为：，用此函数拟合数据的效果如图所示。例2：由离散数据x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.41.61.9.6.4.81.52拟合出多项式。程序： x=0:.1:1; y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2 n=3; p=polyfit(x,

13、y,n) xi=linspace(0,1,100); z=polyval(p,xi); %多项式求值 plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b) legend(原始数据,3阶曲线) 结果： p =16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035多项式为：16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035曲线拟合图形： 也可由函数给出数据。例3：x=1:20,y=x+3*sin(x)程序： x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,6) xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi); %pl

14、ot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b) 结果： p =0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304再用10阶多项式拟合程序：x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,10) xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi); plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b) 结果：p =Columns 1 through 7 0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360Columns 8 through 11 -42.0861 88.5907 -92.8155 40.267可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。作业：1已知x=0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1，y=1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5，利用其中的部分数据，分别用线性函数插值，3次函数插值，求x=2.0处的值。2已知二元函数在点集上的值为，其中，左