立体几何中的最值与动态问题.docx

1、立体几何中的最值与动态问题立体几何中的最值问题立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。一、运用变量的相对性求最值2例 1. 在正四棱锥 S-ABCD 中，SO平面 ABCD 于 O，SO=2，底面边长为 ，点 P、Q 分别在线段 BD、SC 上移动，则 P、Q 两点的最短距离为（ ）52 5A. B.5 5C. 2 D. 1解析：如图 1，由于点 P、Q 分别在线段 BD、SC 上移动，先让点 P 在 BD 上固定，Q 在 SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。过 O 作 OQSC，在 R

2、tSOC 中， OQ =中。又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动2 55到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为，也就是异面直线 BD 和 SC 的公垂线段的长。故选 B。2 55图 1二、定性分析法求最值例 2. 已知平面/平面，AB 和 CD 是夹在平面、之间的两条线段。ABCD，AB=3，直线 AB 与平面成 30角，则线段 CD 的长的最小值为 。3解析：如图 2，过点 B 作平面的垂线，垂足为 O，连结 AO，则BAO=30。过 B 作 BE/CD 交平面 于 E，则 BE=CD。连结 AE，因为 ABCD，故 ABBE。则在 RtABE 中，BE=ABtanBAEABtan

3、BAO=3tan30=。故CD 3 。图 2三、展成平面求最值例 3. 如图 3-1，四面体 A-BCD 的各面都是锐角三角形，且 AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S，则四边形 PQRS 的周长的最小值是（ ）A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c图 3-1解析：如图 3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且 AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A 与 A、D 与 D在四面体中是同一点，且 AD / BC / A D ， AB / CD，A、C、A共线，D、B、D共线，

4、AA = DD = 2BD 。又四边形 PQRS 在展开图中变为折线 SPQRS，S与 S 在四面体中是同一点。因而当 P、Q、R 在 SS 上时， S P + PQ + QR + RS 最小，也就是四边形 PQRS 周长最小。又 S A = SA，所以最小值 L = SS = DD = 2BD = 2b 。故选 B。图 3-2四、利用向量求最值例 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-EFGH 中，P 是 AF 上的动点，则 GP+PB 的最小值为 。解析：以 A 为坐标原点，分别以 AB、AD、AE 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图 4 所示的空间直角坐标 系，则 B（1，0，0），

5、G（1，1，1）。根据题意设 P（x，0，x），则 BP = (x - 1，0，x) ，GP = (x - 1，- 1，x - 1) ，那么图 42x 2 - 4x + 32x 2 - 2x + 1GP + PB = +(x - 1) + 0 -222 2 1 2 x - + 0 - 1 22 2 2+ = 式子 2 +(x - 1) + 0 -222 2 1 2 x - + 0 - 1 22 2 1 1 可以看成 x 轴正半轴上一点（x，0，0）到xAy 平面上两点 1， ，0 、 ， ，0 的距离之和，其最小值为。所以 GP+PB 的最小值为 2 2 2 21 +222 + 2 = 。1

6、+22立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例 1. 正三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.AM 2 + AN 212 + (2 +1)2解析： (1)从侧面到 N，如图 1，沿棱柱的侧棱 AA1 剪开，并展开，则 MN 10(2)从底面到 N 点，沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开，如图 2.AM 2 + AN 2 - 2 AM AN cos12012 + ( 3)2 + 2 1 3 124 + 3则 MN 4 + 3104 + 3 MN min .例 2.如图

7、，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N在 BF 上移动，若 CM=BN= a (0 a 2).（1）求 MN 的长；（2）当 a 为何值时，MN 的长最小； （3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。解析：（1）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得 MPNQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, AC = BF =CP a BQ2=, ,1 2 1a= , 即2CP =

8、 BQ = a , 2(1 - CP) 2 + BQ 222(1 - a )2 + ( a )2 MN = PQ = = (a -2 )2 + 1 (0 a 2)2 2（2）由（1）知:当a =2时，MN =22，即M , N分别移动到AC, BF的中点时2MN 2的长最小，最小值为2(3)取 MN 的中点 G，连接 AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN，AGB 即为二面角的平面角。又 AG = BG =定理有6，所以由余弦4C D( 6 ) 2 + ( 6 ) 2 - 1= arccos(- 1)G MB P AHNcos= 4 4 = - 1 。故所求二面角3。 E F2

9、 6 6 34 4例 3. 如图，边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所成的角为(0 N 在 BF 上，若 AM=FN ,(1)求证:MN/面 BCE ; (2)求证:MN AB;(3)求 MN 的最小值.) 。点 M 在 AC 上，点2解析：(1)如图,作 MG/AB 交 BC 于 G, NH/AB 交 BE 于 H, MP/BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG/NH,且MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形,所以 MN/GH , 故 MN/面 BCE ;(2)易证 AB 面 MNP, 故 MN AB ;(3) MPN 即为面 ABCD 与 ABEF

10、 所成二面角的平面角,即 MPN = ,设 AP=x , 则 BP=ax , P=ax , 所以： MN = x 2 + (a - x)2 - 2x(a - x) cos2(1 + cos)(x - a )2 + 1 (1 - cos)a 22 2= ，故当 x = a 时，有最小值2(1 - cos)a 12CMBPNF例 4.如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=x ,BN=y, D(0 x, y 2).（1）求 MN 的长(用 x,y 表示)；（2）求 MN 长的 E最小值，该

11、最小值是否是异面直线 AC，BF 之间的距离。 A2解析：在面 ABCD 中作 MP AB 于 P，连 PN，则 MP 面 ABEF，所以 MP PN，PB=1-AP= x 在 PBN22中，由余弦定理得：PN2= (2x)2+ y 2 + -2xy cos 450MP 2 + PN 2(1 - 2 x)2 + 1 x 2 + y 2 - xy22= 1 x 2 + y 2 - xy ，在 RtPMN 中，MN= =2x 2 + y 2 - xy - 2x + 1= (0 x, y 2).；x 2 + y 2 - xy - 2x + 1（2）MN =，故当 x = 22 ， y = 23 3(

12、 y - x )2 + 3 (x - 22 4 32 )2 + 13时，MN 有最小值。且该最小值是异面直线 AC，BF 之间的距离。33例 5. 如图，在ABC 中，ACB90，BCa,ACb,D 是斜边 AB 上的点，以 CD 为棱把它折成直二面角 ACDB 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?解析： 设ACD，则BCD90-，作 AMCD 于 M，BNCD 于 N，于是 AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因为 ACDB 是直二面角，AMCD，BNCD，AM 与 BN 成 90的角，于是 ABb2 sin 2 + a 2 cos2 + (a sin- b

13、cos)2 a 2 + b2 - ab sin 2 a2 + b2 - ab .当45即 CD 是ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为a2 + b2 - ab .例 6. 正三棱锥 A-BCD，底面边长为 a，侧棱为 2a，过点 B 作与侧棱 AC、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱 AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图 1，当周长最小时，EF 在直线 BB上，ABEBAF，AEAF，ACAD，BBCD，123，BEBCa，同理 BFBDa.

14、FDBADB，DFDBDB DF，AB aa 1 ,2a 21DF23a,AF23a.又AEFACD，BBa+411a+a4a,截面三角形11的周长的最小值为 a.4(2)如图 2，BEF 等腰，取 EF 中点 G，连 BG，则 BGEF.BG aBE 2 - EG 2a 2 - (3 a)285581S 1EFBG3553 55a aa2.2BEF2 4 8 64(3)VA-BCDVB-ACD，而三棱锥 BAEF，三棱锥 BACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比， 即V B- AEFVB-CAD S AEFS ACDEF 2 9 CD 2 16评析 把曲面上的最短路线问题

15、利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.二、面积最值问题例 7. 如图 1 所示，边长 AC3，BC4，AB5 的三角形简易遮阳棚，其 A、B 是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成 30角，试问：遮阳棚 ABC 与地面成多大角度时，才能保证所遮影面 ABD 面积最大?解析： 易知，ABC 为直角三角形，由 C 点引 AB 的垂线，垂足为 Q，则应有 DQ 为 CQ 在地面上的斜射影，且AB

16、 垂直于平面 CQD，如图 2 所示.12因太阳光与地面成 30角，所以CDQ30，又知在CQD 中，CQ5，由正弦定理，有CQsin 30QDsin QCD6即 QD5sinQCD.为使面 ABD 的面积最大，需 QD 最大，这只有当QCD90时才可达到，从而CQD 60. 故当遮阳棚 ABC 与地面成 60角时，才能保证所遮影面 ABD 面积最大.例 8. 在三棱锥 ABCD 中，ABC 和BCD 都是边长为 a 的正三角形，二面角 ABCD，问为何值时，三棱锥的全面积最大。34解析：S S a2 为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于 S与 S 的大小，由于ABDACD，BACBCDABD

17、1ACD所以只求 SACD 何时面积取最大值即可。SACD2asinACD，所以当ACD90时面积最大，问题得解。解 如图，取 BC 中点 M，连 AM、DM，ABC 和BCD 都是正三角形，AMD 是二面角 A-BC-D 的平面角，2AMD，又ABDACD，且当ACD90时，ACD 和ABD 面积最大，此时 AD1a，在AMD 中，由余弦定理 cosAMD- ，31当-arccos3时，三棱锥 A-BCD 的全面积最大。点评 本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求ACD 面积的最大值，间接求得角。例 9、一个圆锥轴截面的顶角为 1200，母线为 1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为 。分

18、析 ： 本 题 是 截 面 问 题 中 的 常 见 题 ， 设 圆 锥 的 轴 截 面 顶 角 是 ， 母 线 长 为 l ， 则 截 面 面 积1 l 2 sin 2Smax= (0, )21 ,，本题轴截面顶角为 1200，最大面积为 。1 l 2 2 22例 10、圆柱轴截面的周长 L 为定值，求圆柱侧面积的最大值。 d + h 2l 2分析：设圆柱的底面直径和高分别为 d,h,则有：2（d+h）=L,d+h=L/2,S 侧=dh = （当2 16且仅当 d=h 时取“=”）。例 11、在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD 中，若 G、E 分别是 BB1、D1 E C1B1FDGC1

19、D1 的中点，点 F 是正方形 ADD1A1 的中心。则四边形 BGEF 在正方体侧面及底面共 6 个面内的射影图形面积的最大值是 。1 A1分析：可得四边形 BGEF 在前后侧面上的射影相等且等于4；在左右1侧面上的射影相等且等于833；在上下底面的射影相等且等于8，所以射影图 C形面积的最大值为8。 A B三、体积最值问题例 12. 如图，过半径为 R 的球面上一点 P 作三条两两垂直的弦 PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2 为定值；(2) 求三棱锥 PABC 的体积的最大值.解析：先选其中两条弦 PA、PB，设其确定的平面截球得O1，AB 是O1 的直径，连 PO1 并

20、延长交O1 于 D，PADB 是矩形，PD2AB2PA2+PB2，然后只要证得 PC 和 PD 确定是大圆就可以了.解： (1)设过 PA、PB 的平面截球得O1，PAPB，1 1 1AB 是O 的直径，连 PO 并延长交O 于 D，则 PADB 是矩形，PD2PA2+PB2. 设 O 为球心，则 OO1平面O1，PCO1 平面，OO1PC，因此过 PC、PD 的平面经过球心 O，截球得大圆，又 PCPD.CD 是球的直径.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2 定值.1(2)设 PA、PB、PC 的长分别为 x、y、z，则三棱锥 PABC 的体积 V6xyz，1V2361x2y

21、2z2 (36x2 + y 2 + z 231)33664R62724 R6.35VR3.4 3274 3即 V 最大27R3.评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑 PAB 是大圆，探求得定值 4R2 可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于 90，这应记作很重要的性质. 四、角度最值问题。例 13. 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是 A1B1 上的一动点，平面 PAD1 和平面 PBC1 与对角面 ABC1D1 所成的二面角的平面角分别为、，试求+的最大值和最小值.解析：如图.对角面 A1B1CD对角面 ABC1D1，其交

22、线为 EF.过 P 作 PQEF 于 Q，则 PQ对角面 ABC1D1.分别连 PE、PF.EFAD1，PEAD1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 PFQ，同理，PFQ.设 A1Px,(0x1)，则 PB11-x.2EQA1P，QFPB1，PQ ，2当 0x1 时，有2tan2x,tan,22(1- x)2 + 2tan+ tan 2x 2(1- x)tan(+) 1- tantan 1- 2 2x22(1- x)2- 2(x - 1 )2 - 12而当 x0 时2p，tan(+)tan(2+)-cot-2EF2-A1 E，上式仍成立；类似地可以验证.21当 x1 时，上式也成立，于是

23、，当 x 时，tan(+)取最小值-22；当 x0 或 1 时，tan(+)取最2大值- .又 0+，2(+)max-arctan2(+)min-arctan2“动态”立体几何题初探盐城市时杨中学 陈晓兵 224035本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在， 也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。一、 截面问题截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有一定的可变性。例 1、已知正三棱柱

24、A1B1C1ABC 的底面积为 S,高为 h,过 C 点作三棱柱的与底面 ABC 成角的截面pMNC,(0 ),使 MN/AB，求截面的面积。2分析：由于截面位置的不同，它与几何体的交线 MN 可能在侧面 A1B 上，也可能在 A1B1C1 上，由此得到两种不同的结果。解：当交线 MN 在侧面 A1B 内（或与 A1B1 重合时）， S MNC=Scos；当 MN 在底面 A1B1C1 内时，harctan 4 3S 2, SMNC=2A 1。3h 2 cos3sin 2 1M1C1NAAB1 C1 BMNAB C B C二、 翻折、展开问题图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求

25、解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系则发生变化。不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。例 2、下图表示一个正方体的展开图，图中 AB、CD、EF、GH 这四条直线在原正方体中相互异面的有（ ）A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 5 对答：B。例 3、从三棱锥 PABC 的顶点沿着三条侧棱 PA、PB、PC 剪开，成平面图形，得到P1P2P3，且 P1P2=P2P3；CAPGDBAEFBA PBC3P1H

26、PC 2（1）在棱锥 P-ABC 中，求证：PABC，（2）P1P2=26，P1P3=20，求三棱锥的体积。1分析：（1）由展开的过程可知，A、B、C 分别是边 P1P3、P1P2、P2P3 的中点，故 AB=21P2P3， AC =2P1P2，AB=AC。又 P1P2=P2P3，在原图中取 BC 中点 H，连 AH、PH，可证 AHBC，PHBC，BC面PAH，即得 PABC。119（2）由（1）知 BC面 PAH，在立体图中可知，PB=PC=AB=AC=13,BC=10,PH=HA=12, SPAH=5 ,1V=350SPAHBC= 119 .3三、 最值问题立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。例 4、（2002 年全国高考）如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直，2点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a，（0a ）.MB N O（）求 MN 的长； C