算法分析与设计第4讲.docx

1、算法分析与设计第4讲上次内容：(1)确定图灵机与P类，DTM多项式时间可解的-P类(2)非确定图灵机与NP类，NTM多项式时间可解的-NP类-多项式时间可验证的。注意：在定义时空复杂性时，我们只关心NTM程序计算回答为Yes的实例的时空复杂性。回答否的实例不关心。下面逐渐解释。Rabin与Scott两个人最先在IBM做的工作。(3)多项式变换与NP，上次讲到什么是多项式变换。多项式变换的含义： 1=；2= 变换f：1*2*，IL1，f(I)L2，1(I)=2(f(I) f变换可以在p(|I|=n)时间内计算完成。则f称为由1到2的多项式规约。(1)非确定型图灵机与验证机还是不同的，多项式时间可

2、验证的问题被定义为NP问题。(2)但是有一个结论：一个问题是NP问题，当且仅当它是非确定型图灵机多项式时间可计算的。(3) Rabin与Scott两个人最先在IBM做的工作。定义了非确定型图灵机，也就有了非确定型计算。非确定图灵机的时间复杂性难定义。只关心回答Yes的实例的时间就好说了。NP问题的定义，一个问题是多项式时间可验证的含义，一个实例若回答是，当然能猜出来，所以能正确回答yes。NP问题可以认为若实例回答是，则存在不确定多项式时间算法正确回答的问题类。*在定义NP问题时，只关心问题的那些回答Yes的实例。回答No的实例不关心。若对回答Yes的问题实例，存在NTM程序能够多项式时间回答

3、是，则这个问题就是NP类。*用不着关心那些回答No的实例。若1可以多项式归约到2，则若2存在多项式算法，则1也有多项式算法。前面的多项式规约进一步修改如下：认为与前面的定义等价。 1=；2= 变换f： ，IL1，f(I)L2，1(I)=Yes2(f(I)=Yes，充分必要的。IY1f(I)Y2。不关心回答No的实例。实际前面NTM定义中就只关心回答Yes的实例。与猜测能力有关。如果定义猜测能力过于复杂，能力就太大了。P问题可以在多项式时间回答是或否。实际上，只定义那些回答Yes的实例能够多项式式时间验证就足以达到我们所要求的目的。 f变换可以在p(|I|=n)时间内计算完成。*不关心回答no的

4、实例。以后证明都用此定义。再解释非确定Turing机：规定(1)猜测部件把解写在从-1开始向左的存储带上。最多写输入长度的多项式个方格。(2)我们自己编写的验证程序直接使用猜测解带方格中的内容，没写直接用。(3)实际这不是最早的非确定型图灵机。若有一个特殊问题，任意一个NP问题均可多项式规约到该问题，则该问题非常特殊。严格定义时，要求是NP类问题。这样的问题成为NP-Complete，若NP-Complete问题可以多项式时间解决，则其他所有NP问题都可以在多项式时间解决。 首先要搞清楚，现在我们研究的问题是多项式时间可验证的问题类，最后只需要回答是和否即可以。 有很多问题不是多项式时间可验证

5、的，那个留到以后再说。因此也不是NPC的。这就是为什么只研究判定问题了。 判定问题绝大多数都是多项式时间可验证的。多项式变换的符号：引理3.1：若12，2P，则1P。是为什么？注意一点，当多项式可解时，否的实例也能在多项式时间回答。引理3.2：12，23，则13定义3.10：12，21，则称1和2多项式等价。定义3.11：NP，1NP，1，则称是NP-Complete的。NP-完全的。其他人有很多叫法。简称NPC问题。若是NPC问题，有多项式时间算法，则任意NP问题都有多项式时间求解算法。定理3.12：若有， NPC，则下述(1)(2)等价。(1)PNP；(2) P，即：PNP P若1NPC，

6、2NP，12，则2NPC这是最重要的一个定理。只要有了一个NPC，其他问题也可以证明NPC了。下面的问题是寻找第一个NPC问题。3.5Cook定理任意一个NP问题都有一个多项式时间验证程序唯一代表改问题。验证结果回答Yes 或No。SAT的例子：Y = (u1u5)(u2u3)(u4u5)(u1)是否存在真值指派使Y = 1。Instance:U=u1,u2,u3,u4,u5,C=C1,C2,C3,C4Query:If there is assignation of U such that every clause of C is satisefied.定理3.4：SAT NPC。证明：(1)

7、SATNP，首先要验证这个。不验证不能说明是NPC。*不属于NP是否属于NPC?，不属于。(2)将任意一个NP问题多项式规约到sat。每个NP问题有一个对应一个NTM的多项式时间验证程序。该验证程序最后回答Yes或No。但是我们只关心回答Yes的NP问题实例。任意一个NP问题的实例放在NTM存储带上，若回答yes，NTM程序多项式时间步验证给出正确回答。把求解任意一个NP问题的NTM规约到sat。设NTM描述为：描述问题需要符号集 =s1,s2,sm=s1, s2, , sm, si=si Q=q0,q1=qy,q2=qn,q3,qr (qi,si)=(qi,si,i)，变化规则早已确定了，就

8、是程序。 P(n)：M接受输入I，|I| = n，按照计算，对于猜测的解，经过不超过P(n)步计算，到达停机态，P(n)是n的多项式函数。每个实例都存放在读写带上了，要把这个实例变成SAT的实例。实例为：sk1, sk2, , skn。怎样把这个实例变成SAT实例？这个实例回答Yes变成的SAT实例也回答Yes。要借助别的东西，借助验证程序。可以形式化地描述验证程序，(qi, si)(, , i)Q ss0s1sm-1smq1qrNTM执行程序的每一步状态都可以用SAT布尔变量表示。开始规约：变量描述求解过程，项约束求解中程序遵循的规则。1定义三种变量描述NTM的求解状态，(1)Qi,k:描述

9、状态，0iP(n)，0kr，在时刻i，M处于状态qk，(r+1)(P(n)+1)个这样的变量。(2)Hi,j：描述读写头位置，0iP(n)，-P(n)jP(n)，在时刻i，M读写头正扫描带方格j。(2P(n)+1)(P(n)+1)个变量。(3)Si,j,L：描述带方格内容，0iP(n)，-P(n)jP(n)，0Lm，在i时刻带方格j中的内容为符号sL，(m+1)(2P(n)+1)(P(n)+1)。解释：从0到p(n)每一个时刻的Turing机状态，读写头位置，读写带上的符号。2NTM程序接受判定问题的实例I，M运行中应遵循下述规则。G1在时刻i，M确切处在一个状态，q0,qrG2在时刻i, 读

10、写头确切地扫描一个带方格。G3在时刻i,每个带方格确切地含有一个符号，中的。G4在时刻0，对于输入I，计算处于验证阶段的起始状态。G5在时刻P(n)，M处于qy状态，接受I。G6转换函数决定i时刻到i+1时刻的状态变化。G1中的项如下构成：(1)Qi,0,Qi,1,Qi,r，0iP(n)(2)， ，0iP(n)，0jjr(1)的个数：P(n)+1(2)的个数：(P(n)+1) G2的构成如下：(1)Hi,-P(n)，Hi,-P(n)+1，Hi,0，Hi,P(n)0iP(n)读写头位于上述位置。至少一个为真的。但不能量个同时为真。(2)， ，0iP(n)，-P(n)jjP(n)读写头不能同时指向

11、两个带方格，所以综合(1)(2)，每个时刻，读写头总指向固定一个带方格。(1)的个数：P(n)+1(2)的个数：(P(n)+1) G3的构成：(1)Si,j,0,Si,j,1,Si,j,m，0iP(n)，-P(n)jP(n)i时刻，j号带方格中的内容可能是s1,sm(2)， ，0iP(n)，-P(n)jP(n)，0kkm一个时刻一个方格中不可能含有两个符号。(1)的个数：(P(n)+1)(2P(n)+1)。(2)的个数：(P(n)+1)(2P(n)+1) G4的构成：Q0,0：0时刻状态为q0H0,0：0时刻读写头位于0号带方格S0,0,k0，S0,1,k1，S0,n,knS0,n+1,0，S

12、0,n+2,0，S0,P(n),00时刻带方格中的内容分别为：sk0,sk1,skn。其他带方格中是什么内容？G5：QP(n),1，时刻P(n)的NTM状态为qy=q1。接受状态。G6=G61G62，两个子项G61：保证在时刻i，若读写头不扫描带方格j，则在时刻i+1，j带方格的内容与i时刻j带方格的内容相同。,Hi,j,Si+1,j,L，0iP(n)，-P(n)jP(n)，0LmG61的个数：(P(n)+1)(2P(n)+1)(m+1)G61：当NTM程序从一个状态转到另一个状态时，状态变化，读写头移动，符号改变遵从函数。(qk,sL)=()(1), , ,Hi+1,j+i时刻的状态为qk，

13、读写头位置为j，j方格中的符号为sL则读写头移动为。 0iP(n)，-P(n)jP(n)，0kr，0Lm所以(1)的clause个数是：(P(n)+1)(2P(n)+1)(r+1)(m+1)(2), ,，Qi+1,k0iP(n)，-P(n) j P(n)，0kr，0 L m。所以(2)的clause个数是：(P(n)+1)(2P(n)+1)(r+1)(m+1)(3), ,，Si+1,j,L0iP(n)，-P(n)jP(n)，0kr，0Lm(3)的个数也不超过：(P(n)+1)(2P(n)+1)(r+1)(m+1) 上面是规约，首先说明这个规约是多项式规约，G1,G2,G3,G4,G5,G6都是

14、多项式个clause，因此是多项式规约。 下面说明规约后的计算情况：若任意问题的实例I回答yes，则NTM程序最后停机在qy，此时必存在一个sat变量的真值指派使每个项均满足。若sat实例存在真值指派使每个项均满足，则最后NTM会停机在yes态，相应问题的实例回答yes。这就证明了第一个NP-complete问题。再说明：*为什么SAT能多项式时间可解，则NTM就不用猜测解了。*s0,-1,s1，s0,-1,s2，s0,-1,sm，* s0,-2,s1，s0,-2,s2，s0,-2,sm* s0,-P(n),s1，s0,-P(n),s2，s0,-P(n),sm*0时刻的内容，由SAT实例计算出来。Cook想了一个办法说明问题难度，任意一个NP问题都可以多项时间规约到SAT问题，即若SAT问题能够多项式时间解决，则其他所有NP问题都能多项时间解决。正确回答是和否。若1NPC，2NP，12，则2NPC。已知satNP