届重庆中考复习二次函数相关的最值问题练习含答案.docx

1、届重庆中考复习二次函数相关的最值问题练习含答案二次函数相关的最值问题2例1.如图，抛物线y = x 4x+ 5与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. 求直线AC的解析式及顶点 D的坐标；若Q为抛物线对称轴上一动点，连接 QA QC求|QA QC|的最大值及此时点 Q的坐标;(3)连接CD点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE/x轴交直线AC于点E,作PF/CD交直线AC于点F,当线段PE+ PF取最大值时，求点 P的坐标及线段 EF的长；在K,连接0L3问的条件下，将KH求线段(5)在+ P E+ E问的条件下，将线段PE沿着直线 B取最小值时点E的

2、坐标.针对训练21 .如图，直线y= kx + b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( 4, 0)、B(0 , 3)，抛物线y= x + 2x + 1与y轴交于点C.求直线y = kx + b的解析式；(2)若点P(x , y)是抛物线y = x2+ 2x+ 1上的任意一点，设点 P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求 d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y = x2 + 2x + 1的对称轴上移动，点 F在直线AB上移动，求CE+ EF的最小值.2 .如图，已知抛物线 y =身x2+ 3x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点D是

3、点C关于抛物线对称轴的对称点，连接 CD过点D作DHLx轴于点H,过点A作AELAC交DH的延长线于点E.求线段DE的长度；(2)如图，试在线段 AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为线段PF上方抛物线上的一点， 求当 CPF的周长最小时， MPF面积的最大值是多少. 3.如图，对称轴为直线x= 2的抛物线经过 A( 1, 0) , C(0, 5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0, 1),E(a，0)，F(a + 1, 0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；4.已知，如图，二次函数 y = ax2 + 2ax 3a(a丰0)图象的顶点为 H,与x轴交于

4、A B两点(B点在A点右侧)，点H B关于直线I : y = #x + 3对称.(1)求A、B两点坐标，并证明点 A在直线I上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作直线BK/ AH交直线I于点K, M N分别为直线 AH和直线I上的两个动点，连接 HN NM MK求HW NW MK和的最小值.1 2 l5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = 2X + 2x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,连接BC,过点A作AD/ BC交y轴于点D. 求平行线AD BC之间的距离；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当 PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的

5、路径 运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线 BC的方向运动到直线 AD上的点N处，最后沿适当的路径运动 到点B处停止当点 Q的运动路径最短时，求点 Q经过的最短路径的长.6.如图，抛物线 y= fx2 9x + 3 3交x轴于A B两点，交y轴于点C,点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点. 求点D的坐标和tan / ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点 B D之间的一个动点(不与B D重合)，在直线BC上有一动点E,在x 轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点 G从点P出发以每秒1个单位的速度沿 iEF的路径运动到点F,再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到 在运动过程

6、中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案2 2 2例 1.解：(1) t y = x 4x + 5 = (x + 4x) + 5 = (x+ 2) + 9, - D( 2, 9).当 x = 0 时，y = 5,二 qo , 5).当 y = 0 时，X1= 1, x = 5,. A 5, 0), B(1 , 0), yAC= x + 5;(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知 QA= QB由 C(0 , 5)和政1 , 0)可求得 yBC= 5x + 5 ,根据三角形三边关系可知，当点 Q, C, B三点共线时，| QE QC最大，即| QA- QC最大，可求直线yBC= 5x+

7、 5与抛物线对称轴交点 Q为(2 , 15),此时| QA- QC最大值=BC= 26.解：(3)过P作PQ/ y轴，交AC于Q 再作FML PQ于 M如图,直线 AC y= x + 5，设 P(t , t2 4t + 5) , Qt, t + 5), PQ= ( t2 4t + 5) (t + 5) = t2 5t./ PEF=Z CAO= 45,. PE= PQ= t2 5t ,1/ PF/ CD kcD= 2 = kpF, tan / MP= 2，设 FM= n = MQ 贝卩 PM= 2n, PQ= 3n, PF= 5n,即 PF=PQ PE PF= (3 + 5)n= (1 +)PQ

8、当PQ最大时，P曰PF取最大值，而 PQ= t2 5t = PE= t + 2 + 25,P曰PF取最大值, 过点P作PHL AB于点H过点H作x轴的平行线 MN分别过点 A P作MN的垂线段，垂足分别为 M NAJ_ _JFt CK f( 285, 抛物线的对称轴为直线 x = 1,作点C关于直线x = 1的对称点 C，过点C作C F丄AB于F.过点F 作JK/ x轴，分别过点 A、C作AJL JK于点J, C K丄JK于点K则C (2 , 1).3设 F(m 4m 3),/ C FL AB / AFJ+Z C FK= 90,t C K 丄 JK,./ C+/ C FK= 90 ,/ C，=

9、Z AFJ,vZ J = Z K= 90,.山 AF4A FC K37m* 3 , c4m* 4 82 m = 3 ,解得 m=亦或 m=- 4(不符合题意，舍去).；m* 2414, (2 , 1)， FC = 2.解：(1)对于抛物线 y =fx + + 3,令 x = 0,得 y = 3,g卩 qo,西),D2，护),DH= 3,令 y = 0,即一 + - x + 3 = 0，得 X1= 1 , X2= 3 ,A 1, 0), B(3 , 0),v AE! AC EH! AH ACA EAH匹O即二=iAH EH 3 EH解得：EH= 3 ,则 DE= 2 3;如图，找点 C关于DE的

10、对称点N(4，羽)，找点C关于AE的对称点G 2，护), 连接GN交AE于点F,交DE于点P,即G F、P N四点共线时， CPF的周长=CFF PF+ CP= GFF PF+ PN最小，-fx 电3;直线DE的解析式：x = 2.直线GN的解析式：y=fx电;直线 AE的解析式：y=联立得：F(0,P(2 ,过点M作y轴的平行线交 FH于点Q 设点 Mm fm + ymF 3), 则 Qm fm-1x/3 2 V3 4 3&mf= Smqf+ Smq= MQ 2= MQ=m+ wm+ 323 3 31 1对称轴为直线 m= 2,而Ow寸2,抛物线开口向下， m= *时， MPF的面积有最大值

11、，为 12*-3.解：(1) T对称轴为直线 x = 2,.设抛物线解析式为将 A( 1 , 0) , C(0 , 5)代入得:9m+ k =0 解得 P= J y = (x 2)2 + 9= x2+ 4x+ 5.4m + k = 5 , k = 9 ,:(2+&) n= 3 ,n= 1,4 6 4 4 6+ 1解得：m= , n= :5 54 IQ 4 4 Q + 1y =x .当y = 0时，解得x=+. H亠6+5, 0).a+ 1=, a=亍. a=时,4 4 4四边形PME周长最小.y八cAjOE；/FM224.解：(1)依题意，得 ax + 2ax 3a = 0(az0),解得 刘

12、=3 , X2= 1 , B点在A点右侧，二A点坐标为(一3 , 0), B点坐标为(1 , 0), 证明：直线l: y=x + 3 ,当 x = 3 时，y=f x ( 3) + 3= 0，点 A在直线 I 上.过顶点H作HCL AB交AB于 C点，点H、B关于过A点的直线l : y = -3-x + 3对称， AH= AB= 4 ,又点H为抛物线顶点，则点 H在抛物线对称轴上， AHh BHh AB= 4.在 Rt ACH中,由勾股定理得 c* ,aH aC= 2 3,顶点 H( 1 , 2 3),代入二次函数解析式，解得 a= -2，二次函数解析式为 y= -x23x+宁(3)直线AH的

13、解析式为y = 3x+ 3 3,直线BK的解析式为y= .3x ,3,由+ ,3,x= 3,解得1 厂旳=2羽,y = ,3x 3 , 即 K(3 , 2 3),贝U点H、B关于直线过点K作KDL x轴于D,作点K关于直线AH的对称点Q连接QK交 直线AH于E,则 KE= KD= 2 3 , QM= MK QE= EK= 2 3 , AE QKBW MK的最小值是 BQ即BQ的长是HN NW MK的最小值，BK/ AH BK(=Z HE= 90 ,由勾股定理得 QB= 8, HN NW MK的最小值为8.B2 4,AK对称， HN MN的最小值是MBy/BD x5.解：令 y= 0,即一夕2+

14、 2x+ 3= 0,解得：xi= 2, X2 = 3 厶 2, A 2, 0) , B(3 .2, 0) ,当 x= 0 时，y= 3 , C(0 , 3),在 Rt BOC中, BO= 3 2 , CO= 3, BC= 3 3 , sin / CB=务.因为 AD/ BC - sin Z BA*sin Z CB&-33.3过 B作 BHL AD于点 H, sin Z BAD=磐 飞3 , BH= 6;AB 3 3平行线AD BC间的距离为4 品过P作PQ/ y轴，交BC于点Q,设 P(m, 1mi+ 2nu 3), 直线 BC y= #x+ 3, Qn - #nu 3),1- S PCB=

15、2 PQ(Xb Xc)=当m= 2-时，S cpb最大，此时，R”3.2-2m+才3 2 15厂，T)-m),取点B关于AD的对称点B,将B沿B B方向平移4竿3个单位长度得B,此时B与点代5子,33）重合.连接HP交BC于点M点M即为所求.（ PMF NW BN 最小=PH+ M= 5937+V66.解：令一#x2 |x+ 3 3= 0，解得 xi= 4 3X2= 3 , A 4 3, 0) , 0 3, 0),在y =予2-条+ 3 3中，令x = 0,则y = 3 3, C(0 , 3 3) , OC= 3 3, BO= 3, 亠 OC在 Rt COE中, tan Z AB(= 3,OB

16、由y = -x2 4x + 3 3知，对称轴直线为 x= 3 2点 D( 3 .3, 3 3);3y= 4x+ 由耳3 , 0) , Q 3 3 , 3 3)可得直线BD解析式过P作PK1 x轴交BD于点K,设P(m 子用9m+ 3 3),贝U K( mS 四边形 abpd= S abd+ Sapbd, Saabd是定值, S 四边形 abpd最大时, 即 Sa pbd最大.ci 3 2 厂 27SApbd= 2( Xb Xd)( yp yR =尹3 pnu- ,3 3 3严于),当 m= 2a= .3时，Sapbd最大，此时点 P坐标为（.3 , 9 2 3）- 作点 P（-& ,呼 ）关于直线 BC的对称点 P（计,24 ；3 以A为顶点，在x轴下方作Z BAF 30 , 过P作直线AT的垂线分别交BC x轴于点E、F, 此时，点G在运动过程中所用时间最少，一 小24点F坐标为（一布, 0）