小学奥数专题排列组合.docx

1、小学奥数专题排列组合排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识 （数学概率方面的基本原理）一. 加法原理： 做一件事情， 完成它有 N 类办法，在第一类办

2、法中有 M1 中不同的方法，在第二类办法中有 M2 中不同的方法，在第 N 类办法中有 Mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+ +Mn 种不同的方法。二. 乘法原理： 如果完成某项任务，可分为 k 个步骤，完成第一步有 n1 种不同的方法，完成第二步有 n2 种不同的方法，完成第步有 种不同的方法，那么完成此项任务共有 种不同的方法。三. 两个原理的区别做一件事，完成它若有 n 类办法，是分类问题 ，每一类中的方法都是 独立的，故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同 ( 即分类不重 ) ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类

3、 ( 即分类不漏 )做一件事，需要分 n 个步骤， 步与步之间是连续的 ，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务， 必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“ 类”和“ 步 ”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来四. 排列及组合基本公式1.排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素按照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个 排列；从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素

4、的所有排列的个数，m叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的 排列数，用符号 Pn 表示 .m=n(n-1)(n-2) (n -m+1)P n=n!( 规定 0!=1) .(n-m)!2. 组合及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素 并成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同m元素中取出 m个元素的 组合数 . 用符号 Cn 表示 .m= Pm/m!=n!Cn(n-m)!m!nmn-m一般当遇到 m比较大时（常常是 m0.5n时），可用 Cn = Cn 来简化计算。n0规定： C

5、 n =1, C n =1.3.n 的阶乘 (n!) n 个不同元素的全排列nP n=n!=n (n-1) (n-2) 321五. 两个基本计数原理及应用1.首先明确任务的意义【例 1】 从 1、2、3、 20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有 _个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定，又 2b 是偶数， a,c 同奇或同偶，即：从 1， 3， 5， 19 或 2， 4， 6， 8， 20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，如： a=1， =

6、7，则 b=4（即每一组 a,c 必对应唯一的 b，另外 1、4、7 和 7、 4、 1 按同一种等差数列处理） C210 10990，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求 =2 90180。【例 2】 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M到 N 有多少种不同的走法 ?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一） 从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向

7、上走，就可以确定走法数， 本题答案为： C38=56 。2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段 (排序 )可转化为排列问题。【例 3】在一块并排的10 垄田地中，选择二垄分别种植A ，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A， B两种作物的间隔不少于6 垄，不同的选法共有_种。分析：条件中“要求A、B 两种作物的间隔不少于6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采

8、取分类的方法。第一类： A 在第一垄， B 有 3 种选择；第二类： A 在第二垄， B 有 2 种选择；第三类： A 在第三垄， B 有 1 种选择，同理 A 、B 位置互换 ，共 12 种。1 恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位数有多少个 ?【分析与解】 6 、 7、 8、 9 的最小公倍数是504，五位数中，最小的是10000，最大为 99999因为 10000504：19 424，99999504=198 207所以，五位数中，能被504 整除的数有198-19=179 个所以恰好能被 6， 7， 8，9 整除的五位数有 179 个2小明的两个衣服口袋中各有13 张卡片，每张卡

9、片上分别写着1， 2，3， 13如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积那么，其中能被 6 整除的乘积共有多少个 ?【分析与解】 这些积中能被 6 整除的最大一个是 1312=266，最小是 6但在 l 6266 之间的 6 的倍数并非都是两张卡片上的乘积，其中有 256，236，216，196，176 这五个不是 所求的积共有 26-5=21 个3 1，2， 3， 4， 5， 6 这 6 个数中，选 3 个数使它们的和能被 3 整除那么不同的选法有几种 ?【分析与解】 被3除余 1的有 1，4；被 3除余 2的有 2,5；能被 3 整除的有 3， 6

10、从这 6 个数中选出 3 个数，使它们的和能被 3 整除，则只能是从上面 3 类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的， 共有 2 2 2=8 种不同的选法4 同时满足以下条件的分数共有多少个 ?大于 1 ，并且小于 1 ；分子和分母都是质数；分母是两位数65【分析与解】由知分子是大于1，小于 20 的质数如果分子是2，那么这个分数应该在2 与 2 之间，在这之间的只有2符合要求10811如果分子是 3，那么这个分数应该在3与 3之间， 15 与 18之间只有质数17，所以分数是3 151817同样的道理，当分子是5， 7， 11， 13， 17， 19 时可以得到下表分子分数分子分数221

11、111,11115961331313,13,1317677173551717,17298997737191937,9741于是，同时满足题中条件的分数共13 个5一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数 ?6 个数字重新排列，【分析与解】设这个六位数为abcdef，则有(ac e) 、 (bdf ) 的差为0 或11 的倍数且 a 、 b 、 c 、 d 、 e、 f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数先考虑 a 、 c 、 e 偶数位内， b 、 d 、 f 奇数位内的组内交换，有P33 P33=36 种顺序；

12、再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有33P3 P3 =36 种顺序所以，用均不为0 的 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 最少可以排出36+36=72 个能被 11 整除的数 ( 包含原来的 abcdef ) 所以最少还能排出72-1=71 个能被 11 整除的六位数6在大于等于 1998 ，小于等于 8991 的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个?【分析与解】先考虑 2000 8999 之间这 7000 个数，个位数字与十位数字不同的数共有2=6300710 P10但是 1998，8992 8998 这些数的个位数字与十位数字也不同，且1998 在

13、 1998 8991 内， 8992 8998 这 7 个数不在 1998 8991 之内所以在 1998 8991 之内的个位数字与十位数字不同的有6300+1-7=6294 个7 个位、十位、百位上的3 个数字之和等于12 的三位数共有多少个 ?【分析与解】 12=0+6+6=0+5+7=0+4+8=0+3+9=1+5+6=1+4+7=1+3+8=1+2+9=2+5+5=2+4+6=2+3+7=2+2+8=3+4+5=3+3+6=4+4+4其中三个数字均不相等且不含0的有 7组，每组有 P33 种排法，共 7 P33=42 种排法；其中三个数字有只有 2 个相等且不含 0的有 3 组，每组

14、有 P33 2种排法，共有3 P33 2=9 种排法；其中三个数字均相等且不含0的只有 1组，每组只有 1 种排法；在含有 0 的数组中，三个数字均不相同的有3 组，每组有2 P22 种排法，共有3 2 P22=12 种排法；在含有 0 的数组中，二个数字相等的只有1 组，每组有 2P22 2种排法，共有 2 种排法所以，满足条件的三位数共有42+9+1+12+2=66个8一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”例如 1331， 7， 202 都是回文数，而220则不是回文数问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第 1996个数是多少 ?【分析与解】我们将回

15、文数分为一位、二位、三位、六位来逐组计算所有的一位数均是“回文数”，即有9 个；在二位数中，必须为aa 形式的，即有9 个 ( 因为首位不能为0，下同 ) ；在三位数中，必须为aba ( a 、 b 可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同) 形式的，即有 910 =90 个；在四位数中，必须为abba 形式的，即有 9 10 个；在五位数中，必须为abcba 形式的，即有9 10 10=900 个；在六位数中，必须为abccba 形式的，即有91010 =900 个所以共有 9+9+90+90+900+900=1998个，最大的为999999，其次为998899，再次为 997799而第

16、 1996 个数为倒数第 3 个数，即为 997799所以，从一位到六位的回文数一共有1998个，其中的第 1996 个数是 9977999 一种电子表在6 时 24 分 30 秒时的显示为6:24 30 ，那么从8 时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个?【分析与解】设 A:BC DE 是满足题意的时刻，有A 为 8，B、 D 应从 0， 1，2， 3， 4， 5这 6 个数字中选择两个不同的数字，所以有P62种选法，而 C、 E 应从剩下的7 个数字中选择两个不同的数字，所以有P72 种选法，所以共有 P62 P72=1260 种选法，即从 8 时到 9 时这

17、段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有1260 个10有些五位数的各位数字均取自1， 2， 3， 4，5，并且任意相邻两位数字( 大减小 ) 的差都是1问这样的五位数共有多少个?【分析与解】如下表，我们一一列出当首位数字是5， 4，3 时的情况首位数字543所有满足题意的数字列表55545545454433545544443534333444332221313345224331232211321满足题意的 6 9 12数字个数因为对称的缘故，当首位数字为 1 时的情形等同与首位数字为 5 时的情形，首位数字为 2 时的情形等同于首位数字为 4 时的情形所以，满足题意的五位数共有 6+9

18、+12+9+6=42 个11 用数字 1， 2 组成一个八位数，其中至少连续四位都是1 的有多少个 ?【分析与解】当只有四个连续的 1 时，可以为 11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112，* * * 21111 ，因为 *号处可以任意填写 1 或 2，所以这些数依次有 23， 22， 22，22， 23 个，共 28 个；当有五个连续的l时，可以为111112 * * ， 2111112 * ， *2111112 ， * * 211111，22依次有 2 ，2，2， 2 个，共 12 个；当有六个连续的1时，可以为1111112 * ， 211

19、11112， * 2111111 ，依次有 2， 1，2 个，共 5 个；当有七个连续的1时，可以为11111112， 21111111，共 2 个：当有八个连续的l时，只能是11111111，共 1 个所以满足条件的八位数有 28 + 12 + 5 + 2 + 1=48个12在 1001， 1002， 2000 这 1000 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位 ?【分析与解】 设 1bcd , xyzw为满足条件的两个连续自然数，有 xyzw =1bcd +1我们只用考察 1bcd 的取值情况即可我们先不考虑数字 9 的情况 ( 因为 d 取 9，则 w 为 0，也

20、有可能不进位 ) ，则 d 只能取 0， 1， 2，3， 4； c 只能取 0， 1， 2，3， 4； b 只能取 0，1， 2， 3，4；对应的有 555=125 组数当 d =9 时，有 1bc9 的下一个数为 1b(c 1)0 ，要想在求和时不进位，必须c ( c 1) 9，所以 c 此时只能取 0， 1，2， 3， 4；而 b 也只能取 0，1， 2， 3，4；共有 5 5=25 组数当 cd=99时，有 1b99 的下一个数为 1(b 1)00 ，要想在求和时不进位，必须b +( b +1) ，9所以 b 此时只能取 0， 1， 2，3， 4；共有 5 组数所以，在1001， 100

21、2， 2000 这 1000 个自然数中，可以找到 125 + 25 + 5 = 155对相邻的自然数，满足它们相加时不进位13把 1995， 1996，1997， 1998， 1999 这 5 个数分别填入图 20-1 中的东、南、西、北、中 5 个方格内，使横、竖 3 个数的和相等那么共有多少种不同填法 ?【分析与解】 显然只要有“东” +“西” =“南” +“北”即可，剩下的一个数字即为“中” 因为题中五个数的千位、百位、十位均相同，所以只用考虑个位数字，显然有 5+9=6+8 ，5+8=6+7 ，6+9=7+8 先考察 5 + 9 = 6 + 8，可以对应为“东” +“西” =“南”

22、+“北”，因为“东”、“西”可以调换， “南”、“北”可以对调，有 22=4 种填法，而“东、西”，“南、北”可以整体对调，于是有 42=8 种填法5 + 8 = 6 + 7 ， 6 + 9 = 7 + 8 同理均有 8 种填法，所以共有 83=24 种不同的填法14 在图 20-2 的空格内各填人一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 20-3 为一种填法那么共有多少种不同的填法 ?23图 20-2642753图 20-3【分析与解】 为了方便说明，标上字母：C D 2A B 3要注意到， A 最大， D 最小， B

23、、 C 的位置可以互换但是， D 只能取 4， 5， 6，因为如果取 7，就找不到 3 个比它大的一位数了当 D取 4，5， 6 时分别剩下 5，4， 3 个一位大数有 B、 C可以互换位置所有不同的填法共 C53 2+ C43 2+ C33 2=10 2+4 2+12=30 种补充选讲问题(2003 年一零一中学小升初第 12 题) 将一些数字分别填入下列各表中， 要求每个小格中填入一个数字， 表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到下数字也由小到大排列(1)将 1 至 4 填入表 1 中，方法有 _ 种：(2)将 1 至 6 填入表 2 中，方法有 _ 种；(3)将 1 至 9 填入表 3 中，方法有 _ 种【分析与解】 (1)2 种：如图， 1 和 4 是固定的，另外两格任意选取，故有 2 种；(2)5 种： 1 和 6 是固定的，其他的格子不确定有如下 5 种：(3)42 种：由 (2) 的规律已经知道， 32 是 5 种：1 、 2、 3 确定后，剩下的 6 个格子是 32，为 5 种如下：同理 也各对应 5 种；注意到 例外，对应的不是 5 种，因为第一排右边的数限制了其下方的数字，满足条件的只有如下几种：共计 5+5+5+4+2=21种另外，将以上所有情况翻转过来，也是满足题意的排法，所以共212=42