1r 2r 3rnr的公式诱导.docx

1、1r 2r 3r nr的公式诱导1r+2r+3r+nr的公式诱导 一、前言 1+2+3+n=n（n+1），其公式的来由谁都明白，但对12+22+32+n2=n（n+1）（2n+1）和13+23+33+n3=n2（n+1）2，其公式的来由，可能就没几个人清楚了。因为在我所读过的数学书中，除了第一个公式用诱导法证明以外，后面两个公式都是用归纳法证明的。归纳法证明可以知道等式是否成立，但无法知道公式如何变换而来，因而研究新的问题受到很大的局限，从而很难解决以下问题的计算公式： 14+24+34+n4 15+25+35+n5 可见用诱导法证明公式的重要性。这种方法证明不仅知道等式是否成立，还可以知道公

2、式如何通过等量变换而来，对研究新的问题有很大的帮助。 二、有关文献 普通高级中学数学课本选修2-2第104页，数学归纳法例1：用数学归纳法证明12+22+32+n2=n（n+1）（2n+1）。 这个公式除了用归纳法证明以外，能不能应用诱导法证明？上面和等能不能找到计算公式？ 三、研究问题 （1）12+22+32+n2=n（n+1）（2n+1）和13+23+33+n3=n2（n+1）2的诱导法证明； （2）寻找1r+2r+3r+nr（r为自然数）的计算公式。 四、研究方法 倍n化半解方程法，即从12+22+32+ （2n）2中求12+22+32+n2。 五、研究成果 连续自然数的任意次方和，我们

3、都可以找到其计算公式，现在先证明下面两个公式。 例1用诱导法证明：12+22+32+n2=n（n+1）（2n+1）。 证明：因为 S 22n=12+22+32+（2n）2 =12+22+32+n2+（n+1）2+(n+2）2+（n+3）2+（n+n）2 =2（12+22+32+n2）+n3+2n（1+2+3 +n） =2S 2n+n3+n2（n+1） 又 S 22n=12+22+32+ （2n）2 = （2-1）2+（4-1）2+（6-1）2+（2n -1）2+22+42+ 62+（2n）2 =n-2（2+4+6+2n） +222+42+62 + （2n）2 =n-4（1+2+3+n）+8（1

4、2+22+32+n2） =n-2n（n+1）+8S 2n 所以 2S 2n+n3+n2（n+1） =n-2n（n+1）+8S 2n 6S 2n=2n3+3n2+n =n（n+1）（2n+1） 所以 S 2n=n （n+1）（2n+1） 例2用诱导法证明：13+23+33+n3=n2 （n+1）2。 证明：因为 S 32n=13+23+33+（2n）3 =13+23+33+n3+（n+1）3+（n+2）3+（n+3）3+（n+n）3 =2（13+23+33+n3）+n4+3n2（1+2+ 3+n）+3n（12+22+32+n2） =2S3n+n4+n3（n+1）+n2（n+1） （2n+ 1）

5、又 S 32n=13+23+33+（2n）3 =（2-1）3+（4-1）3+（6-1）3+（2n -1）3+23+43+63+（2n）3 =3（2+4+6+2n）-322+42+62+（2n）2-n+223+43+63+（2n）3 =6（1+2+3+n） -12（12+22+32+ +n2）-n+16（13+23+33+ n3） =3n（n+1）-2n（n+1）（2n+1）-n+ 16S 3n 所以 2S 3n+n4+n3（n+1）+ n2（n+1）（2n+1） =3n（n+1）-2n（n+1）（2n+1）-n+16S 3n 14S 3n=n4+n+（n2-3）（n+1）n+ （n+ 2）（n

6、+1）（2n+1）n =n（n+1）（n2-n+1）+ （n2-3）+ （n+ 2）（2n+1） =n（n+1）（n2-n+1+n2-3+n2+ n+2） =n（n+1）（ n2+n） =n2（n+1）2 所以 S 3n=n2（n+1）2 以上两个例题公式，都是通过倍n化半解方程法而得以证明。这种证明方法，实际上就是求计算公式的过程，对于以后求连续自然数的任意次方和公式，起着很重要的帮助。对1r+2r+3r+ nr（r为自然数）的通用公式，如果用归纳法寻求，我认为无从着手，但用诱导法寻求，我认为并不难。 现在我们用诱导法求S r n=1r+2r+3r+ nr的计算公式 因为 S r 2n=1r

7、+2r+3r+ （2n）r =1r+2r+3r+ nr+（n+1）r+（n+2） r+（n+3）r+（n+n）r =2Sr n+nr+1+C1rnr-1 （1+2+3+n） +C2rnr-2 （12+22+32+n2） + + Crr-2 n2（1r-2+2r-2+3r-2+ nr-2） + Crr-1n（1r-1+2r-1+3r-1+ nr-1） =2S rn+ nr+1 +Cr1nr-1Sn+Cr2nr-2Sn2+ Crr-2 n2Sn r-2+Crr-1 nSn r-1 又 S r 2n=1r+2r+3r+ （2n）r =（2-1）r+（4-1）r+（6-1）r+（2n -1）r+2r+

8、4r+6r+（2n）r = Cr1（-1） r-1 （2+4+6+2n） + Cr2（-1） r-2 22+42+62+（2n）2 + + Crr-2（-1）22r-2+4r-2+6r-2+ （2n）r-2 +Crr-1 （-1） 2r-1+4r-1+6r-1+ （2n） r-1 +（-1）rn+22r+4r+6r+ （2n）r = Cr1（-1）r-12（1+2+3+n） + Cr2（-1）r-222（12+22+32+n2） + + Crr-2（-1） 22r-2 （1r-2+2r-2+3r-2+ + nr-2） +Crr-1（-1）2r-1（1r-1+2r-1+3r-1+ nr-1） +

9、（-1）rn+22r（1r+2r+3r+nr） =Cr1（-1） r-12Sn+ Cr2（-1） r-222S2 n +Crr-2（-1）22rr-2Sn r-2 +Crr-1（-1）2r-1Sn r-1+（-1）rn+2 2rSr n 所以Sr n= nr+1-（-1）rn + Cr1 nr-1-（-1） r-12 Sn + Cr2nr-2-（-1）r-222S2 n + + Cr r-2n2-（-1）22 r-2Sn r-2 +Cr r-1n-（-1）2 r-1Sn r-1 直接应用这个公式证明或求公式就更简单了。 例3 应用公式求S4 n14+24+34+n4的计算公式。 解：由公式，得

10、 S4 n=n5-n + 4（n3+2）n （n+1） +6（n2-4）n（n+1） （2n+1）+4（n+8）n2（n+1）2 =（n5-n+2n5+2n4+4n2+4n+2n5+ 3n4-7n3-12n2-4n+n5+10n4+17n3 + 8n2） =（6n5+15n4+10n3-n） =n（n+1）（2n+1）（3n2+3n-1） 所以 S4 n=14+24+34+n4 =n（n+1）（2n+1）（3n2+3n-1） 同理可求 S5 n=15+25+35+n5 =n2（n+1）2（2n2+2n-1） S6 n=16+26+36+n6 =n（n+1）（2n+1） （3n4+6n3-3n+

11、1） 例4求S7 n=17+27+37+n7的计算公式 解：由公式，得 S7 n= n8-（-1）7n+7n6-（-1）6 2 Sn+21n5-（-1）522S2 n+35n4 -（-1）423S3 n +35n3-（-1）3 24S4 n+21n2-（-1）225S5 n+7n- （-1）26 S6 n =n8+n+7（n6-2）n（n+1） +21（n5 + 4）n（n+1）（2n+1） +35（n4-8）n2（n+1）2 +35（n3+16）n（n+1）（2n+1） （3n2+3n-1） +21（n2-32）n2（n+1）2 （2n2+2n-1） + 7 （n + 64）n（n+1）（2

12、n+1） （3n4+6n3-3n+1） =12n8+12n+42（n6-2） （n2+n） +42（n5+4）（2n3+3n2+n） +105 （n4-8）（n4+2n3+n2） +14（n3+16）（6n5+15n4+10n3-n） +21（n2-32）（2n6+6n5+5n4-n2） +2（n+64）（n2+n）（6n5+15n4+6n3- 6n2-n+1） =（12n8+12n+42n8 + 42n7-84n2-84n+84n8+126n7+42n6 +336n3+504n2+168n+105n8+ 210n7 +105n6-840n4-1680n3-840n2 +84n8 +210n7

13、+ 140n6+1344n5+ 3346n4 +2240n3-224n+42n8+ 126n7-1239n6-4032n5-3381n4 +672n2+12n8+810n7+2730n6+ 2688n5-14n4-896n3+2n2+128n） =（381n8+1524n7+ 1778n6-889n4+254n2） =n2（3n6+12n5+14n4-7n2+2） =n2（n+1）2（3n4+6n3-n2-4n+2） 所以 S7 n=17+27+37+ +n7 =n2（n+1）2 （3n4+6n3-n2-4n2） 同理还可求得S8 n和S9 n等的计算公式，不过次数高了计算过程就比较复杂，但并

14、不是难题。读者不妨试试求S8 n和S9 n的计算公式。 六、讨论 有关1222n2=n（n1）（2n1）和1323n3=n2（n1）2，这两个公式是怎样得来的？我从来没有看到过。因为在我们读过的数学书中，都只见过归纳的证明，如果公式是按教科书中通过对n=1，2，3，4前四项归纳所作出的猜想，那么对1424n4和1525n5等，能不能也通过对n=1，2，3，4前四项归纳猜想出它们的计算公式呢？我认为是很困难的。而对于1r2rnr那就更困难了。 既然通过归纳猜想出计算公式十分困难，那我们就选取诱导法吧，果然诱导法不仅找到了S4 n，S5 n，S6 n，S7 n的计算公式，还找到了S rn的公式。尽管这些计算公式在应用上很少用到，但在理论上已经突破了一个难度。 七、结论 （1）12+22+n2=n（n+1）（2n+1）和13 +23+n3=n2（n+1）2，通过倍n化半解方程诱导法，能很简单地得到证明； （2）1r+2r+nr也能通过倍n化半解方程诱导法找到它的计算公式。 （作者单位：海南省琼海市华侨中学）