中考专题复习导学案18等腰三角形含答案.docx

1、中考专题复习导学案18等腰三角形含答案中考数学专题练习18等腰三角形【知识归纳】一、等腰三角形 1等腰三角形的定义： 的三角形是等腰三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角 ；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称： ；(3)等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边 ，那么这个三角形是等腰三角形(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边 4.等边三角形的性质 等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于 ；等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴5.等边三角形的判定

2、(1)三边都 的三角形是等边三角形；(2)三个角都 的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.【基础检测】1（2013德州，4，3分）如图，ABCD，点E在BC上，且CD=CE,D=740,，则B的度数为（ ）A、680 B、320 C、220 D、1602（2013四川南充，3，3分）如图，ABC中，AB=AC，B=70，则A的度数是（） A70B55C50D403(2015湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50，则它的顶角为_4(2013湖北荆门，19，9分)如图1，在ABC中，ABAC，点D是BC的中点，点E在AD上(1)求证：BECE；(2)若BE

3、的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，如图2，BAC45，原题设其它条件不变求证：AEFBCF 5 （2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将BOC绕C点顺时针方向旋转到AQC的位置，则AQC=1056（2016莆田）如图，OP是AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定POCPOD的选项是（）APCOA，PDOB BOC=OD COPC=OPD DPC=PD7. （2015河北,第20题3分）如图，BOC=9，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画

4、弧交OC于点A1，得第1条线段AA1； 再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 8.（2015山东莱芜,第21题9分）如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F （1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由（2）求证：BE=CD，BECD【达标检测】一选择题1（2016湖北黄石3分）如图所示，线段AC的垂直平

5、分线交线段AB于点D，A=50，则BDC=（）A50 B100 C120 D1302. 如图，在等腰ABC中，AB=AC，BDAC，ABC=72，则ABD=（ ）A36 B54 C18 D643.（2016湖北荆门3分）如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A5 B6 C8 D104. 如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ） A2个 B3个 C4个 D5个5（2016湖北荆门）已知3是关于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实

6、数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A7 B10 C11 D10或116. 如图，在ABC中，C=90，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A5 B10 C12 D137. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是( )A120 B90 C60 D308. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21 B. 20 C. 19 D. 189. 如图，在等边ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式

7、作等边DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）A 8 B10 C3 D5二填空题10（2016黑龙江齐齐哈尔3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30，则以它的腰长为边的正方形的面积为11（2016湖北黄石3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30方向航行 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处12（2016湖北荆门3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E

8、重合），在AE同侧分别作正ABC和正CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）14.（2016福建龙岩3分）如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，E=30，则BC= 三解答题15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACD=DCE=90，D为AB边上一点求证：BD=AE16. 如图，一块余料ABCD，ADBC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA

9、，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E（1）求证：AB=AE；（2）若A=100，求EBC的度数17（2016山东省菏泽市3分）如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE （1）如图1，若CAB=CBA=CDE=CED=50求证：AD=BE；求AEB的度数（2）如图2，若ACB=DCE=120，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN18. （2016湖北随州10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中

10、线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，ANBN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】（1）如图1，当tanPAB=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当PAB=30，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论 【拓展证明】（3）如图4，ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BECE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，

11、求AF的长【知识归纳答案】一、等腰三角形 1有两条边相等2等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角相等；(2)三线合一；(3)等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等4.等边三角形的性质 60； 3 5.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.【基础检测答案】1（2013德州，4，3分）如图，ABCD，点E在BC

12、上，且CD=CE,D=740,，则B的度数为（ ）A、680 B、320 C、220 D、160【答案】B.【解析】在CDE中，CD=CE，D=DEF=74, C=180-274=32.ABCD，B=C=32.【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质. 2（2013四川南充，3，3分）如图，ABC中，AB=AC，B=70，则A的度数是（） A70B55C50D40【答案】：D【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到C=B=70，再根

13、据三角形内角和定理得A=180-C-B=180-70-70=40.故选D.【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180. 3(2013湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50，则它的顶角为_【答案】50或80【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50；(2)若这个内角是底角，则顶角18025080【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论4(2013湖北荆门，19，9分)如图1

14、，在ABC中，ABAC，点D是BC的中点，点E在AD上(1)求证：BECE；(2)若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，如图2，BAC45，原题设其它条件不变求证：AEFBCF 【思路分析】(1)证ABEACE即可(2)AEF和BCF已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等由BAC45可知ABF为等腰直角三角形，于是找到对应边AF，BF相等【解】证明：(1)ABAC，D是BC的中点，BAECAE在ABE和ACE中，ABAC，BAECAE，AEAE，ABEACEBECE(2)BAC45，BFAF，ABF为等腰直角三角形AFBF由(1)知ADBC，EAFCBF在AEF和BCF中

15、，AFBF，AFEBFC90，EAFCBF，AEFBCF【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等全等三角形的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.5 （2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将BOC绕C点顺时针方向旋转到AQC的位置，则AQC=105考点： 旋转的性质；等腰直角三角形专题： 计算题分析： 连接OQ，由旋转的性质可知：AQCBOC，从而推出OAQ=90，OCQ=90，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出

16、AQO与OQC的值，可求出结果解答： 解：连接OQ，AC=BC，ACB=90，BAC=A=45，由旋转的性质可知：AQCBOC，AQ=BO，CQ=CO，QAC=B=45，ACQ=BCO，OAQ=BAC+CAQ=90，OCQ=OCA+ACQ=OCA+BCO=90，OQC=45，BO：OA=1：，设BO=1，OA=，AQ=，AQO=60，AGC=105点评： 本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键6（2016莆田）如图，OP是AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定POCPOD的选

17、项是（）APCOA，PDOB BOC=OD COPC=OPD DPC=PD【分析】要得到POCPOD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论于是答案可得【解答】解：OP是AOB的平分线，AOP=BOP，OP=OP，根据HL需添加PCOA，PDOB，根据SAS需添加OC=OD，根据AAS需添加OPC=OPD，故选D【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键7. （2015河北,第20题3分）如图，BOC=9，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第

18、1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=9考点： 等腰三角形的性质分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得A1AB的度数，A2A1C的度数，A3A2B的度数，A4A3C的度数，依此得到规律，再根据三角形外角小于90即可求解解答： 解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，则AOA1=OA1A，A1OA2=A1A2A，BOC=9，A1AB=18，A2A1C=27，A3A2B=36的度数，A4A

19、3C=45，9n90，解得n10故答案为：9点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和8.（2015山东莱芜,第21题9分）如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由（2）求证：BE=CD，BECD考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定.专题： 证明题分析： （1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得B

20、G=BC，由CGB=45，ADB=45得ADCG，由CBD+ACB=180，得ACBD，得出四边形ACGD为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得DACBAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得BCECAD，易得CBE=ACD，由ACB=90，易得CFB=90，得出结论解答： （1）解：ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AB=BC，ABD和ACE均为等腰直角三角形，BD=BC=2BC，G为BD的中点，BG=BD=BC，CBG为等腰直角三角形，CGB=45，ADB=45， ADCG，ABD=45，ABC=45CBD=90，AC

21、B=90，CBD+ACB=180，ACBD，四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：EAB=EAC+CAB=90+45=135，CAD=DAB+BAC=90+45=135，EAB=CAD，在DAC与BAE中，DACBAE，BE=CD；EAC=BCA=90，EA=AC=BC，四边形ABCE为平行四边形，CE=AB=AD，在BCE与CAD中，BCECAD，CBE=ACD，ACD+BCD=90，CBE+BCD=90，CFB=90，即BECD点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键【达标检测答案】一选择题1（2016湖北黄石3

22、分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，A=50，则BDC=（）A50 B100 C120 D130【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到DCA=A，根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：DE是线段AC的垂直平分线，DA=DC，DCA=A=50，BDC=DCA+A=100，故选：B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 2. 如图，在等腰ABC中，AB=AC，BDAC，ABC=72，则ABD=（ ）A36 B54 C18 D64【答案】B【解析】AB=AC，

23、ABC=72，ABC=ACB=72，A=36，BDAC，ABD=9036=54故选B3.（2016湖北荆门3分）如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A5 B6 C8 D10【分析】勾股定理；等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质得到ADBC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8，故选C4. 如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ） A2个 B3个

24、 C4个 D5个【答案】D【解析】在ABC中，A=36，AB=AC，求得ABC=C=72，且ABC是等腰三角形因为BD是ABC的角平分线 所以ABD=DBC=36 所以ABD是等腰三角形在BDC中有三角形的内角和求出BDC=72 所以BDC是等腰三角形所以BD=BC=BE所以BDE是等腰三角形所以BDE=72, 所以ADE=36, 所以ADE是等腰三角形共5个故选D5（2016湖北荆门3分）已知3是关于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A7 B10 C11 D10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；

25、一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解：把x=3代入方程得93（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x27x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，当ABC的腰为4，底边为3时，则ABC的周长为4+4+3=11；当ABC的腰为3，底边为4时，则ABC的周长为3+3+4=10综上所述，该ABC的周长为10或11故选：D6. 如图，在ABC中，C=90，AB的垂直平分线交AB于D，交BC

26、于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A5 B10 C12 D13【答案】D.【解析】在RtCAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：又DE是AB的垂直平分线，BE=AE=13.故选D.7. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是( )A120 B90 C60 D30【答案】D【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：直角三角形中，一个锐角等于60，另一个锐角的度数=9060=30故选D8. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21 B. 20 C. 19 D. 18【答案】A【解析】由于等腰三角形的两

27、腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：8+8+5=21这个三角形的周长为21故选A9. 如图，在等边ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）A 8 B10 C3 D5【答案】A【解析】连结DE，作FHBC于H，如图，ABC为等边三角形，B=60，过D点作DEAB，则BE=BD=2，点E与点E重合，BDE=30，DE=BE=，DPF为等边三角形，PDF=60，DP=DF，EDP+HDF=90，HDF+DFH=90，EDP=DFH，在DPE和FDH中，PED=DHF，EDP=DFH，DP=FD，DPEFDH，FH=DE=，点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，BDF1=30+60=90，则DF1BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2QBC于Q，则DF2QADE，所以DQ=AE=102=8，F1F2=DQ=8，当点P从点E运动到点A时，点