卡尔曼滤波解读.docx

1、卡尔曼滤波解读目录一. 卡尔曼滤波的背景介绍 2二. 卡尔曼滤波的相关原理 2三. 卡尔曼滤波的简单理解 31.卡尔曼滤波器基本公式 32.卡尔曼滤波器算法 33.研究对象：房间的温度 5四. 卡尔曼滤波的实现形式 6五. 卡尔曼滤波的应用范围 6六. 卡尔曼滤波的典型实例 6卡尔曼滤波器在智能车中的应用 6七卡尔曼滤波器的不足与发展 121.卡尔曼滤波器的不足 122.卡尔曼滤波器的发展 133.自适应卡尔曼滤波(AKF) 13一. 卡尔曼滤波的背景介绍Kalman，匈牙利数学家。1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年

2、于哥伦比亚大学获得博士学位。卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线性滤波与预测问题的新方法）。卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理算法。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等二. 卡尔曼滤波的相关原理状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。一般来说，根据观测数据对随机量进

3、行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。比如对飞行器状态估计。状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于统计学中的估计理论。最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。其他如风险准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估计。真实值与估计值之差称为估计误差。若估计值的数学期与真实值相等，这种估计称为无偏估计。卡尔曼提出的递

4、推最优估计理论，采用状态空间描述法，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差（covariance）来判断。因为Kg2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已知T(k)=24.56度（最优估算值）T(k+1) 首先算出T(k)=24

5、.56度的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把协方差covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值。三. 卡尔曼滤波的简单理解1.卡尔曼滤波器基本公式（1）X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)（2）P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A

6、+Q （3）X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-HX(k|k-1)（4）Kg(k)= P(k|k-1) H / (HP(k|k-1) H + R)（5）P(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1)2.卡尔曼滤波器算法我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程来描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，它们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测

7、量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。它们被假设成高斯白噪声，它们的协方差分别是Q，R（这里我们假设它们不随系统状态变化而变化）。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1) 式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。我们用P表示协方差： P(k|k-1)=AP(k-1|k-

8、1) A+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3) 其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)=P(k|k-1)H/(HP(k|k-1) H +R) (4)到现在

9、为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差：P(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1) (5) 其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。3.研究对象：房间的温度据经验判断，房间的温度是恒定的（此刻的温度等于上一时刻的温度），一方面是我们对经验不是100%的相信，可能会上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），（偏差跟前后

10、时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。同样将这些偏差看成高斯白噪声。根据经验的预测值（系统预测值）：温度计的值（测量值）估计实际温度：与预测值和测量值以及他们各自的噪声决定估算k时刻的实际温度值1，假设T预测(K-1)=23度，高斯噪声偏差是5度2，假设T测量（K）=25度，高斯噪声偏差是4度如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢

11、？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差（covariance）来判断。因为Kg2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已知T(k)=24.56度（最优估算值）T(k+1) 首先算出T(k)=24.56度的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的

12、偏差（对应于上面的3）。就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把协方差covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值。四. 卡尔曼滤波的实现形式目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现.卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器.除此以外,还有施密特扩展滤波器,信息滤波器以及很多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种.最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机,计算机和几乎任何视频或通讯设备中广泛存在. 五. 卡尔曼滤波的应用范围

13、比如,在雷达中,人们感兴趣的是跟踪目标,但目标的位置,速度,加速度的测量值往往在任何时候都有噪声.卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响,得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波),也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑). 扩展卡尔曼滤波（EKF）扩展卡尔曼滤波器是由kalman filter考虑时间非线性的动态系统，常应用于目标跟踪系统。六. 卡尔曼滤波的典型实例卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，对物体位置的，包含噪声的观察序列预测出物体的坐标位置及速度. 在很多工程应用(雷达, 计算机视觉)中都可以找到它的

14、身影. 同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要话题。 卡尔曼滤波器在智能车中的应用飞思卡尔智能汽车竞赛是教育部倡导的全国大学生顶级赛事。目前该赛事参赛学校主要有上海交通大学、东南大学等985、211高校。第八届全国大学生“飞思卡尔”杯智能汽车竞赛中光电组要求直立运行。下面以图示的方式展示智能车的平衡原理 整个智能车包括了核心控制芯片xs128和一些外围的传感器通过加速度器和陀螺仪采集的信号经过单片机处理后，用pwm控制电机的正反转和速度，已达到智能车直立的目的。下面是整个系统的机构框图。接下来，主要介绍直立部分硬件和软件以及的信号采集和处理。最终可以得到理想的实验结果。下图是

15、传感器图和外围电路图。 加速度器 加速度器外围电路 陀螺仪 陀螺仪外围电路 实物图 陀螺仪与加速度传感器信号加速度计：测量线性运动，输出加速度，速度变化越快，输出量越大，通过三角函数计算可得到加速度计当前与重力方向的夹角。优点：无累积误差，长时间稳定。缺点：1、加速度计对震动非常敏感。电机转动以及路面崎岖等因素所产生的震动会有很大的噪声。2、当加速度计运动时，其输出量是运动加速度与重力加速度的混合数据，这会严重影响角度计算的准确性。陀螺仪：测量旋转运动，输出角速度，旋转越快，输出量越大，有了角速度数据后即可通过积分获得角度数据。优点：数据噪声较小，短时间内误差小。缺点：1、陀螺仪以及放大电路有

16、温漂。2、积分会产生累积误差，这种误差会随着时间推移而越来越严重，导致数据失效。在数据融合方面数据融合（取长补短） 加速度计长时间较准确，短时间误差大。陀螺仪短时间准确，长时间不准确。通过对两个传感器的有效融合和估计，可以获得合适的角度信息。用加速度传感器长时间稳定的特性，弥补陀螺仪的零点漂移及A/D采样值单调性误差积累增长。 在智能车的软件方面采用了卡尔曼滤波，下面是程序的结构框图，采用卡尔曼滤波可以取得很好的结果。部分程序滤波效果波效滤果可以看到智能车的信号采集采用卡尔曼滤波可以取得非常好的效果。可以有效的去处毛刺和外界干扰，经过滤波融合和可以得到平滑的波形。七卡尔曼滤波器的不足与发展1.

17、卡尔曼滤波器的不足滤波限制条件比较苛刻，它要求系统模型精确以及系统误差模型和观测误差模型已知，这在实际应用中是很难满足的，或者在系统工作过程中，模型发生变化，这些都导致传统KF的滤波发散或精度下降。计算机字长的限制，这种情况可能导致计算过程中出现舍入误差，从而导致方差阵P ( k | k)不对称引起滤波发散。观测数据发生突变，由于传感器故障或外部条件发生改变，极有可能出现数据突变，即野值，这会对滤波器的收敛性产生严重影响，甚至导致发散，可以说，野值是对滤波器稳定性的一个考验。2.卡尔曼滤波器的发展针对上述不足，很多学者提出了不同的方法加以克服，如限定记忆法、平方根滤波、渐消记忆滤波、自适应卡尔

18、曼滤波（AKF）、抗野值滤波等。其中，AKF因为具有自适应特性非常适合动态系统滤波而受到广泛重视。因此，在采用卡尔曼滤波处理动态测量数据时，一般都要考虑采取适当的自适应滤波方法来解决这一问题。3.自适应卡尔曼滤波(AKF)（2）相关AKF最基本的一种AKF方法相关法分为两类：输出相关法和信息相关法。输出相关法的主要思想是利用观测向量的相关性M(k) = EZ(k)ZT(k)自适应调整增益矩阵K(k)。缺陷：这种方法的主要缺陷是计算复杂，实时性难以满足要求。（3）多模型AKF它由一组卡尔曼滤波器组成，每一个卡尔曼滤波器使用不同的系统模型，各个卡尔曼滤波器并行运行，根据观测向量估计各自的状态。随着

19、时间的不断增加，系统会选出最优的一个滤波器并将其权值增大，而其它权值相应减小。多模型AKF性能最优的前提条件是所用的模型集包含了系统所有可能的模式，但是这个前提条件往往是很难满足的。（4）基于信息的AKF基于信息的AKF主要是通过调整噪声统计特性达到自适应的目的，解决了因为噪声统计特性不明确或噪声发生变化的情况。但是对于系统其它模型发生变化不能达到自适应的目的。（5）神经网络AKF神经网络作为人工智能技术中的一个领域，其主要优点在于它对系统的模型没有特别要求，只要有足够的用于训练的先验数据，就可以用训练的神经网络近似代替原系统。神经网络AKF可以满足系统其它模型不正确或者发生变化的问题。（6）模糊逻辑AKF卡尔曼滤波器通常要求系统动态过程和噪声都是确定的，且系统噪声和量测噪声都是零均值白噪声，如果系统存在模型误差或噪声不确定就有可能导致卡尔曼滤波器发散。模糊逻辑自适应卡尔曼滤波器o，它能够连续调整滤波器模型中的噪声力度，从而防止滤波器发散。