线代考研知识点牛人总结的超级强.docx

1、线代考研知识点牛人总结的超级强注：本篇可看做高等数学难点总结及习题解读的姊妹篇 呵呵再次强调下，本人所做的习题解读别离针对：同济五版线代 同济五版高数浙大版的概率等有时刻再写第一是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，能够把线性代数看做是在研究线性方程组这一对象的进程中成立起来的学科。线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数量s和未知数的个数n能够相同，也能够不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是不是有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，

2、即解的结构问题。高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方式，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、互换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。咱们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。任意的线性方程组都能够通过初等变换化为阶梯形方程组。由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以够依次解出每一个未知数的值，从而求得方程组的解。对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以能够把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提掏出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以够判断解的情形。咱们把如此一张由若干个数按某种方式组成的表称

3、为矩阵。能够用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都加倍简练。系数矩阵和增广矩阵。高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都能够通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再通过严格证明，可取得关于线性方程组解的判别定理：第一是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若取得的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则

4、方程组有解；在方程组有解的情形下，若阶梯形的非零行数量r等于未知量数量n，方程组有唯一解，若rn，则方程组有无穷多解。在利用初等变换取得阶梯型后，还可进一步取得最简形，利用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值加倍方便，但代价是之前需要通过更多的初等变换。在求解进程中，选择阶梯形仍是最简形，取决于个人适应。常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组必然有非零解。利用高斯消元法和解的判别定理，和能够回答前述的大体问题（1）解的存在性问题和（2）如何求解的问题，这是以线性方程组为起点成立起来的最大体理论。对

5、于n个方程n个未知数的特殊情形，咱们发觉能够利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。通过对行列式进行研究，取得了行列式具有的一些性质（如互换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于咱们更方便的计算行列式。用系数行列式能够判断n个方程的n元线性方程组的解的情形，这就是克莱姆法则。总而言之，可把行列式看做是为了研究方程数量与未知量数量相等的特殊情形时引出的一部份内容。线性代数知识点框架（二）在利用高斯消元法求解线性方程组的进程中，涉及到一种

6、重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有无解，有多少解的问题，需要概念如此的运算，这提示咱们能够把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算。数域上的n元有序数组称为n维向量。设向量a=(a1,a2,.,an)，称ai是a的第i个分量。n元有序数组写成一行，称为行向量，同时它也能够写为一列，称为列向量。要注意的是，行向量和列向量没有本质区别，只是元素的写法不同。矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系。对给定的向量组，能够概念它的一个线性组合。线性表出概念的是一个向量和另外一组向量之间的彼此关系。利用矩阵的列向量组，咱们能够把一个

7、线性方程组有无解的问题转化为一个向量可否由另外一组向量线性表出的问题。同时要注意那个结论的双向作用。从简单例子（如几何空间中的三个向量）能够看到，若是一个向量a1能由另外两个向量a二、a3线性表出，则这三个向量共面，反之则不共面。为了研究向量个数更多时的类似情形，咱们把上述两种对向量组的描述进行推行，即可取得线性相关和线性无关的概念。通过一些简单例子体会线性相关和线性无关（零向量必然线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等）。从多个角度（线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度）体会线性相关和线性无关的本质。部份组线性相关，整个向量组线性相关。向量组线性无关，延伸组线性无关

8、。回到线性方程组的解的问题，即一个向量b在什么情形下能由另一个向量组a1,a2,.,an线性表出？若是那个向量组本身是线性无关的，可通过度析当即取得答案：b, a1, a2, ., an线性相关。若是那个向量组本身是线性相关的，则需进一步探讨。任意一个向量组，都能够通过依次减少那个向量组中向量的个数找到它的一个部份组，那个部份组的特点是：本身线性无关，从向量组的其余向量中任取一个进去，取得的新的向量组都线性相关，咱们把这种部份组称作一个向量组的极大线性无关组。若是一个向量组A中的每一个向量都能被另一个向量组B线性表出，则称A能被B线性表出。若是A和B能彼此线性表出，称A和B等价。一个向量组可能

9、又不止一个极大线性无关组，但能够肯定的是，向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价。注意到一个重要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难理解的，例如不共面的三个向量（对应线性无关）的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，咱们将那个数量r称为向量组的秩。向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数量。等价的向量组有相同的秩。有了秩的概念以后，咱们能够把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而取得线性方程组的有解的充分必要条件：若系数矩阵的列向

10、量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。向量组的秩是一个自然数，由那个自然数就可以够判断向量组是线性相关仍是线性无关，由此可见，秩是一个超级深刻而重要的概念，故有必要进一步研究向量组的秩的计算方式。线性代数知识点框架（三）为了求向量组的秩，咱们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组的秩称为行秩。对阶梯形矩阵进行考察，发觉阶梯形矩阵的行秩等于列秩，而且都等于阶梯形的非零行的数量，而且主元所在的列组成列向量组的一个极大线性无关组。矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=

11、J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来讲，其行秩和列秩相等，咱们统称为矩阵的秩。通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方式。考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。因此若是只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，能够对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。矩阵的秩，同时又可概念为不为零的子式的最高阶数。满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零。既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则能够把线性方程组有解的充分必要条件加倍简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵

12、的秩。另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数量n，有唯一解，rn，有无穷多解。齐次线性方程组的解的结构问题，能够用基础解系来表示。当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。通过对具体实例进行分析，能够看到求基础解系的方式仍是在于用初等行变换化阶梯形。非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。线性代数知识点框架（四）在之前研究线性方程组的解的进程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。矩阵的另外一个

13、重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。即能够把一个矩阵看做是一种线性变换在数学上的表述。矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。矩阵乘法的特点：若C=AB，则C的第i行、第j列的元素是A的第i行与B的第j列的元素对应乘积之和；A的列数要和B的行数相同；C的行数是A的行数，列数是B的列数。需要主义的是矩阵乘法不知足互换律，知足结合律。利用矩阵乘积的写法，线性方程组可更简单的表示为：Ax=b。对于C=AB，还可作如下分析：将左侧的矩阵A写成列向量组的形式，即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示，

14、从而推知C的列秩小于等于A的列秩；将右边的矩阵B写成行向量组的形式，即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示，从而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩，最终可取得结论，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。关于矩阵乘积的另外一个重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。一些特殊的矩阵：单位阵、对角阵、初等矩阵。尤其要注意，初等矩阵是单位阵通过一次初等变换取得的矩阵。每一个初等矩阵对应一个初等变换，因为左乘的形式为PA（P为初等矩阵），将A写成行向量组的形式，PA意味着对A做了一次初等行变换；同理，AP意味着对A做

15、了一次初等列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。若AB=E，则称A为可逆矩阵，B是A的逆阵，一样，这时的B也是可逆矩阵，注意可逆矩阵必然是方阵。第一种求逆阵的方式：伴随阵。这种方式的理论依据是行列式的按行（列）展开。矩阵可逆，行列式不为零，行（列）向量组线性无关，满秩，要注意这些结论之间的充分必要性。单位阵和初等矩阵都是可逆的。若矩阵可逆，则必然能够通过初等变换化为单位阵，这是不难理解的，因为初等矩阵满秩，故最后化成的阶梯型（最简形）中非零行数量等于行数，主元数量等于列数，这即是单位阵。进一步，既然可逆矩阵能够通过初等变换化为单位阵，而初等变换对应的是初等矩阵，即意味着：可逆矩阵能够通过左

16、（右）乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩阵可看做是一系列初等矩阵的乘积，因为单位阵在乘积中可略去。可逆矩阵作为因子不会改变被乘（无论左乘右乘）的矩阵的秩。由于可逆矩阵能够看做是一系列初等矩阵的乘积，能够想象，一样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上，结果是将那个单位阵变成原来矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的第二种方式：初等变换。需要注意的是那个进程中不能混用行列变换，且一样是左乘对应行变换，右乘对应列变换。矩阵分块，即可把矩阵中的某些行和列的元素看做一个整体，对这些被看做是整体的对象组成的新的矩阵，运算法则仍然适用。将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式，实际也就是一种最多见的对矩阵进行分块的

17、方式。线性代数知识点框架（五）由矩阵乘法的特点可知，计算一个矩阵A的n次方，相对于数乘运算来讲要繁琐得多。咱们注意到，若是存在可逆矩阵P和对角矩阵，使得A=P*P逆，那么有：An=（P*P逆）n=（P*P逆）（P*P逆）（P*P逆）=P*n*P逆由于对角矩阵的乘方容易计算，从而问题取得大幅简化。对矩阵A、B来讲，若是存在着可逆矩阵P，使得A=P *B*P逆，咱们称A与B是相似的。特别地，若是A与对角矩阵相似，则称A可对角化。由此可见，若是矩阵A可对角化，那么An的计算将变得简单许多。故可把相似的说法理解为一个在寻觅矩阵乘方简便运算的进程中提出来的概念。相似的矩阵有许多一路的性质，如有相同的秩和

18、相同的行列式值，相似的矩阵或都可逆，或都不可逆，等等。设矩阵A相似于对角矩阵，那么：A=P*P逆 AP=P，其中P为可逆矩阵 A*（a1, a2, , an）=（a1, a2, , an）*，其中a1, a2, , an别离为可逆矩阵P的列向量，1, 2, , n别离为对角矩阵的主对角线上元素 A*a1=1*a1，A*a2=2*a2，A*an=n*an也就是说，矩阵A能对角化的关键，在于找到n个常数1, 2, , n和n个线性无关的向量a1, a2, , an（因为这些向量组成的矩阵可逆，这也决定了零向量不是特征向量），使得A*ai=i*ai（i=1，2，3，n）。咱们把知足条件A*ai=i*

19、ai的i称为矩阵A的特征值，ai称为矩阵A对应特征值i的特征向量。换句话说，一个矩阵能够相似于对角矩阵的充分必要条件是：存在n个线性无关的特征向量。接下来的问题是如何求矩阵的特征值和特征向量？一个方案是从概念A*ai=i*ai动身，直接寻觅知足如此要求的i 和ai，但这一般是不容易做到的，故还有必要去成立一种更为普遍的方式。设A*ai=i*ai（A-i*E）*ai=0 对i来讲，ai是齐次线性方程组（A-i*E）*X=0的一个非零解（因为ai组成的向量组线性无关） 方程组的系数行列式det（A-i*E）=0由此可见，每一个特征值i都是多项式det（A-*E）在指定数域（一般是实数域）上的根，咱

20、们称那个多项式为矩阵A的特征多项式，不难验证，它是一个的n次多项式。依据特征方程det（A-*E）=0，即可求出矩阵A的全数特征值。对矩阵A的每一个特征值i，求齐次线性方程组（A-i*E）*X=0的解，取得的全数非零解（一般可用基础解系表示）就是A的属于特征值i的全数特征向量。由此可取得两点启迪：对同一个特征值来讲，特征向量不唯一；对同一特征值来讲，特征向量的线性组合仍为特征向量。相似的矩阵有相同的特征多项式和特征值，但有相同特征多项式的两个矩阵不必然相似。相似的矩阵有相同的秩，故一个可对角化矩阵的非零特征值的数量即为其秩。在求出矩阵的全数特征值和全数特征向量以后，剩下的问题就是判断这些所有的

21、特征向量中有无n个是线性无关的？若是有，意味着矩阵可对角化，若是没有，则矩阵不可对角化。对一个矩阵A来讲，考虑到其n个特征值可能相同也可能不同，故最一般的情形应该是把A的这n个特征值分为m组，别离为1, 2, , m，每组的个数别离为j1，j2，jm（注意有j1+j2+jm=n），对每一个i（i=1，2，m），齐次线性方程组（A-i*E）*X=0的基础解系解向量的个数别离为r1，r2，rm，这些基础解系各自固然都是A的线性无关的特征向量，自然会进一步联想，把这m组共r1+r2+rm个向量合在一路情形如何，是不是仍线性无关？通过考察发觉，矩阵A的属于不同的特征值的特征向量必然线性无关。故上述r1

22、+r2+rm个来自不同特征值的特征向量组成的向量组确实是线性无关的。于是不难有如下结论，若r1+r2+rm=n，则A有n个线性无关的特征向量，从而A可对角化，若r1+r2+rm0。判断一个二次型的正定性，一种选择是直接从概念动身，另一种方案可考虑利用规范型（因为无论正定负定都是一个定性而非定量的结论），而实际上正定二次型的许多性质也确实能通过其规范型相联系，这是值得注意的。接下来是习题解读同济五版线性代数习题解读（一）一、利用对角线法则计算行列式，能够通过几道小题熟悉一下把行列式化成上（下）三角的进程，大体题。二、3题涉及排列和行列式的展开准则，不是过重要，了解即可。4、五、6题是一些计算行列

23、式的练习，不同特点的行列式通常有不同的方式，常见的就是化为上（下）三角，按行（列）展开，某一行（列）是和的形式可进行拆分，大体题，要通过这些练习来熟练行列式的运算这一块。5题虽然是以方程形式给出，但考察点仍是计算。7、行列式性质的应用，比较重要的题型，重在对思维的训练，而且该题的结论很常常利用，最好掌握。八、一些难度较高的行列式的计算题，涉及到很多技能，而这些技能通常初学者是想不到的，这时能够看看答案，体会一下答案的做法，对这块内容的要求和不定积分是类似的。九、设计巧妙的题目，隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；若是不同行（列）的元

24、素和代数余子式对应相乘求和，结果为0。注意此题要求的结果是第三行的代数余子式的某种组合，而按照代数余子式的概念可知，这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以够按照需要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，如此问题就简化为求一个新的行列式，而无需烦琐的进行四次求代数余子式的运算。此题技能性较强，但那个构思方式值得掌握。10、克兰姆法则的应用，归根结底仍是计算行列式。1一、12题是通过行列式来判断齐次方程组的解的情形，大体题，在已经温习完一遍线代后也能够用其它方式（化阶梯行、求秩）来做。总的来讲，第一章的习题多数超级大体，集中于计算层面的考察，没有理解上的难度。同济五版线性代数

25、习题解读（二）1 、矩阵乘法的大体练习，简单题，但计算很容易犯错，不可轻视，（5）小题实际上就是第五章要接触的二次型。二、直接考察矩阵相关运算，大体题。3、矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换，还给出了从z到y的变换，要求z到x的变换。既然一个矩阵能够表示一个线性变换，两个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加，这也是提供了一个侧面去理解矩阵相乘的意义。4、5题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如矩阵乘法不能互换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较重要的，因为有时能在考场上派上用处，需要熟悉。六、7题是求矩阵乘方的题目，大体题，但要注意些适当的技能，比如拆成两个特殊矩阵的和，能简化运算。八、9是关于对称阵概念的考查，不难但重要，因为这种题即是线代里证明题的代表：几乎都要从概念动身证明。所以从这两道题取得的启发是要把线代上的每一个知