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1、版高考数学大一轮复习第十章计数原理101分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题理北师大版第十章 计数原理 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题 理 北师大版1分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称加法原理)2分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称乘法原理)3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数它

2、们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同办法中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类办法中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共

3、有m1m2m3mn种方法()(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()1用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279答案B解析根据乘法原理，用0,1，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252.故选B.2(教材改编)已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A12 B8 C

4、6 D4答案C解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326，故选C.个数为()A14 B13 C12 D10答案B解析当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.4(2016陕西西藏民族学院附中期末)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1,2的两个盒子里，使得放入每

5、个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A52种 B36种 C20种 D10种答案D解析1号盒放1个，2号盒放3个，方法种数是C4；1号盒放2个，2号盒放2个，方法种数是C6.根据加法原理，不同的放球方法有4610(种)5(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，根据乘法原理，不同的报名方法共有2222232(种).题型一分类加法计数原理的应用例1高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班

6、有学生55人，其中男生35人，女生20人(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法根据加法原理，任选一名学生任学生会主席共有506055165(种)不同的选法(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任

7、选一名共有20种选法根据加法原理，共有30302080(种)不同的选法思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类(2016全国丙卷)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个 B16个 C14个 D12个答案C一起时有C个，共28414(个)题型二分步乘法计数原理的应用例2(1)(2016全国甲卷)如图，小明从街道的E

8、处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法答案(1)B(2)120解析(1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径条数为6318，故选B.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据乘法原理，可得不同的报名方法共有654120(种)引申探究1本例(2)中若将条件“每项限报

9、一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据乘法原理，可得不同的报名方法共有36729(种)2本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据乘法原理，可得不同的报名方法共有63216(种)思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只

10、有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)(2017石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种答案(1)100(2)4554解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数写有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据乘法原理，三位数个数为554100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的

11、可能性题型三两个计数原理的综合应用例3(1)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_答案(1)260(2)36解析(1)区域A有5处涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法所以共有5445433260(种)涂色

12、方法(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解(2017济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_答案96解析按区域1与

13、3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3涂同色，共有4A24(种)方法(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法这时共有A21372(种)方法根据加法原理，不同的涂色种数为247296.13利用两个基本原理解决计数问题典例(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A24种 B4种 C43种 D34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有_种错解展示

14、解析(1)因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，所以共有333334(种)投法(2)乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，共有3412(种)方法答案(1)D(2)12现场纠错解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法只要把这3封信投完，就做完了这件事情，根据乘法原理，共有43种方法(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据加法原理，可得此人的走法共有437(种)答案(1)C(2)7纠错心得(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步(2)把握完成一件事情的标准，如典例(1)没

15、有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误1(2016三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A8种 B9种C10种 D11种答案B解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，根据加法原理，共有3339(种)不同的监考方法2小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有()A4种 B5种 C6种 D9种答案B3将2名

16、教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有()A12种 B10种C9种 D8种答案A解析第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C6(种)选派方法根据乘法原理，不同的选派方案共有2612(种)共有()A144个 B120个 C96个 D72个答案B解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3A72(个)；若万位是4，则有2A48(个)，故比40 000大的偶数共有7248120(个)故选B.5将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白

17、三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有()A1种 B3种C6种 D9种答案C解析因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色故有3216(种)涂色方案6将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种C24种 D36种答案A解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有A2112(种)不同的排列方法个方格的标号与所填数字均不相同的填法有_种答案9解析编号为1的方

18、格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法根据加法原理，共有3339(种)不同的填法8如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种答案13解析四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共3种可能故不通的情况有24313(种)可能不同对数值的个数为_答案17解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A20(个)对数，但log23log49，log32log9

19、4，log24log39，log42log93.综上可知，共有201417(个)不同的对数值 (1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个答案(1)90(2)910n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计91090(种)填法，即4位回文数有90个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格根据乘法原理，有910n种填法11有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多

20、少种不同选法？解(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为36817. (2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6814(种)选法，根据乘法原理，总方法数为31442. (3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种根据乘法原理，总方法数为368144(种)12如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数解方法一设染色按SABCD的顺序进行，对S，A，B染色，有54360(种)染色方法由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故

21、分类讨论：C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择从而对C、D染色有13227(种)染色方法根据乘法原理，不同的染色方法种数为607420.方法二根据所用颜色种数分类，可分三类第一类：用3种颜色，此时A与C，B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点，共A60(种)涂法；第二类：用4种颜色，此时A与C，B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A240(种)；第三类：用5种颜色，涂法种数共A120(种)综上可知，满足题意的染色方法种数为60240120420. (1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数？其中偶函数有多少个？(2)yax2bxc可以表示多少个图像开口向上的二次函数？解(1)a的取值有5种情况，b的取值6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180(个)不同的二次函数若二次函数为偶函数，则b0，故有5630(个)(2)yax2bxc的图像开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672(个)图像开口向上的二次函数