一元二次方程求解公式法求解.docx

1、一元二次方程求解公式法求解一元二次方程求解（公式法求解）一选择题（共 2 小题）1已知 a 是一元二次方程 x2 x1=0 较大的根，则下面对 a 的估计正确的是（ ）A0a1 B1a1.5C1.5a2D 2 a 32一元二次方程 x2+2x 6=0 的根是（ ）Ax1=x2= Bx1=0，x2=2 C x1=， x2= 3 Dx1=， x2=3二填空题（共 19 小题）方程x2 | x| 1=0 的根是34已知等腰三角形的一腰为x，周长为 20，则方程 x212x+31=0 的根为5已知代数式 7x（ x+5）+10 与代数式 9x9 的值互为相反数，则 x=若2+3xy 2y2，那么=6x

2、=07一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a 0）的求根公式是 ，条件是 8用公式法解方程 2x2 7x+1=0，其中 b24ac= ， x1= ，x2= 一元二次方程24a7=0 的解为9a10小明同学用配方法推导关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式时， 对于 b24ac 0 的情况，他是这样做的：小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是 11（1）解下列方程：x2 2x 2=0； 2x2+3x 1=0； 2x2 4x+1=0；x2 +6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一

3、元二次方程的求根公式已知x=（b24c0），则 x2+bx+c 的值为12方程26x1=0 的负数根为132x方程23x+1=0 的解是14x已知一元二次方程2 3x=1，则 b24ac=152x16方程 x24x 7=0 的根是17一元二次方程 3x24x 2=0 的解是18有一个数值转换机， 其流程如图所示：若输入 a= 6，则输出的 x 的值为 19已知 ab0，且，则 =方程25x+3=0 的解是20x2+abb2，则=21若实数 a，b 满足 a=0三解答题（共 19 小题）22解方程： x2 3x+1=023解方程： x2 5x+2=024解方程： x2 3x7=0252x2+3x

4、1=026解下列方程（1）用配方法解方程： 2x2+5x+3=0；（ 2）用公式法解方程：（ x 2）（x4）=1227解下列方程：（1） x2 2x=2x+1（配方法）（2） 2x2 2x5=0（公式法）28解方程： 2x25x+1=029解方程：（1） x2 6x6=0（2） 2x2 7x+6=030解方程： 2x2+3x1=031解方程： x2+3x+1=032（ 1）解方程： x2=3（x+1）（ 2）用配方法解方程： x22x24=033用公式法解下列方程2x2 +6=7x34解方程： x2+3x2=035解方程： 2x23x 1=036解方程： 3x26x 2=037用公式法解方程

5、： x2+x1=038解方程（l）2x23x+1=0（公式法）（2） 3x2 6x+4=0（配方法）39设关于 x 的二次方程（k26k+8）x2+（2k26k4）x+k2=4 的两根都是整数求满足条件的所有实数 k 的值40解方程： 3x24x 1=0一元二次方程求解（公式法求解）参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1（2014?荆州）已知 a 是一元二次方程 x2 x 1=0 较大的根，则下面对 a 的估计正确的是（ ）A0a1 B1a1.5 C1.5a2 D 2 a 3 【分析】 先求出方程的解，再求出的围，最后即可得出答案【解答】 解：解方程 x2 x 1=0 得： x=，a 是

6、方程 x2x1=0 较大的根， a=，2 3，31+4， 2，故选： C【点评】本题考查了解一元二次方程， 估算无理数的大小的应用， 题目是一道比较典型的题目，难度适中2（2014?）一元二次方程 x2+2x6=0 的根是（）Ax1=x2= Bx1=0，x2=2C x1=， x2= 3 Dx1=， x2=3【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数 b 及常数项 c，再根据 x=，将 a，b 及 c 的值代入计算，即可求出原方程的解【解答】 解： a=1， b=2，c= 6x= 2，x1=， x2= 3；故选： C【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解， 利用公式法解一元二次方程时，首

7、先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式 0 时，将 a，b 及 c 的值代入求根公式即可求出原方程的解二填空题（共 19 小题）（2011春 桐城市月考）方程2| x| 1=0 的根是或 3?x【分析】分 x0 和 x0 两种情况进行讨论，当 x 0 时，方程 x2x1=0；当 x0 时，方程 x2+x 1=0；分别求符合条件的解即可【解答】 解：当 x 0 时，方程 x2 x1=0； x=；当 x0 时，方程 x2+x1=0； x=， x=；故答案为或【点评】本题考查了一元二次方程的解法公式法， 要特别注意分类讨论思想的运用4（2014?下城

8、区一模）已知等腰三角形的一腰为 x，周长为 20，则方程 x2 12x+31=0 的根为 6 【分析】 求出方程的解得到 x 的值，即为腰长，检验即可得到方程的解【解答】 解：方程 x212x+31=0，变形得： x212x= 31，配方得： x212x+36=5，即（ x6）2=5，开方得： x6=，解得： x=6+或 x=6，当 x=6时， 2x=1222012+2，不能构成三角形，舍去，则方程 x212x+31=0 的根为 6+故答案为： 6+【点评】此题考查了解一元二次方程公式法， 三角形的三边关系， 以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键5（2015 秋?阳县月考）已知

9、代数式 7x（x+5）+10 与代数式 9x9 的值互为相反数，则 x= 【分析】 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到 x 的值【解答】 解：根据题意得： 7x（ x+5） +10+9x9=0，整理得： 7x2+44x+1=0，这里 a=7， b=44， c=1， =442 28=1908，x=故答案为：【点评】此题考查了解一元二次方程公式法， 熟练掌握求根公式是解本题的关键（呼和浩特模拟）若2+3xy 2y2，那么=62012?x=0【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知， 方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用 “换元法 ”、“公式法 ”解答即可【解答】 解

10、：由原方程，得两边同时乘以得：（） 2+32=0设 =t，则上式方程即为：t 2+3t2=0，解得， t=，所以 =；故答案是：【点评】本题考查了解一元二次方程公式法 解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程7（ 2016 秋 ?新沂市校级月考）一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0）的求根公式是 ，条件是 b24ac0 【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法， 解一元二次方程 ax2+bx+c=0【解答】 解：由一元二次方程 ax2+bx+c=0，移项，得 ax2+bx=c化系数为 1，得 x2 +x=配方，得 x2+x+= +即：（ x+）2=当 b24ac 0 时，开方

11、，得 x+=解得： x=故答案为：， b24ac0【点评】 本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法8（ 2011秋 册亨县校级月考）用公式法解方程27x+1=0，其中 b24ac=?2x41 ，x1= ，x2 = 【分析】 根据已知得出 a=2，b= 7， c=1，代入 b24ac 求出即可，再代入公式x=求出即可【解答】 解： 2x2 7x+1=0，a=2， b=7，c=1，b24ac=（ 7）2421=41，x=，x1=， x2=，故答案为： 41，【点评】本题考查了对解一元二次方程公式法的应用， 关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力9（201

12、1?）一元二次方程 a24a 7=0 的解为 a1=2+， a2 =2 【分析】 用公式法直接求解即可【解答】 解： a=2，a1=2+，a2=2，故答案为： a1=2+， a2=2【点评】 本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定 a，b，c 的值（注意符号）；求出 b24ac 的值（若 b2 4ac0，方程无实数根）；在 b2 4ac0 的前提下，把 a、b、c 的值代入公式进行计算求出方程的根注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个： a 0； b24ac 010（2016?丰台区一模）小明同学用配方法推导关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=

13、0 的求根公式时，对于 b24ac0 的情况，他是这样做的：小明的解法从第四 步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义 【分析】 根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误； 这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义【点评】 本题考查了解一元二次方程配方法用配方法解一元二次方程的步骤：（ 1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方； 第三步左边写成完全平方式； 第四步，直接开方即可（2）形如 ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x

14、2 +px+q=0，然后配方11（2000?区）（ 1）解下列方程： x22x 2=0；2x2+3x1=0；2x24x+1=0；x2+6x+3=0；（ 2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 【分析】（1）直接代入公式计算即可（2）其中方程的一次项系数为偶数 2n（n 是整数）然后再利用求根公式代入计算即可【解答】 解：（1）解方程 x2 2x2=0， a=1，b= 2， c=2， x=1，x1=1+，x2=1解方程 2x2+3x l=0， a=2，b=3，c= 1，x=，x1=， x2=（2 分）解方程

15、2x24x+1=0，a=2，b= 4， c=1， x=，x1=，x2=（3 分）解方程 x2+6x+3=0，a=1，b=6，c=3， x=3，x1=， x2=（4 分）（ 2）其中方程的一次项系数为偶数 2n（ n 是整数）（8 分）一元二次方程 ax2+bx+c=0，其中 b24ac0，b=2n，n 为整数b24ac0，即（ 2n）24ac0， n2ac 0， x=（11 分）一元二次方程 ax2+2nx+c=0（ n2ac 0）的求根公式为（ 12 分）【点评】 本题主要考查了解一元二次方程的公式法关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简（2016秋 安陆市期中）已知x=（b24c0

16、），则 x2+bx+c 的值为 0 12?【分析】 把 x 的值代入代数式，再进行计算即可【解答】 解： x=（b24c0），x2+bx+c =（） 2+b+c=+c=0故答案为： 0【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键（2015秋 校级月考）方程26x 1=0 的负数根为 x= 13?2x【分析】 先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可【解答】 解： =（ 6） 242（ 1）=44，x=，所以 x1=0，x2=0即方程的负数根为 x=故答案为 x=【点评】本题考查了公式法解一元二次方程： 用求根

17、公式解一元二次方程的方法是公式法（）方程x2 3x+1=0 的解是x1 ， 2142010?= x =【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c 的值，在 b24ac0的前提条件下，代入求根公式进行计算【解答】 解： a=1，b=3，c=1，b2 4ac=94=5 0，x=；x1=， x2=故答案为： x1=， x2=【点评】在一元二次方程的四种解法中， 公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程 但对某些特殊形式的一元二次方程， 用直接开平方法简便因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解15（2011 秋?浠水县校级月考）已知一元二次方程 2x23x=1，则

18、 b2 4ac= 17 【分析】先将已知方程转化为一般式方程，然后将 a、b、c 的数值代入所求的代数式，并求值即可【解答】 解：由原方程，得2x2 3x 1=0，二次项系数 a=2，一次项系数 b=3，常数项 c=1，b24ac=（ 3）242（ 1）=9+8=17；故答案是： 17【点评】本题考查了解一元二次方程公式法在求 b24ac 的值时，需要熟悉该代数式中的 a、 b、 c 所表示的意义（2013秋 邹平县校级期末）方程x24x7=0 的根是x1 ， 2 16?=2+ x =2【分析】 先求出 b24ac 的值，最后代入公式求出即可【解答】 解： x24x7=0，b2 4ac=（ 4

19、）2 4 1（ 7）=44，x=，x1=2+， x2=2，故答案为：；【点评】本题考查了解一元二次方程的应用， 主要考查学生能否正确运用公式解一元二次方程17（ 2012 秋?开县校级月考）一元二次方程 3x24x2=0 的解是 【分析】 利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案【解答】 解： a=3， b=4，c=2， =b24ac=（ 4）243（ 2）=40，x=故答案为：【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的知识 此题难度不大， 注意熟记公式是关键18（2012 秋 ?周宁县期中）有一个数值转换机， 其流程如图所示： 若输入 a=6，则输出的 x 的值为 无解 【分析】 将 a

20、= 6 代入方程 x2 3xa=0 中，利用公式法求出方程的解即可【解答】 解：输入的数 a=60，代入得： x23x+6=0，这里 a=1， b=3，c=6， =9 24=150，则此方程无解故答案为：无解【点评】 此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时，找出b 及 c 的值，代入求根公式即可求出解a，19（ 2012?家港市模拟）已知 a b 0，且，则 = 【分析】根据题意得到 a26ab+b2=0，把它看作为 a 的一元二次方程，利用求根公式得到 a=（32）b，由于 ab0，则 a=（32）b，然后把 a=（32）b代入所求的代数式中进行化简即可【解答】 解：法 +=6，

21、a26ab+b2=0，a=（3 2）b， a b 0，a=（32）b，=法：原式通分得： a2+b2=6ab；则（ a+b） 2=8ab，（a b）2=4ab又 ab0；故 a+b=， a b=所以故答案为【点评】本题考查了解一元二次方程公式法： 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式为： x=（b24ac 0）也考查了二次根式的混合运算（达州）方程25x+3=0 的解是202002?x【分析】观察方程，此题用公式法解答比较简单，首先确定a，b，c 的值，判断方程是否有解，若有解直接代入公式求解即可【解答】 解：根据求根公式可知： x=【点评】 公式法适用于任何一元二次方程方程a

22、x2+bx+c=0 的解为 x=，需要熟练掌握（2010秋 仪征市校级月考）若实数，b满足2+ab b2，则=21?aa=0【分析】 把 b 看成常数，解关于 a 的一元二次方程，然后求出的值【解答】 解： a2+ab b2=0 =b2+4b2=5b2a=b =故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把 b 看成是常数， 用求根公式解关于 a 的一元二次方程，然后求出的值三解答题（共 19 小题）22（ 2015?东西湖区校级模拟）解方程： x23x+1=0【分析】 先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可【解答】 解： a=1， b=3，c=1b24ac=5x=故

23、，【点评】此题比较简单， 考查了一元二次方程的解法， 解题时注意选择适宜的解题方法23（ 2015?模拟）解方程： x25x+2=0【分析】 找出 a， b 及 c 的值，得到根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解【解答】 解：这里 a=1，b=5，c=2， =258=170， x=，则 x1=，x2=【点评】此题考查了解一元二次方程公式法， 利用公式法解方程时， 首先将方程整理为一般形式，找出 a，b 及 c 的值，当根的判别式的值大于等于 0 时，代入求根公式即可求出解24（ 2015?黄陂区校级模拟）解方程： x23x7=0【分析】 利用求根公式 x=来解方程【解答】 解：在方程

24、 x2 3x7=0 中， a=1，b=3，c= 7则x=，解得 x1=， x2=【点评】 本题考查了解一元二次方程公式法熟记公式是解题的关键25（ 2008?）2x2+3x1=0【分析】此题考查了公式法解一元二次方程， 解题时要注意将方程化为一般形式，确定 a，b，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解【解答】 解： a=2， b=3，c= 1b24ac=170x=x1=， x2=【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式， 要注意将方程化为一般形式， 确定a、b、c 的值26（ 2016 春?泰山区期中）解下列方程（1）用配方法解方程： 2x2+5x+3=0；（2）用公式法解方

25、程：（ x 2）（x4）=12【分析】（1）根据配方法的步骤先两边都除以 2，移项，配方，开方即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）把 a=1，b=6，c= 4 代入求根公式 x=计算即可【解答】 解：（1）方程两边同除以 2，得： x2+x+=0，移项，得 x2+=，配方，得 x2+x+（） 2=+（） 2，（x+）2=，x+=或 x+=，x1=l ；x2=；（2）原方程可化为： x2 6x 4=0， a=1，b= 6， c=4； x=， x=3，x1=3+， x2=3；【点评】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程， 关键是能正确配方， 配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方27（2015 春?沂源县期末）解下列方程：（1） x2 2x=2x+1（配方法）（2） 2x2 2x5=0（公式法）【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可【解答】 解：（1）方程整理得： x2 4x=1，配方得： x24x+4=5，即（ x