1、离散数学知识点总结总结 离散数学知识点第2章 命题逻辑1.,前键为真,后键为假才为假;,相同为真,不同为假;2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积;3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反;4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假;5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写;6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项;7.n个变元共有个极小项或极大项,这为(0-1)刚好为化简完后的主析取加主合取;8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式;9.推证蕴含
2、式的方法(=):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 真值表法;直接证法;归谬法;附加前提法;第3章 谓词逻辑1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;2.全称量词用蕴含,存在量词用合取;3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词;第4章 集合1.N,表示自然数集,1,2,3,不包括0;2.基:集合A中不同元素的个数,|A|;3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A);4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有个元
3、素,|P(A)|=;5.集合的分划:(等价关系) 每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; 这几个子集相交为空,相并为全(A);6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次;第5章 关系1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔AB的基数为mn,A到B上可以定义种不同的关系;2.若集合A有n个元素,则|AA|=,A上有个不同的关系;3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性;4.前域(domR):所有元素x组成的
4、集合; 后域(ranR):所有元素y组成的集合;5.自反闭包:r(R)=RU; 对称闭包:s(R)=RU; 传递闭包:t(R)=RUUU6.等价关系:集合A上的二元关系R满足自反性,对称性和传递性,则R称为等价关系;7.偏序关系:集合A上的关系R满足自反性,反对称性和传递性,则称R是A上的一个偏序关系;8.covA=|x,y属于A,y盖住x;9.极小元:集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一); 极大元:集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一); 最小元:比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一); 最大元:比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一);10.前提:B是A的子
5、集 上界:A中的某个元素比B中任意元素都大,称这个元素是B的上界(若存在,可能不唯一); 下界:A中的某个元素比B中任意元素都小,称这个元素是B的下界(若存在,可能不唯一); 上确界:最小的上界(若存在就一定唯一); 下确界:最大的下界(若存在就一定唯一);第6章 函数1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有种不同的关系,有种不同的函数;2.在一个有n个元素的集合上,可以有种不同的关系,有种不同的函数,有n!种不同的双射;3.若|X|=m,|Y|=n,且m=n,则从X到Y有种不同的单射;4.单射:f:X-Y,对任意,属于X,且,若f()f(); 满射:f:X-Y,对值域中任意一个元素y在前域
6、中都有一个或多个元素对应; 双射:f:X-Y,若f既是单射又是满射,则f是双射;5.复合函数:fg=g(f(x);6.设函数f:A-B,g:B-C,那么 如果f,g都是单射,则fg也是单射; 如果f,g都是满射,则fg也是满射; 如果f,g都是双射,则fg也是双射; 如果fg是双射,则f是单射,g是满射;第7章 代数系统1.二元运算:集合A上的二元运算就是到A的映射;2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从AA到A上的映射的个数,即从从AA到A上函数的个数,若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为=16种;3. 判断二元运算的性质方法:封闭性:运算表内只有所给元素;交换律:主对角线两边元素对
7、称相等;幂等律:主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同;有幺元:元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同;有零元:元素所对应的行和列的元素都与该元素相同;4.同态映射:,满足f(a*b)=f(a)f(b),则f为由到的同态映射;若f是双射,则称为同构;第8章 群1.广群的性质:封闭性; 半群的性质:封闭性,结合律; 含幺半群(独异点):封闭性,结合律,有幺元; 群的性质:封闭性,结合律,有幺元,有逆元;2.群没有零元;3.阿贝尔群(交换群):封闭性,结合律,有幺元,有逆元,交换律;4.循环群中幺元不能是生成元;5.任何一个循环群必定是阿贝尔群;第10章 格与布尔代数1.格:偏序集合A
8、中任意两个元素都有上、下确界;2.格的基本性质: 1) 自反性 aa 对偶: aa 2) 反对称性 ab ba = a=b 对偶:ab ba = a=b 3) 传递性 ab bc = ac 对偶:ab bc = ac 4) 最大下界描述之一 aba 对偶 avba Abb 对偶 avbb 5)最大下界描述之二 ca,cb = cab 对偶ca,cb = cavb 6) 结合律 a(bc)=(ab)c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律 aa=a 对偶 ava=a 8) 吸收律 a(avb)=a 对偶 av(ab)=a 9) ab ab=a avb=b 10) ac,bd = a
9、bcd avbcvd 11) 保序性 bc = abac avbavc 12) 分配不等式 av(bc)(avb)(avc) 对偶 a(bvc)(ab)v(ac) 13)模不等式 ac av(bc)(avb)c3.分配格:满足a(bvc)=(ab)v(ac)和av(bc)=(avb)(avc);4.分配格的充要条件:该格没有任何子格与钻石格或五环格同构;5.链格一定是分配格,分配格必定是模格;6.全上界:集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素,则称a为格A,的全上界,记为1;(若存在则唯一) 全下界:集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素,则称b为格A,的全下界,记为0;(若存
10、在则唯一)7.有界格:有全上界和全下界的格称为有界格,即有0和1的格;8.补元:在有界格内,如果ab=0,avb=1,则a和b互为补元;9.有补格:在有界格内,每个元素都至少有一个补元;10.有补分配格(布尔格):既是有补格,又是分配格;11.布尔代数:一个有补分配格称为布尔代数;第11章 图论1.邻接:两点之间有边连接,则点与点邻接;2.关联:两点之间有边连接,则这两点与边关联;3.平凡图:只有一个孤立点构成的图;4.简单图:不含平行边和环的图;5.无向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图; 有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图;6.无向完全图有n(n
11、-1)/2条边,有向完全图有n(n-1)条边;7.r-正则图:每个节点度数均为r的图;8.握手定理:节点度数的总和等于边的两倍;9.任何图中,度数为奇数的节点个数必定是偶数个;10.任何有向图中,所有节点入度之和等于所有节点的出度之和;11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路;12.可达:对于图中的两个节点,,若存在连接到的路,则称与相互可达,也称与是连通的;在有向图中,若存在到的路,则称到可达;13.强连通:有向图章任意两节点相互可达; 单向连通:图中两节点至少有一个方向可达; 弱连通:无向图的连通;(弱连通必定是单向连通)14.点割集:删去图中的某些点后所得的子图不连通了,如果删去
12、其他几个点后子图之间仍是连通的,则这些点组成的集合称为点割集; 割点:如果一个点构成点割集,即删去图中的一个点后所得子图是不连通的,则该点称为割点;15.关联矩阵:M(G),是与关联的次数,节点为行,边为列; 无向图:点与边无关系关联数为0,有关系为1,有环为2; 有向图:点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1, 关联矩阵的特点:无向图: 行:每个节点关联的边,即节点的度; 列:每条边关联的节点;有向图: 所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵:A(G),是邻接到的边的数目,点为行,点为列;17.可达矩阵:P(G),至少存在一条回路的矩阵,点为行,点为列; P(G)=A(
13、G)+(G)+(G)+(G) 可达矩阵的特点:表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路,以及在任何节点上是否存在回路; A(G)中所有数的和:表示图中路径长度为1的通路条数; (G)中所有数的和:表示图中路径长度为2的通路条数; (G)中所有数的和:表示图中路径长度为3的通路条数; (G)中所有数的和:表示图中路径长度为4的通路条数;P(G)中主对角线所有数的和:表示图中的回路条数;18.布尔矩阵:B(G),到有路为1,无路则为0,点为行,点为列;19.代价矩阵:邻接矩阵元素为1的用权值表示,为0的用无穷大表示,节点自身到自身的权值为0;20.生成树:只访问每个节点一次,经过的节点和边构成的子
14、图;21.构造生成树的两种方法:深度优先;广度优先; 深度优先: 选定起始点; 选择一个与邻接且未被访问过的节点; 从出发按邻接方向继续访问,当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时,回到该节点的前一个点,再寻求未被访问过的邻接点,直到所有节点都被访问过一次;广度优先: 选定起始点; 访问与邻接的所有节点,这些作为第一层节点; 在第一层节点中选定一个节点为起点; 重复,直到所有节点都被访问过一次;22.最小生成树:具有最小权值(T)的生成树;23.构造最小生成树的三种方法: 克鲁斯卡尔方法;管梅谷算法;普利姆算法; (1)克鲁斯卡尔方法 将所有权值按从小到大排列; 先画权值最小的边,然后去掉其边值
15、;重新按小到大排序; 再画权值最小的边,若最小的边有几条相同的,选择时要满足不能出现回路,然后去掉其边值;重新按小到大排序; 重复,直到所有节点都被访问过一次; (2)管梅谷算法(破圈法) 在图中取一回路,去掉回路中最大权值的边得一子图; 在子图中再取一回路,去掉回路中最大权值的边再得一子图; 重复,直到所有节点都被访问过一次; (3)普利姆算法 在图中任取一点为起点,连接边值最小的邻接点; 以邻接点为起点,找到邻接的最小边值,如果最小边值比邻接的所有边值都小(除已连接的边值),直接连接,否则退回,连接现在的最小边值(除已连接的边值); 重复操作,直到所有节点都被访问过一次;24.关键路径例2
16、 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解:最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max0+1=1 TE(v3)=max0+2,1+0=2 TE(v4)=max0+3,2+2=4 TE(v5)=max1+3,4+4=8 TE(v6)=max2+4,8+1=9 TE(v7)=max1+4,2+4=6 TE(v8)=max9+1,6+6=12最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min12-6=6 TL(v6)=min12-1=11 TL(v5)=min11-1=10 TL(v4)=min10-4=6 TL(v3)=min6-2,11-4,6-
17、4=2 TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2 TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=0缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路:经过图中每条边一次且仅一次的通路; 欧拉回路:经过图中每条边一次且仅一次的回路; 欧拉图:具有欧拉回路的图; 单向欧拉路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路; 欧拉单向回路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路;26.
18、(1)无向图中存在欧拉路的充要条件: 连通图;有0个或2个奇数度节点; (2)无向图中存在欧拉回路的充要条件: 连通图;所有节点度数均为偶数; (3)连通有向图含有单向欧拉路的充要条件:除两个节点外,每个节点入度=出度;这两个节点中,一个节点的入度比出度多1,另一个节点的入;度比出度少1;(4)连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件: 图中每个节点的出度=入度;27.哈密顿路:经过图中每个节点一次且仅一次的通路; 哈密顿回路:经过图中每个节点一次且仅一次的回路; 哈密顿图:具有哈密顿回路的图;28.判定哈密顿图(没有充要条件) 必要条件: 任意去掉图中n个节点及关联的边后,得到的分图数目小于等于
19、n; 充分条件: 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数;29.哈密顿图的应用:安排圆桌会议; 方法:将每一个人看做一个节点,将每个人与和他能交流的人连接,找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图),即可;30.平面图:将图形的交叉边进行改造后,不会出现边的交叉,则是平面图;31.面次:面的边界回路长度称为该面的次;32.一个有限平面图,面的次数之和等于其边数的两倍;33.欧拉定理:假设一个连通平面图有v个节点,e条边,r个面,则 v-e+r=2;34.判断是平面图的必要条件:(若不满足,就一定不是平面图) 设图G是v个节点,e条边的简单连通平面图,若v=3,则e=1); 深
20、度为k的二叉树的节点总数最多为-1个,最少k个(k=1); 如果有个叶子,个2度节点,则=+1; 42.二叉树的节点遍历方法: 先根顺序(DLR); 中根顺序(LDR); 后根顺序(LRD); 43.哈夫曼树:用哈夫曼算法构造的最优二叉树;44.最优二叉树的构造方法: 将给定的权值按从小到大排序; 取两个最小值分支点的左右子树(左小右大),去掉已选的这两个权值,并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值; 重复,直达所有权值构造完毕;45.哈夫曼编码:在最优二叉树上,按照左0右1的规则,用0和1代替所有边的权值; 每个节点的编码:从根到该节点经过的0和1组成的一排编码;欢迎您的下载,资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习课件等等打造全网一站式需求
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