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1、建筑力学教案建筑力学教案检查与回顾1. 梁的内力图规律。 2. 梁的内力值得控制截面有哪些？新授课 第四节平面图形的几何性质 构件的横截面都是具有一定几何形状的平面图形，与平面图形的形状、尺寸有关的几何量都叫做平面图形的几何性质，例如面积A、抗扭截面系数等。由于轴向拉、压杆的正应力、纵向变形都与截面面积A有关，受扭圆轴的剪应力与抗扭截面系数肼有关，所以，平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因素之一。本节将集中讨论有关的几个平面图形的几何性质。 一、形心和面积矩 (一)形心 平面图形的形心就是其几何中心。当平面图形具有对称中心时，对称中心就是形心，例如圆形、圆环、正方形，它们的对称中心就是

2、形心；具有两个对称轴的平面图形，形心就在对称轴的交点上(图622)；只有一个对称轴的平面图形，其形心一定在对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需要计算才能确定。例如图623中的T形，其形心一定在对称轴y上，而坐标Y。值需要计算。 图622 图623 (二)面积矩 平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离Yc(至彳轴)的乘积，叫做该平面图形对该平面图形对z轴的面积矩，用Sz表示(图623) Sz=AYc 面积矩的单位是长度的三次方，常用mm3或m3，有时也用cm3。 由面积矩的定义可知：平面图形对过形心轴的面积矩一定为零。 (三)形心坐标公式 建筑工程中常用构件的截面形状，除简单的平面图形外，

3、一般都可划分成几个简单平面图形的组合，习惯上叫做组合图形。例如图624中的T形截面，可视为两个矩形的组合。若两个矩形的面积是AhA2，它们到某一坐标轴z的形心坐标分别为y1、y2，根据面积矩定义，可以写出它们对石轴的面积矩是 Slz=A1Y1 S2z=A2Y2若T形截面的全面积为A，整个图形对z轴的形心坐标是yc，那么，全面积对。轴的面积矩，就等于各部分面积对z轴面积矩的代数和，即 AYc=A1Yl+A2Y2得 yc= (A1Yl+A2Y2)/A利用上式就可以确定T形截面的形心位置。当组合图形划分为若干个简单平面图形时，则有A。Yc=AiYi 式中：A组合截面的全面积： yc组合截面对z轴的形

4、心坐标； Ai组合截面中各部分的截面面积； 图624 Yi各部分面积对z轴的形心坐标； siz各部分面积对Z-轴的面积矩。同理可得 zc=Aizi/A 例612试计算图624所示T形截面对z轴的形心坐标yc。 解:将T形截面划分为两个矩形A。、A：，它们的面积和对：轴的形心坐标分别是 Al=2080=160 mm2，Y1=90 mm A2=2080=160 mm2，Y2=40 mmT形截面对z轴的形心坐标Yc，按式(61)计算 Yc= yc= (A1Yl+A2Y2)/A=(160x90+160x40)/(160+160) =65 mm 例613试确定图625中槽形截面的形心位置(对z轴)。(图

5、中尺寸单位为cm)。解(1)槽形截面面积可视为矩形ABCD的面积Al与矩形abcd的面积A2之差，即 A1=820=160 cm2 A2=6 X 16=96 cm2 A=A1一A2=16096=64 cm2 (2)槽形截面的形心必定在对称轴Y轴上。取z轴靠截面的下边线，计算对z轴的形心坐标Y。由图中各部分的尺寸可1=4 cm；y2=3 cm AiYi= A1YlA2Y2图625yc=(1604-963)/64=5.5cm总结：一、形心和面积矩、(二)面积矩、(三)形心坐标公式作业：P162 6-9检查与回顾 1、组合图形的形心坐标公式 2、面积矩新授课 二、惯性矩 把平面图形分成无数多个微小面

6、积，用每一块微小面积乘以其形心到某一坐标轴距离的平方，再把这些乘积叠加起来，这个值就叫做平面图形对该轴的惯性矩。惯性矩用符号，；表示(下脚标是指对z轴的惯性矩)，单位是长度的四次方，常用mm4或m4，也可用cm4。由于在计算惯性矩时，要把平面图形分成无数多个微小面积，通常用高等数学计算，所以这里只引用几种常用平面图形的惯性矩计算公式供使用。 正方形，边长为a，zc轴过形心且与底边平行。正方形对zc轴的惯性矩是：Izc=a4/12 矩形，宽度为b、高度为h，zc轴过形心且与底边平行。矩形对zc轴的惯性矩是：Izc=bh3/12 圆形，直径为D，对形心轴ZC的惯性矩是 Izc=D4/64 由惯性矩

7、的定义可知：平面图形对任一轴的惯性矩恒为正值；同一平面图形对不同位置的坐标轴的惯性矩不同。 例614在图626a的矩形中，已知6=3 cm；h=4 cm；试计算该矩形对形心轴zc、Yc的惯性矩IzC，Iyc。 解(1)计算Izc：Izc=bh3/12=343/12=16cm3 (2)计算Iyc:Izc=bh3/12=433/12=9cm3 三、惯性矩的平行移轴公式 在今后的力学计算中，需要计算组合图形对其形心轴的惯性矩。例如图627中的T形，需要算出整个图形对形心轴z的惯性矩Iz。 可将T形视为矩形A1、A2的组合，分别算出A1、A2对z轴的惯性矩I1z、I2z，并把它们相加，就得到T形对形心

8、轴z的惯性矩Iz Iz=I1z+I2z 现在先计算矩形A1对z轴的惯性矩I1z。矩形Al的形心是C1，I轴通过形心C1且与底边平行，z轴与I轴平行且间距为a。可以算出，矩形A1对z轴的惯性矩是 I1z=I1+a2A1上式叫做惯性矩的平行移轴公式。它表明：平面图形对任一牟由的惯性矩，等于平面图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两轴之间距离平方的乘积。由式(65)可以看出：平面图形对一组平行轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。 应用式(65)可写出矩形A2对z轴的惯性矩是 I2z=I11+b2A2所以，T形对形心轴z的惯性矩是Iz=I1z+I2z=I1+a2A1+I11+b2A2

9、图 627应用惯性矩的平行移轴公式，可以求出组合图形对形心轴的惯性矩。例615 T形各部分尺寸如图628所示。试计算T形对形心轴y、z轴的惯性矩。解(1)确定形心轴位置。对称轴Y轴就是形心轴。为确定形心轴。的坐标yc，设参考轴zo如图所示。将图形分为两个矩形A1、A2，它们的面积和对轴的形心坐标分别是 Al=2 x 6=12击；y1=5 cm A2=26=12击；y2=1 cm (2)计算惯性矩Iy。形心轴y0通过矩形A1、A2的形心，所以，整个图形对y轴的惯性矩Iy等于两个矩形对Y轴的惯性矩之和，即 Iy=I1y+I2y=623/12+263/12=40cm (3)计算惯性矩Iz。由于z轴不

10、通过矩形A1、A2的形心，所以，它们对z轴的惯性矩要用平行移轴公式计算 al=2 cm；a2=2 cmI1z=I1c+a12A1=263/12+2212=84cm4 I2z=I2c+a22A2=623/12+2212=52cm4整个图形对z轴的惯性矩为Iz= I1z +I2z=84+52=136 cm4总结：1、 常见截面的惯性矩计算公式2、 惯性矩的平行移轴公式作业：P163 6-10、6-11、6-12检查与回顾 1、常见截面的惯性矩计算公式2、惯性矩的平行移轴公式新授课 第五节 梁的正应力及其强度条件前面讨论了梁的内力计算及内力图，根据内力图可确定梁的内力最大值及其所在位置。为解决梁的强

11、度计算问题，还需要研究横截面上的应力分布规律和计算式。 梁的横截面上有剪力V和弯矩肘两种内力。剪力V是与横截面相切的内力，由它分布在各点的应力必定也与横截面相切，那就是剪应力。弯矩M是力偶矩，它只能由横截面上的正应力仃组成，剪与应力r无关(图629)。这就是说：梁弯曲时横截面上有两种应力：剪应力r和正应力盯。梁的正应力是影响梁强度的主要因素，下面将着重讨论。图629 一、梁的正应力分布规律 为了解正应力在横截面上的分布情况，可先观察梁的变形。取一根弹性较好的梁(例如橡胶梁)，在梁的表面画上与梁轴平行的纵向线及垂直于梁轴的横向线(图630a)。于是在梁的表面形成许多小方格，然后，使梁发生弯曲变形

12、(图630b)即可观察到以下现象： 1各横向线仍为直线，只是倾斜了一个角度； 2各纵向线弯成曲线，梁下部的纤维伸长，上部的纤维缩短。 可以认为梁内部的变形情况与梁表面一样。所以，可作出如下的分析与假设： 1梁的各横向线所代表的横截面，在变形前是平面，变形后仍为平面(平面假设)。 2纵向线的伸长与缩短，表明了梁内各点分别受到纵向拉伸或压缩。由梁下部的受拉而伸长逐渐过渡到梁上部受压而缩短，于是，梁内必定有一既不伸长也不缩短的层，这一不受拉、不受压、长度不变的层叫做中性层，中性层与横截面的交线叫做中性轴(图630c)。中性轴通过截面的形心并与竖向对称轴垂直。由此可知：梁弯曲时，各横截面绕中性轴做微小

13、的转动，使梁发生了纵向伸长或缩短，而中性轴上的各点变形为零，距中性轴最远的上、下边缘变形最大，其余各点的变形与该点到中性轴的距离成正比。M (b) (c) 图630 图631 在材料的弹性受力范围内，正应力与纵向应变成正比。可见，横截面上正应力的分布规律与各点的变形规律一样：上、下边缘的点应力最大，中性轴上为零，其余各点的应力大小与到中性轴的距离成正比，如图631所示。二、梁的正应力计算 梁横截面上各点的正应力计算式可表示为=E上式中的纵向应变值e与所计算的点至中性轴的距离Y成正比；与反映梁弯曲程度的曲率1/成反比，即 =1/y 于是，正应力计算式可表示为 =E1/y 梁的曲率与截面的弯矩成正

14、比；与截面的抗弯刚度EIz成反比，即 1/=M/EIz得正应力计算公式为 =My/Iz上式中：M截面上的弯矩； y所计算点到中性轴的距离； Iz截面对中性轴的惯性矩。式(66)说明：梁横截面上任一点的正应力与该截面的弯矩M及该点到中性轴的距离y成正比，与该截面对中性轴的惯性矩Iz成反比；正应力沿截面高度呈线性分布规律，中性轴上各点的正应力为零。 用式(66)计算梁的正应力时，弯矩M与某点至中性轴的距离y均以绝对值代入，而正应力的正、负号则由梁的变形判定：以中性轴为界，梁变形后的凸出边是拉应力取正号；凹入边是压应力取负号。 例616简支梁受均布荷载作用，q=35 kNJm，梁的截面为矩形，b=1

15、20mm，h=180 mm，跨度l=3 m。试计算跨中截面上o、b、c三点的正应力(图632)。解(1)画出梁的弯矩图如图632b所示，跨中弯矩 M=1/8ql2=1/8Izc=bh3/12353=394 kN。m (2)计算正应力：用式(66)d：计算各点的正应力。 Iz=bh3/12=0.12 0.183/12=58.3210-6m4各点至中性轴的距离分别为 ya=h/2=90 mm；yb=50 mm；yc：90 mm a=Mya/Iz=(3941030.09)/ 58.3210-6=608 MPa(拉应力)b=Myb/Iz=(3941030.05)/ 58.3210-6=3.38 MPa

16、(拉应力)c=Myc/Iz=(3941030.09)/ 58.3210-6=608 MPa(压应力)三、梁的正应力强度条件 弯曲变形的梁，最大弯矩M一所在的截面是危险截面，该截面上距中性轴最远边缘ymax处的正应力最大，是危险点： max=Mmaxymax/Iz由于Iz、Ymax都是与截面的几何尺寸有关的量，若用Wz表示，正应力最大值计算式可写 max=Mmax/Wz Wz叫做抗弯截面系数。图633中矩形截面的Wz= bh2/6，圆形截面的Wy=Wz= =D3/32，正方形截面的Wy=Wz=a3/6抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量，常用单位是m3或mm3 保证梁内最大正应力不超过材料

17、的许用应力，就是梁的强度条件，可分两种情况表达如下： 1材料的抗拉与抗压能力相同，正应力强度条件为 max =Mnxa/W1 (68) 2材料的抗拉与抗压能力不同时，常将梁的截面做成上、下与中性轴不对称的形式，例如T形。这时，梁的正应力强度条件应同时满足 max (拉)= Mnxa/W1拉 max (压)：Mnxa/W2 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题： 1校核强度。在已知梁的截面尺寸、材料及所受荷载情况下，对梁做正应力强度校核 max =Mnxa/W1 2选择截面。在已知梁的材料及荷载时，可根据强度条件确定抗弯截面系数WzMmax/ 再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。 3

18、计算许用荷载。在已知梁的材料及截面尺寸时，先根据强度条件计算此梁能承受的最大弯矩 Mnxa Wz 再由M一与荷载的关系计算出许用荷载值。 例6一17某简支木梁的跨度l=4 m，其圆形截面的直径d=160 mm，梁上受均布荷载作用。已知q=2 kNm，木材弯曲时的许用正应力仃=11胁(图635)，试校核梁的正应力强度。 图 635 解(1)最大弯矩发生在跨中截面，其值为 Mmax=1/8ql2=1/82 x 42=4 kNm (2)计算抗弯截面系数形，。Wz =D3/32= 1603/32=401.9 103mm3(3)校核正应力强度。 max =Mnxa/Wz=4106/401.9 103 =

19、10 MPa所以要重选截面。 (4)按剪应力的强度条件重选工字钢型号。选I 25b试算。 Iz/Sz=2127cm b1 =lcm再进行强度校核max=VSz/Izb1=210 x103/212.7x10=98.7Mpa 最后确定选用工字钢I 25b。图652第七节 梁的主应力迹线前面讨论了梁在横截面上的应力分布规律及计算，并分别建立了横截面上的正应力和剪应力强度条件： max ； max 实际上，梁往往还会沿斜截面发生破坏。例如钢筋混凝土梁在荷载作用下，除产生跨中的竖向裂缝外，在支座附近还发生斜向裂缝(图653)。这种现象说明：在梁的斜截面上还存在着导致使梁发生破坏的应力。 计算表明：在荷载

20、作用下，梁内的任一点，在任一斜截面上都存在着应力，这个应力值与该点横截面上的正应力和剪 图6一53应力值有关，而且随斜截面的倾斜角度的变化而变化。在某点的许多斜截匾上的应力值中，总有一个最大值和一个最小值，这个最大值叫做主拉应力，最小值叫做主压应力。如果在梁内计算出许多点的主拉应力值并确定其方向，再把各点的主拉应力的方向连接起来，就可以形成一条光滑的曲线。这条曲线就叫做主拉应力迹线。用同样的方法，也可以画出梁的主压应力迹线。图654画出了简支梁在均布荷载作用下的主应力迹线：图中的实线是主拉应力迹线：虚线是主压应力迹线。从图中看到：所有的主应力迹线与梁的中性层的交角均为45。；在梁的上、下边缘处，主应力迹线与梁