完整版初中常见定理证明.docx

1、完整版初中常见定理证明初中常见定理的证明一、三角形1、运用你所学过的三角形全等的知识去证明定理：有两个角相等的三 角形是 等腰三角 形（用图形 中的 符号表达已知、求 证， 并证明，证明 对各步骤要注明依据）2、证明定理：等腰三 角形的两个底角相等 （画出图形、写出 已知、求 证并证明）3、叙述并证明三角形 内角和定理要求写 出定理、已知、求证 ，画出 图形，并写出证明过程4、我们知道，证明三 角形内角和定理的一 种思路是力求将三角 形的三 个内角转化到同一个顶点的三个相邻的角，从而利用平角定义来 得到结 论，你能想出多少种不同的方法呢？同学之 间可相互交流5、三角形中位线定理 ，是我们非常熟

2、悉的 定理请你 在下面的横线上 ，完整地叙述 出这个定理：根据这个定理画出图 形，写出已知和求证，并对该定理给出证明是 ，这 个命题正确吗？ 若正确， 请你证 明这个命题，若不正确请说明 理由7、用所学定理、定义 证明命题证明：直角 三角形斜边上的中线 等于斜 边的一半8、同学们，这学期我 们学过不少定理，你 还记得“在直角三角 形中， 如果一 个锐角等于30度，那么它所对的直 角边等于斜边 的一半 ”，请你 写出它的逆命题，并证明它的真假解： 原命 题的 逆命 题 为：在直 角三 角形 中，如果 一条 直角 边等 于斜边 的一 半，那么 这条直 角边 所对 的角 是 309、利用图（1）或

3、图（ 2）两个图形中的有 关面积的等量关系都 能证明 数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的 结论其数学表达式 是10、利用图中图形 的有 关面积的等量关系都 能证明数学中一个十 分著名 的定理，此证明方法就 是美国第二十任总统 伽菲尔德最先完成的 ，人们 为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法 这个定理称 为 ，该定理的结 论其 数学表达式 是11、 定理 表述 请你根据图 1 中的直角 三角形，写出勾股定 理内容；尝试证明以图 1 中的直角三角形 为基础，可以构造出 以 a、b为底，以 a+b 为高定理 表述 ：直 角三 角形中，两 直角 边的 平方和 等于 斜边 的平 方证明

4、 ： S 四 边 形 ABCD =S ABE +S AED +S CDE= 22 BD=C，D AD BC请 证明等腰三角形 的“三12 、如图， ABC中， AB=AC， BAD= CAD， 你选择其中的两个作为条件，另两个作为结 论 线合一”性质定理13、课本指出：公认的 真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如 推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实（1）叙述三角形全等 的判定方法中的推论 AAS；（ 2 ） 证 明 推 论 AAS要求：叙述推论用文字 表达；用图形中的符 号表达已知、求证，并证明， 证明对各步骤要注明依据14、在数学课外活动中，某学习小组在讨论 “导学案”上

5、的一个作业题： 已知： 如图，OA平分 BAC， 1=2求证：AO BC同学甲说：要作辅助线；同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决 ：同学丙 说：要应用等腰三角形“三线 合一”的性质 定理来解决 如果你是这个学习小组的成员，请你结合同 学们的讨论写出证明 过程15、证明：勾股定理逆定理已知：在 ABC中， AB=c,AC=b,BC=a ,若 c2 =a2 + b2 求证： C = 90 度证明：作 RTDEF，使 E=RT， DE=b ,EF=a在 RT DEF中， DF2 = ED2 + EF2 = a 2 +b2 因为 c2 =a 2 + b 2 所以 DF =c所以 DF=AB，DE=

6、AC， EF=BC 所以 RTDFE ABC (SSS) 所以 C=E = RT二、四边形 (一)梯形1、定理证明：“等腰 梯形的两条对角线相 等”2、用两种方法证明等 腰梯形判定定理：在 同一底上的两个角相 等的梯 形是等腰梯形（要求：画出图形，写出已知 、求证、证明）证法一：如图，分别过点Ar作AE丄DC于点E，BF丄DC于点F，VAE丄DC，BF 丄DCJ 2AED=ZBFC = 90 AE EFV AB DC，四边形ABFE是柜形，-AE=EF. 2D=ZC，ADEBCF.-AD=BC.棉形AECD是等If梯形证法二过点B作BEV ABDC BE” AD，四边形ABED是平行四边形.-

7、 AD=BE VBEZ/AD i ND=ZEEC -. ZD=C . ZBEC=ZC BE=BC. BC=AD.梯形ABCD是等Q要梯形3、在 梯形 ABCD中，如 图所 示， ADBC， 点 E、 F 分别是 AB、 CD的 中 点， 连 接 EF， EF 叫做梯形的中位线 观察 EF 的位置， 联想三角形的中位线定理，请 你猜想：EF与 AD、 BC有怎样的 位置和数 量关系并证明你的猜想4、采用如图所示 的方 法，可以把梯形 ABCD折叠成一个矩形 EFNM（图中 EF， FN， EM为折痕），使得点 A与 B、C与 D分别重合于一点 请问， 线段 EF的位置如 何确 定；通过这种图形变

8、 化，你能看出哪些定 理或公式（至少三个）？证明 你的所有结论解： 可以 看出 梯形 的 中位 线定 理、 面积 公 式、 平行 线的 性质 定 理等 （二）平行四边形1、定理证明：一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形2、定理求证：对角线 互相平分的四边形是 平行四边形3、我们在几何的学习 中能发现，很多图形 的性质定理与判定定 理之间 有着一 定的联系例如：菱 形的性质定理“菱形 的对角线互相垂 直”和 菱形的判定定理“对角 线互相垂直的平行四 边形是菱形”就是这 样但 是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对 角线平分一组对角”却没 有给出类似的判定定理，请你利用如图所示 图形研究一下这

9、个问 题 要求：如果有类似的判定定理，请写出已知 、求证并证明如果 没有， 请举出反例（三）圆 证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。 （圆周角与圆心角的关系）已知在O中， BOC与圆周角 BAC同对弧 BC，求证： BOC=2 BAC.证明：情况 1：如图 1，当圆心 O在BAC的一边上时，即 A、O、B 在同一直线 上时：图 1OA、 OC是半径解： OA=OCBAC=ACO（等边对等角） BOC是AOC的外角 BOC= BAC+ACO=2 BAC情况 2：如图 2, ，当圆心 O在 BAC的内部时： 连接 AO，并延长 AO交O于 D 图 2OA、 OB、

10、OC是半径解： OA=OB=OCBAD=ABO，CAD=ACO（等边对等角）BOD、COD分别是 AOB、AOC的外角 BOD= BAD+ABO=2 BAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）COD= CAD+ACO=2 CAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） BOC= BOD+ COD=2（ BAD+CAD）=2BAC情况 3：如图 3，当圆心 O在 BAC的外部时：图 3 连接 AO，并延长 AO交O于 D 连接 OA,OB。 解： OA、 OB、 OC、是半径BAD=ABO(等边对等角) , CAD=ACO(OA=O)CDOB、DOC分别是 AOB、AOC的外角 DOB= BAD+ABO=2 BAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）DOC= CAD+ACO=2 CAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）BOC= DOC- DOB=2（ CAD- BAD）=2BAC