江苏数学高考真题.docx

1、江苏数学高考真题2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4 页，均为非选择题 (第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫 黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3. 请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4. 作答试题，必须用 0.5 毫 黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5. 如需作图，须用

2、 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式： 锥体的体积 V1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合 A0,1,2,8 ， B 1,1,6,8 ，那么 A B 2. 若复数 z 满足 i z 1 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S的值为 5. 函数f ( x) log 2 x1 的定义域

3、为 6. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 7. 已知函数 ysin(2 x)( )2 2的图象关于直线 x对称，则 的值是 3x2 y28. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线2 2 1(aa b0,b0) 的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3 c ，则其离心率的值是 2cos x ,0x 2,9. 函数 f ( x) 满足 f ( x 4) f ( x)( x R) ，且在区间 ( 2,2 上，f ( x)2| x 1 |, - 22则x 0,f ( f (15) 的值为 10. 如图所示，正方体的棱长为

4、 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11. 32若函数f ( x) 2x ax1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点，则f ( x) 在 1,1上的最大值与最小值的和为 12. 在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线l : y2 x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若AB CD0 ，则点 A 的横坐标为 13. 在 ABC中，角A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，ABC120， ABC 的平分线交 AC*n *于点 D，且 BD 1，则 4a c 的最小值为 14已知集合 A x | x2n 1,n N

5、， B x | x2 ,n N 将 A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an 记Sn 为数列 an 的前 n 项和， 则使得 Sn12an1 成立的n 的最小值为 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在平行六面体ABCD A1 B1C1 D1 中，AA1AB, AB1B1C1 求证：（ 1） AB平面 A1B1C ；（ 2） 平面 ABB1 A1 平面 A1BC 16（本小题满分 14 分）已知 , 为锐角，tan4 ， cos( ) 5 3 5（ 1）求 cos2 的值；（ 2）

6、求 tan( ) 的值17（本小题满分 14 分）某农场有一块农田， 如图所示， 它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （ P 为此圆弧的中点） 和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 ，点 P 到 MN 的距离为 50 现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为 CDP，要求A, B 均在线段 MN 上，C, D 均在圆弧上设 OC与 MN 所成的角为 （ 1）用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；（ 2）若大棚内种植甲种蔬菜， 大棚内种植乙种蔬菜， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3 求

7、当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18（本小题满分 16 分）( 3, )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C过点 12，焦点F1 ( 3,0), F2 ( 3,0)，圆 O 的直径为F1 F2 （ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（ 2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于求直线 l 的方程A, B 两点若 OAB的面积为 2 6 ，719（本小题满分 16 分）记 f ( x), g( x)分别为函数f ( x), g( x)的导函数若存在x0 R ，满足f (x0 )g

8、( x0 ) 且f ( x0 )g ( x0 ) ，则称x0 为函数f ( x)与 g(x) 的一个“ S 点”（ 1）证明：函数f ( x)x 与 g(x)x2 2x2不存在“ S 点”；（ 2）若函数f (x)ax21与 g( x) ln x 存在“ S 点”，求实数 a 的值；（ 3）已知函数f ( x)x2 a ，g( x)bex x对任意 a0 ，判断是否存在b 0 ，使函数 f (x) 与 g( x) 在区间 (0, ) 内存在“ S点”，并说明理由20（本小题满分 16 分）设 an 是首项为a1 ，公差为 d 的等差数列， bn 是首项为b1 ，公比为 q 的等比数列*（ 1）

9、设 a10,b11,q2 ，若| anbn |b1 对 n1,2,3,4均成立，求 d 的取值范围；（ 2 ） 若a1 b10, mN , q(1, m 2， 证 明 ： 存 在 d R ， 使 得| an bn |b1 对n 2,3, , m1均成立，并求 d 的取值范围（用b1 , m,q 表示）数学试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题 5 分，共计 70 分11， 8 22 3 90 4852 ， +） 6 3107 6822 49 102 3113 12 313 9 1427二、解答题15. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系

10、，考查空间想象能力和推理论证能力满分 14 分证明：（ 1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB A1B1因为 AB 平面 A1B1C， A1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（ 2）在平行六面体 ABCD-A1B1 C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形，因此 AB1 A1B又因为 AB1 B1C1， BC B1 C1， 所以 AB1 BC又因为 A1BBC=B，A1B 平面 A1BC， BC 平面 A1BC， 所以 AB1 平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1 A1

11、平面 A1BC16. 本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力满分 14 分解：（ 1）因为tan4 ， tan3sincos，所以sin4 cos 3因为 sin 2cos21 ，所以cos2 9 ，25因此，cos2 2cos21 7 25（ 2）因为, 为锐角，所以(0, ) 又因为cos( )5 ，所以5sin( ) 1 cos2 ( )2 5 ，5因此 tan( ) 2 因为 tan4 ，所以tan 22tan 24 ，3 1 tan2 7因此，tan( ) tan2 ( )tan 2 tan( ) 2 1+ tan 2 tan( ) 1117

12、. 本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分 14 分解：（ 1）连结 PO并延长交 MN 于 H，则 PHMN ，所以 OH=10 过 O 作 OE BC于 E，则 OE MN，所以 COE=，故 OE=40cos， EC=40sin，则矩形 ABCD的面积为 240cos （ 40sin+10） =800（ 4sincos+cos）， CDP的面积为 12 2 40co（s4040sin）=1600（ cossincos）过 N 作 GNMN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10令

13、GOK=，则 sin= 1 ， （ 0， 0 0 0 ）4 6当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 2所以 sin的取值范围是 14，1）答：矩形 ABCD的面积为 800（4sincos+cos）平方 ， CDP 的面积为1600（ cossincos）， sin的取值范围是 14，1 ）（ 2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（ k0），则年总产值为 4k800（4sincos+cos） +3k1600（ cossincos）=8000k（ sincos+cos）， 0， ）2设 f（） = sinc

14、os+cos， 0， ），2则 f ( ) cos2sin2sin (2sin 2sin 1) (2sin 1)(sin 1) ，令 f ( )=0 ，得 = 6当 （ 0， f ( )0 ，所以 f（）为增函数；）时，6当 （ ， ）时，f ( )0，设h(x)x3 3x2ax a 因为 h(0)a 0 ，h(1) 1 3 a a2 0 ，且 h（ x）的图象是不间断的，所以存在x0 （ 0，1），使得h( x0 ) 0 ，令 b2 x30x，则 b0函数 f ( x)x2 a ， g( x)bex，xe 0 (1x0)则 f (x) 2x，g(x)bex (xx21) 由 f（x） =g（

15、 x）且 f（ x）=g （ x），得x2x a bex ，即bex ( x 1)2x 2x 2 a2x x2 x30ex0 (102 x 3exx0 ) xex ( x 1)2（ * ）x e 0 (1 x0 ) x此时，x0 满足方程组（ * ），即x0 是函数 f（ x）与 g（ x）在区间（ 0， 1）内的一个“ S点”因此， 对任意 a0，存在 b0，使函数 f（ x）与 g（ x）在区间 （ 0，+）内存在“ S 点”20. 本小题主要考查等差和等比数列的定义、 通项公式、 性质等基础知识， 考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分解：（ 1）由

16、条件知： a n( n 1) d , b n2 n 1 因为 | anbn |b1 对 n=1，2， 3， 4 均成立，即 | ( n1) d2 n 1 |1 对 n=1， 2， 3， 4 均成立，即 1 1， 1 d 3， 3 2d 5 ，7 3 d 9，得 7 d 5 因此， d 的取值范围为3 27 5 , 3 2（ 2）由条件知： a b (n 1) d , b b q n 1 n 1 n 1若存在 d，使得| anbn |b1 （ n=2，3， ， m+1）成立，即 | b ( n 1)d b q n 1 | b ( n2,3, , m1) ，1 1 1即当 n2,3, ,mn 11

17、 时， d 满足 q2 b dn 1q b 1 1n 1 n 1mnm1因为 q (1, 2，则 1 q q 2 ，bbn 1 n 1从而 q2 0 ， q0 ，对 n2,3, , m1 均成立11n 1 n 1因此，取 d=0 时，| anbn |b1 对 n2,3, , m1 均成立n 1下面讨论数列 q 2 的最大值和数列n 1q 的最小值（ n 2,3, , m1 ）n 1当 2 n m 时， ，n n 1n(n 1)n( n 1)当 1 q12 m 时，有 q n q m2 ，从而nn ( qn 1 nq ) q2 0 因此，当 2 n mn 1n 11 时，数列 qnm2 单调递增

18、，1故数列 qxn2 的最大值为x1q 2 m设 f( x)2 (1x) ，当 x0 时，f ( x )( ln 2 1x ln 2) 2 0 ，所以 f ( x) 单调递减，从而 f ( x) f（ 0） =1nq1n 1当 2 n m 时， nq( n 1)2n (1 1)1f ( ) 1，q n n n因此，当 2n 1n m 1 时，数列n 1q 单调递减，故数列n 1qmqn 1 的最小值为 n 1 mb ( qm 2) b qm因此， d 的取值范围为 1 , 1 m m数学 ( 附加题 )21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作

19、答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 41：几何证明选讲 ( 本小题满分 10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径， P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 PC 2 3 ，求 BC 的长B. 选修 42：矩阵与变换 (本小题满分 10 分)2 3已知矩阵 A 1 21（ 1）求 A 的逆矩阵 A ；（ 2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P (3,1) ，求点 P 的坐标C. 选修 44：坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线 l 的方程为被曲线 C 截得的弦长s

20、in( 6) 2 ，曲线 C 的方程为 4cos ，求直线 lD. 选修 45：不等式选讲 ( 本小题满分 10 分)若 x， y， z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x2y2 z2 的最小值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1 B1 ， BC的中点（ 1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；（ 2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值1 2 ns t2

21、3 (本小题满分 10 分)设 n N*，对 1，2， ，n 的一个排列i i i ，如果当 st 时，有 i i ，则称 (i s , it )是排列i1i2in 的一个逆序，排列i1 i2in 的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序 (2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记fn ( k ) 为 1， 2， ， n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（ 1）求f3 (2),f4 (2) 的值；（ 2）求fn (2)( n5) 的表达式 (用 n 表示)数学 ( 附加题 ) 参考答案21. 【选做题】A. 选修 41：几何证明选讲 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分 证明： 连结 OC因为 PC与圆 O 相切，所以 OC PC2又因为 PC=2 3 ， OC=2，2所以 OP= PCO