参数思想与方法在解析几何中的应用.docx

1、参数思想与方法在解析几何中的应用参数思想及参数方法在解析几何中的应用当直接寻找变量X, y之间的关系显得很困难的时候，恰当地引入一个中间变量 t （称之为参数），分别建立起变量x，y与参数t的直接关系，从而间接地知道了 x与y之间的关系。这种数学思想即称之为“参数思想”。通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法即称之为 “参数方法”。参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用。比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题，变量的范围及最值问题，定点和定值问题等等。运用参数方法的关键在于参数的选择，即如何引参（常见的引参方式有：点参数；斜率参数；截距参数；距离参数；比例参数；角参数；时间参数等。）

2、， 然后通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后又消去参数只保留目标变量而获解。解题时应注意参数范围的限定，以确保变形过程的等价性。一、知识概要1. 一般曲线的参数方程 X f（t）（t为参数）x，y分别是参数t的函数。y g（t）2. 直线的参数方程设直线I过定点Po （X0，yo）， a为其倾斜角，P （x、y）是I上任一点，PoP= t （有向线段PP的数X x0 t cos量），则直线I的参数方程是 ，当P点在Po的上方（右方）时t0 ;当P在Po的下方（左y yo tsin方）时t0 , t为参数)又令 0的坐标为(u , v),则u = 2xyy sin t3=2c

3、os 3 tsin 3 t = sin2 3 t = cos( 2 3 t + ), v= y2 x2= sin231 cos23 t = cos2 323 u cos( 2 t 知t = sin( 2 31 + ), 0 ( u , v)的参数方程为 2，显然，3 t与一2 3 t的旋转方向2 3v sin( 2 t )2是相反的。而 P (X, y)在单位圆上逆时针运动， /.0 (- 2xy , y2-x2)以角速度2 3在单位圆上顺时针运动。选C。y = x2于 A、B 两例2 (2000年希望杯一试18题) 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线 点，则线段AB中点的轨迹方程是解：

4、设 IOA: y = kx，则 IOB:y = lx (易知kk应存在且不为0),联立： yykx2得 A ( k, k2),同 x1-)。设AB中点为Mk2x(X, y),则1k k2彳消去k得y= 2x2+ 1 k2 1 k F2(全国高中联赛) 设0a0 )三、巩固练习相切，则直线的倾斜角为A. 或6 6B. 或4 4C 一或3 3D . 一 一或一63” x t cos解:将y tsi n代入(x 4)2+ y2= 4 得 t28tcos + 12 = 0 ,由 = 0，得cos = 3，而 即2为倾斜角且0W即得。选A。2 .( 02年全国联赛4) 直线上42 21与椭圆-1相交于A

5、、16 9B两点，过椭圆上 P,使得 PAB面积为3，则这样的点P共有解：设 Pi (4cos , 3sin ) (01)，即点P1在第一象限的椭圆弧上，如图，考虑四边形 P1AOB的面积S。1 1S= SAoap1+ Saobp1= x 4 x 3sin + x 3 x 4cos2 2x=6(sin + cos )= 6 . 2 sin( H),故 Smax = 6 . 2 (此时 =),4 41而 SAOAB = 一 X 4 X 3 = 6 为定值。 S PABmax2AB的下方有2个点P,故选B。=6 2 60)，抛物线C2的顶点在原点 0 , C2的焦点是C1的左焦点F1;(1)求证:

6、C1与C2总有2个不同的交点。(2)是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使Saaob有最大(小)值？若存在，求出 AB所在直线方程及 最值，若不存在，说明理由。2 厂解：(1 )TF1 ( 73a , 0), AC2 方程为：y2= - 3 ax，由 y2严3,/2+ 2 ax a2= 0, 2x y 2a /A=(2 3 a)2+ 4a20, 方程有实根 X1,X2,又 x1X2= a2O ,X20时，y2= 4 . 3 ax无实根，当X20时，y2= 4 3 ax有2个不同实根，从而 C1与C2有2 个不同的交点。(2)假设符合条件的弦 AB存在 (1)当斜率k存在时，易知k丸，设Iab为：y = k(x + 3a),由，2 3a)消去目得k2x2+ 2 3 a(k2y 4/3ax又原点到直线 AB的距离为h =2占,Saaob = 1 也雲一6a；1厶7H7 2 山 k2 k2 V k2(2)当 k 不存在时，即 AB 丄x 轴，有 Saaob= 14. 3a . 3a 6a2,(SAAOB)max = 6a2,此时 Iab为 x2= 3a，当 kt 0 时，2 ,.Saaob无最大值。k