自来水管道连接问题张鹏.docx

1、自来水管道连接问题张鹏自来水管道连接问题 的数学建模与Matlab求解姓 名： 张 鹏 20113517 年级专业： 自动化 1104 日 期： 2013 09 20 目录一题目重述： 3二问题分析： 6三模型基本假设： 6四Matlab程序中变量说明： 7五模型的建立与求解： 75.1运用向量的方法求解障碍区面积 75.2求用户点与任意两个同一障碍区的顶点构成三角形的面积之和 85.3判断有效用户 8六Matlab求解程序： 9一题目重述：自来水是人们日常生活中不可缺少的生活要素，然而自来水管网的组建却有很多问题需要解决。一般来说，我们假设管网中任意两个用户之间存在直线段相连，但是在连接过程

2、中，有些区域是必须绕开的，这些必须绕开的区域我们称为障碍区域。表1给出了若干个可能的用户的地址的横纵坐标，可能的用户的含义是：如果用户的地址不在障碍区域内，那么该用户就是需要使用自来水的用户（即有效用户），否则如果用户的地址在障碍区域内，那么该用户就是无效用户（即不要将该用户连接在网络中）。表2-表5是分别是4个障碍区域必须要覆盖的点的坐标，而对应障碍区域就是覆盖这些要覆盖的点的最小凸集。请您判定表1中那些用户为有效用户。表1若干个可能的用户的地址的横纵坐标：可能的用户的序号可能的用户横坐标可能的用户纵坐标1.000095.012958.27922.000023.113942.34963.00

3、0060.684351.55124.000048.598233.39515.000089.129943.29076.000076.209722.59507.000045.646857.98078.00001.850476.03659.000082.140752.982310.000044.470364.052611.000061.543220.906912.000079.193737.981813.000092.181378.332914.000073.820768.084615.000017.626646.109516.000040.570656.782917.000093.547079.4

4、21118.000091.69045.918319.000041.027060.286920.000089.36505.026921.00005.789141.537522.000035.286830.499923.000081.316687.436724.00000.98611.500925.000013.889176.795026.000020.276597.084527.000019.872299.008328.000060.379278.886229.000027.218843.865930.000019.881449.831131.00001.527421.396332.000074

5、.678664.349233.000044.509632.003634.000093.181596.009935.000046.599472.663236.000041.864941.195337.000084.622174.456638.000052.515226.794739.000020.264743.992440.000067.213793.338041.000083.811868.333242.00001.964021.256043.000068.127783.923844.000037.948162.878545.000083.179613.377346.000050.281320

6、.713347.000070.947160.719948.000042.889262.988849.000030.461737.047750.000018.965457.514851.000019.343145.142552.000068.22234.389553.000030.27642.718554.000054.167431.268555.000015.08731.286356.000069.789838.396757.000037.837368.311658.000086.00129.284259.000085.36553.533860.000059.356361.239561.000

7、049.655260.854062.000089.97691.576063.000082.16291.635564.000064.491019.007565.000081.797458.691866.000066.02285.758167.000034.197136.756868.000028.972663.145169.000034.119471.763470.000053.407969.266971.000072.71138.407972.000030.929045.435573.000083.849644.182874.000056.807235.325075.000037.041415

8、.360676.000070.274067.564577.000054.657169.921378.000044.488072.750979.000069.456747.838480.000062.131055.484281.000079.482112.104782.000095.684345.075483.000052.259071.588384.000088.014289.284285.000017.295627.310286.000097.974725.476987.000027.144786.560388.000025.232923.235089.000087.574280.48729

9、0.000073.730690.839891.000013.651923.189492.00001.175723.931393.000089.38984.975494.000019.91387.838495.000029.872364.081596.000066.144319.088797.000028.440984.386998.000046.922417.390099.00006.478117.0793100.000098.833599.4295表2障碍区域1必须要覆盖的点的坐标：顶点序号顶点的横坐标顶点的纵坐标13.2060 12.9166217.457119.337734.7576 2

10、0表3障碍区域2必须要覆盖的点的坐标：顶点序号顶点的横坐标顶点的纵坐标150 30253.746548.4490346.922257.1195433.320739.8050543.112356.3187表4障碍区域3必须要覆盖的点的坐标：顶点序号顶点的横坐标顶点的纵坐标154.698270253.746590346.922280表5障碍区域4必须要覆盖的点的坐标：顶点序号顶点的横坐标顶点的纵坐标190752809537080二问题分析：根据题目可知，主要根据所给不同障碍区域的数据对用户点进行检测，判断其是否为有效用户。并在此基础上将所有用户连接起来，使得路径不经过障碍区如果用户点位于障碍区域之

11、外，则为有效用户，否则，为无效用户。通过用户点与障碍区域各个顶点的连线，并按顺时针计算用户点与障碍区域两相邻顶点的面积。若所得面积中有一个与障碍区域面积相等，则说明当前用户点在障碍区域内，即无效用户点。若所得面积均与障碍区域面积不相等，则说明当前用户点在障碍区域外，即有效用户。三模型基本假设：3.1假设题目所给的数据真实可靠；3.2假设任意两个用户之间以直线连接；四Matlab程序中变量说明：SignMeaningA记录100个用户点的坐标B障碍区1的各顶点坐标C障碍区2的各顶点坐标D障碍区3的各顶点坐标E障碍区4的各顶点坐标FLAG_ZP表示各用户点是否在障碍区，若在，对应位置为1；若不在，

12、为0OUTFLAG_ZP表示有效用户点的序号AVAILABLE表示有效用户点的个数五模型的建立与求解：由问题分析可知，本问题的关键有二个：一是求确定各障碍区的面积以及用户点与各障碍区任意两个定点构成的三角形的面积之和；二是比较上面两个面积，若相等，则该用户点在障碍区内为无效用户，否则，其为有效用户。5.1运用向量的方法求解障碍区面积若障碍区是三角形，对应各顶点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， (x3，y3)。则a=(x2-x1，y2-y1)，b=(x3-x1，y3-y1)。由于三角形面积S=|a|*|b|*sin/2，向量a，b外积的模长|ab|=|a|*|b|*sin；则有S=|a

13、b|/2；若障碍区为五边形，对应点为(x1，y1)，(x2，y2)， (x3，y3)， (x4，y4)，(x5，y5)。则划分成三个三角形，各三角形的顶点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， (x3，y3)；(x3，y3)， (x4，y4)，(x5，y5)；(x1，y1)，(x3，y3)， (x5，y5)。再用求三角形面积的方法求解即可。5.2求用户点与任意两个同一障碍区的顶点构成三角形的面积之和同5.1。5.3判断有效用户如果S=S1，则该用户在障碍区内，为无效用户。反之，为有效用户。筛选完毕的结果如下：在障碍区的点的序号为：OUTFLAG_ZP=4，23，36，99。无效用户的信息为：(

14、4.0000，48.5982，33.3951)；(23.0000，81.3166，87.4367)； (36.0000，41.8649，41.1953)；(99.0000，6.4781，17.0793)。有效用户的个数是：AVAILABLE=96。100个点的分布情况如图1：图1 100个点的分布情况100个点是否在障碍区的情况如图2：图2 100个点是否在障碍区的情况六Matlab求解程序：A=1.0000 95.0129 58.2792；2.0000 23.1139 42.3496；3.0000 60.6843 51.5512；4.0000 48.5982 33.3951；5.0000 8

15、9.1299 43.2907；6.0000 76.2097 22.5950；7.0000 45.6468 57.9807；8.0000 1.8504 76.0365；9.0000 82.1407 52.9823；10.0000 44.4703 64.0526；11.0000 61.5432 20.9069；12.0000 79.1937 37.9818；13.0000 92.1813 78.3329；14.0000 73.8207 68.0846；15.0000 17.6266 46.1095；16.0000 40.5706 56.7829；17.0000 93.5470 79.4211；18

16、.0000 91.6904 5.9183；19.0000 41.0270 60.2869；20.0000 89.3650 5.0269；21.0000 5.7891 41.5375；22.0000 35.2868 30.4999；23.0000 81.3166 87.4367；24.0000 0.9861 1.5009；25.0000 13.8891 76.7950；26.0000 20.2765 97.0845；27.0000 19.8722 99.0083；28.0000 60.3792 78.8862；29.0000 27.2188 43.8659；30.0000 19.8814 49.

17、8311；31.0000 1.5274 21.3963；32.0000 74.6786 64.3492；33.0000 44.5096 32.0036；34.0000 93.1815 96.0099；35.0000 46.5994 72.6632；36.0000 41.8649 41.1953；37.0000 84.6221 74.4566；38.0000 52.5152 26.7947；39.0000 20.2647 43.9924；40.0000 67.2137 93.3380；41.0000 83.8118 68.3332；42.0000 1.9640 21.2560；43.0000 6

18、8.1277 83.9238；44.0000 37.9481 62.8785；45.0000 83.1796 13.3773；46.0000 50.2813 20.7133；47.0000 70.9471 60.7199；48.0000 42.8892 62.9888；49.0000 30.4617 37.0477；50.0000 18.9654 57.5148；51.0000 19.3431 45.1425；52.0000 68.2223 4.3895；53.0000 30.2764 2.7185；54.0000 54.1674 31.2685；55.0000 15.0873 1.2863；

19、56.0000 69.7898 38.3967；57.0000 37.8373 68.3116；58.0000 86.0012 9.2842；59.0000 85.3655 3.5338；60.0000 59.3563 61.2395；61.0000 49.6552 60.8540；62.0000 89.9769 1.5760；63.0000 82.1629 1.6355；64.0000 64.4910 19.0075；65.0000 81.7974 58.6918；66.0000 66.0228 5.7581；67.0000 34.1971 36.7568；68.0000 28.9726 6

20、3.1451；69.0000 34.1194 71.7634；70.0000 53.4079 69.2669；71.0000 72.7113 8.4079；72.0000 30.9290 45.4355；73.0000 83.8496 44.1828；74.0000 56.8072 35.3250；75.0000 37.0414 15.3606；76.0000 70.2740 67.5645；77.0000 54.6571 69.9213；78.0000 44.4880 72.7509；79.0000 69.4567 47.8384；80.0000 62.1310 55.4842；81.000

21、0 79.4821 12.1047；82.0000 95.6843 45.0754；83.0000 52.2590 71.5883；84.0000 88.0142 89.2842；85.0000 17.2956 27.3102；86.0000 97.9747 25.4769；87.0000 27.1447 86.5603；88.0000 25.2329 23.2350；89.0000 87.5742 80.4872；90.0000 73.7306 90.8398；91.0000 13.6519 23.1894；92.0000 1.1757 23.9313；93.0000 89.3898 4.9

22、754；94.0000 19.9138 7.8384；95.0000 29.8723 64.0815；96.0000 66.1443 19.0887；97.0000 28.4409 84.3869；98.0000 46.9224 17.3900；99.0000 6.4781 17.0793；100.0000 98.8335 99.4295； hold on； for i=1:100 x=A(i，2)； y=A(i，3)； plot(x，y，.)end hold on；title(用户与障碍区的图像20130920zp)B=1 3.2060 12.9166；2 17.4571 19.3377；3

23、 4.7576 20；C=1 50 30；2 53.7465 48.4490；3 46.9222 57.1195；5 43.1123 56.3187；4 33.3207 39.8050；D=1 54.6982 70；2 53.7465 90；3 46.9222 80；E=1 90 75； 2 80 95； 3 70 80for i=1:3 x1=B(i，2)； y1=B(i，3)； x2=B(mod(i，3)+1，2)； y2=B(mod(i，3)+1，3)； X=x1，x2； Y=y1，y2； plot(X，Y，r)endfor i=1:5 x1=C(i，2)； y1=C(i，3)； x2=

24、C(mod(i，5)+1，2)； y2=C(mod(i，5)+1，3)； X=x1，x2； Y=y1，y2； plot(X，Y，r)endfor i=1:3 x1=D(i，2)； y1=D(i，3)； x2=D(mod(i，3)+1，2)； y2=D(mod(i，3)+1，3)； X=x1，x2； Y=y1，y2； plot(X，Y，r)end for i=1:3 x1=E(i，2)； y1=E(i，3)； x2=E(mod(i，3)+1，2)； y2=E(mod(i，3)+1，3)； X=x1，x2； Y=y1，y2； plot(X，Y，r)endFLAG_ZP=zeros(1，100)；

25、for n=1:100a1=B(2，2)-B(1，2)，B(2，3)-B(1，3)，0；a2=B(3，2)-B(2，2)，B(3，3)-B(2，3)，0；a3=B(1，2)-B(3，2)，B(1，3)-B(3，3)，0；S=norm(cross(a1，a2)/2；x=A(n，2)；y=A(n，3)；z1=x-B(1，2)，y-B(1，3)，0；z2=x-B(2，2)，y-B(2，3)，0；z3=x-B(3，2)，y-B(3，3)，0；s1=norm(cross(z1， a1)/2；s2=norm(cross(z2， a2)/2；s3=norm(cross(z3， a3)/2；S1=s1+s2+

26、s3； if(S1=S)flag1=0 ；else flag1=1；endb1=C(2，2)-C(1，2)，C(2，3)-C(1，3)，0；b2=C(3，2)-C(2，2)，C(3，3)-C(2，3)，0；b3=C(4，2)-C(3，2)，C(4，3)-C(3，3)，0；b4=C(5，2)-C(4，2)，C(5，3)-C(4，3)，0；b5=C(1，2)-C(5，2)，C(1，3)-C(5，3)，0；s1=norm(cross(b1，b2)/2；s2=norm(cross(b3，b4)/2；s3=norm(cross(b1+b2，b3+b4)/2；S=s1+s2+s3； x=A(n，2)；y=

27、A(n，3)；z1=x-C(1，2)，y-C(1，3)，0；z2=x-C(2，2)，y-C(2，3)，0；z3=x-C(3，2)，y-C(3，3)，0；z4=x-C(4，2)，y-C(4，3)，0；z5=x-C(5，2)，y-C(5，3)，0；s1=norm(cross(z1，b1)/2；s2=norm(cross(z2，b2)/2；s3=norm(cross(z3，b3)/2；s4=norm(cross(z4，b4)/2；s5=norm(cross(z5，b5)/2；S1=s1+s2+s3+s4+s5； if(S1=S)flag2=0；else flag2=1；endc1=D(2，2)-D(

28、1，2)，D(2，3)-D(1，3)，0；c2=D(3，2)-D(2，2)，D(3，3)-D(2，3)，0；c3=D(1，2)-D(3，2)，D(1，3)-D(3，3)，0；S=norm(cross(c1，c2)/2；x=A(n，2)；y=A(n，3)；z1=x-D(1，2)，y-D(1，3)，0；z2=x-D(2，2)，y-D(2，3)，0；z3=x-D(3，2)，y-D(3，3)，0；s1=norm(cross(c1，z1)/2；s2=norm(cross(c2，z2)/2；s3=norm(cross(c3，z3)/2；S1=s1+s2+s3；if(S1=S)flag3=0；else flag3=1；endd1=E(2，2)-E(1，2)，E(2，3)-E(1，3)，0；d2=E(3，2)-E(2，2)，E(3，3)-E(2，3)，0；d3=E(1，2)-E(3，2)，E(1，3)-E(3，3