完整word高中数学选修22函数的单调性与导数doc.docx

1、完整word高中数学选修22函数的单调性与导数doc1.3.1 函数的单调性与导数 学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 .2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式 .3.会求函数的单调区间 (其中多项式函数的最高次数一般不超过三次 ).知识点一 函数的单调性与其导数的关系在区间 (a， b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数 函数的单调性f (x)0 单调递增f (x)0 单调递减f ( x) 0 常函数思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1 x2 的前提下，比较f( x1)与 f(x2)的大小， 在函数 y f( x)比较

2、复杂的情况下， 比较 f(x12)与 f(x ) 的大小并不很容易， 如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义， 可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零， 则其倾斜角是锐角， 函数曲线呈上升的状态， 即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减 .知识点二 利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域 .(2)求出函数的导数 f( x).(3)解不等式 f (x) 0，得函数的单调递增区间；解不等式 f (x) 0，得函数的单调递减区间.知识点三 导数绝对值的

3、大小与函数图象的关系1一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时， 函数的图象就比较“陡峭” (向上或向下 )；反之，函数的图象就“平缓”一些 .也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度 .如图，函数 y f(x) 在(a,0)和 (0，b)内的图象“陡峭”，在 (， a)和 (b， )内的图象“平缓”.题型一利用导数确定函数的单调区间例 1求下列函数的单调区间 .2 2ln x； (2) f(x) x2 x；(1) f(x) 3xe1(3) f(x) x x .解(1) 函数的定义域为 D (0， ). f(x) 6x2，

4、令 f (x)0，得 x13，x23x 3 3(舍去 )，用 x1 分割定义域 D，得下表：x3330， 333 ， f( x)0f(x)函数 f(x) 的单调递减区间为0，3 ，单调递增区间为3， .33(2) 函数的定义域为 D ( ， ). f (x) (x2) e x x2(ex) 2xe x x2e x e x(2xx2)，令 f (x) 0，由于 ex 0， x1 0， x2 2，用 x1， x2 分割定义域 D ，得下表：x( ， 0)0(0,2)2(2 ， )f (x)00f (x)f(x)的单调递减区间为 ( ， 0)和 (2， )，单调递增区间为 (0,2).(3)函数的定

5、义域为 D ( ， 0) (0， ).1f (x) 1x2，令 f (x)0，得 x1 1， x2 1，用 x1 ， x2 分割定义域 D，得下表：2x( ， 1) 1( 1,0)(0,1)1(1 ， )f (x)00f(x)函数 f(x) 的单调递减区间为 ( 1,0)和(0,1)，单调递增区间为 ( ， 1)和 (1， ).反思与感悟 首先确定函数定义域， 然后解导数不等式， 最后写成区间的形式， 注意连接同类单调区间不能用 “”.跟踪训练 1 求函数 f(x) x3 3x 的单调区间 .解f(x)3x23 3(x2 1).当f( x) 0 时， x 1 或 x 1，此时函数 f(x)单调

6、递增；当f( x) 0 时， 1x 1，此时函数 f(x) 单调递减 .函数 f(x) 的递增区间是 ( ， 1)， (1， )，递减区间是 (1,1).题型二 利用导数确定函数的大致图象例2 画出函数 f(x)2x3 3x236x 16 的大致图象 .解f(x)6x26x 36 6(x2 x 6) 6(x 3)(x2).由f( x) 0 得 x 2 或 x 3，函数 f(x) 的递增区间是 ( ， 2)和 (3， ).由f( x) 0 得 2 x3，函数 f(x) 的递减区间是 ( 2,3).由已知得 f( 2) 60，f(3) 65， f(0) 16.结合函数单调性及以上关键点画出函数 f

7、(x)大致图象如图所示 (答案不唯一 ).反思与感悟 利用导数可以判定函数的单调性， 而函数的单调性决定了函数图象的大致走向 .当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象 .跟踪训练 2 已知导函数 f (x) 的下列信息：当2 x 3 时， f (x)0；当x 3 或 x2 时， f (x) 0；当x 3 或 x2 时， f (x) 0；3试画出函数 f(x)图象的大致形状 .解 当 2x 3 时， f (x) 0，可知函数在此区间上单调递减；当 x 3 或 x2 时， f (x) 0，可知函数在这两个区间上单调递增；当 x 3 或 x2 时， f (x)

8、0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变 .综上可画出函数 f(x)图象的大致形状，如图所示 (答案不唯一 ).题型三 利用导数确定参数的取值范围例 3 已知函数 f(x) 2ax x3， x (0,1 ， a 0，若函数 f(x)在 (0,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围 .解f(x)2a 3x2，又 f(x)在 (0,1 上是增函数等价于 f (x)0 对 x (0,1 恒成立，且仅有有限个点使得 f (x) 0，x (0,1 时， 2a3x2 0，也就是 a 32x2 恒成立 .又x (0,1 时， 3x2 0，3 ，22a 3.2a 的取值范围是 3， .2反思与感悟已知函数在某

9、个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f (x) 0(或 f (x) 0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题； 利用子区间(即子集思想 )，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集； 利用二次方程根的分布， 着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置.跟踪训练 3已知函数 f(x) ln x， g(x) 1ax2 2x，a 0.2(1) 若函数 h(x)f(x) g(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2) 若函数

10、h(x)f(x) g(x)在 1,4 上单调递减，求a 的取值范围 .1解 (1)h( x) ln x 2ax2 2x， x (0， )，h (x) 1 ax 2.xh(x)在 (0， )上存在单调递减区间，41当 x (0， )时， ax 2 0 有解，12即a x2 x有解 .12设 G(x) x2 x，只要 aG(x)min 即可 .而G(x) 1x1 2 1，G(x)min 1，a 1.(2) h(x)在 1,4上单调递减，1x 1,4时， h (x) x ax2 0 恒成立，12即a x2 x恒成立，1a G(x)max ，而 G(x) x1 2 1，7G(x)max 16，7a 1

11、6.求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误例 4 求函数 y x ln x 的单调区间 .错解 y 1 1x，令 y 1 1x 0，得 x 1 或 x 0，所以函数 y x ln x 的单调递增区1间为 (1， )， ( ， 0).令 y 1 x 0，得 0 x1，所以函数 y x ln x 的单调递减区间为 (0,1).错因分析 在解与函数有关的问题时， 一定要先考虑函数的定义域， 这是最容易忽略的地方 .正解 函数 y x ln x 的定义域为 (0， )，1又 y 1 x，1令 y 1 x 0，得 x 1 或 x0(舍去 )，所以函数 y x ln x 的单调递增区间为 (1， ).令

12、y 11x 0，得 0 x 1，所以函数 y x ln x 的单调递减区间为 (0,1).防范措施 在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域 .51.函数 f(x)xln x 在 (0,6)上是 ( )A.单调增函数B.单调减函数C.在1上是减函数，在1， 6上是增函数0， eeD.在 0，1上是增函数，在1， 6上是减函数ee答案A解析 x (0,6) 时， f ( x) 11 0， 函数 f(x)在 (0,6)上单调递增 .x2.f (x)是函数 y f(x)的导函数，若y f (x) 的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案 D解析 由导函数的图象可知，当 x0 时，

13、f (x)0，即函数 f(x) 为增函数；当 0 x 2 时，f (x) 0，即 f(x) 为减函数；当 x 2 时， f (x) 0，即函数 f(x)为增函数 .观察选项易知 D 正确.3.若函数 f(x) x3 ax2 x 6 在 (0,1)内单调递减，则实数 a 的取值范围是 ( )A. 1， ) B.a1 C.( ， 1 D.(0,1)答案 A解析 f (x) 3x2 2ax1，且f(x)在 (0,1) 内单调递减，不等式 3x2 2ax 1 0 在 (0,1)内恒成立，f (0) 0，且 f (1) 0， a 1.64.函数 y x2 4x a 的增区间为 _，减区间为 _.答案 (

14、2， ) (， 2)解析 y 2x 4，令 y 0，得 x 2；令 y 0，得 x 2，所以 y x2 4xa 的增区间为 (2， )，减区间为 ( ， 2).15.已知函数 f(x) 2ax x， x (0,1. 若 f(x) 在 x (0,1 上是增函数，则 a 的取值范围为_.1答案 2，1解析 由已知条件得 f (x) 2a x2.f(x)在 (0,1 上是增函数，1f (x) 0，即 a 2x2在 x (0,1 上恒成立 .而g(x) 1 2在 (0,1 上是增函数， 2x1g(x)max g(1) 2.1a 2.1 1当 a 2时， f (x) 1 x2对 x (0,1 有 f (

15、x) 0，且仅在 x1 时， f (x) 0.a 1时， f(x)在 (0,1 上是增函数 . 21a 的取值范围是 2， .判断函数单调性的方法如下：(1)定义法 .在定义域内任取 x1 ，x2，且 x1x2，通过判断 f(x1)f(x2)的符号来确定函数的单调性.(2)图象法 .利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数 .(3)导数法 .利用导数判断可导函数 f(x)在区间 ( a， b)内的单调性，步骤是： 求 f (x)； 确定 f( x)在 (a， b)内的符号； 确定单调性 .求函

16、数 y f(x)的单调增区间、 减区间分别是解不等式 f (x) 0 和 f (x) 0 所得的 x 的取值集合 .反过来，如果已知 f(x) 在区间 D 上单调递增，求 f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即 f (x) 0 在 D 上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求 f(x)中参数的值 .同样可以解决已知 f(x)在区间 D 上单调递减，求 f(x)中参数的值的问题 .7一、选择题1.函数 y (3 x2)ex 的单调递增区间是 ( )A.( ， 0) B.(0 ， )C.(， 3)和 (1， ) D.( 3,1)答案 D解析 求导函数得 y ( x2 2x 3)e

17、x.令y ( x2 2x3)ex 0，可得 x2 2x 3 0， 3 x1.函数 y (3x2)ex 的单调递增区间是 ( 3,1).2.已知函数f(x) x3 ax2 x1 在 (， )上单调递减， 则实数 a 的取值范围是 ()A.( ，3 3， )B. 3， 3C.(，3) ( 3， )D.( 3， 3)答案B解析由题意得 f (x) 3x2 2ax 1 0 在 ( ， )上恒成立，且仅在有限个点上 f( x)0，则有 4a2 12 0，解得 3 a 3.3.下列函数中，在 (0， )内为增函数的是 ( )A. y sin xB.y xe2C.y x3 xD.y ln x x答案B解析显

18、然 y sin x 在 (0， )上既有增又有减， 故排除 A ；对于函数 y xe2，因 e2 为大于零的常数，不用求导就知y xe2 在 (0， )内为增函数；对于 C，y 3x2 13 x 3 x3 ，33故函数在 ，3 ，3， 上为增函数，33在 3， 33 上为减函数；31对于 D ，y 1 (x 0).故函数在 (1， )上为减函数，在(0,1) 上为增函数 .故选 B.84.设 f(x)， g(x)在 a， b上可导，且 f (x) g (x)，则当 a x b 时，有 ( )A.f(x) g(x) B.f(x) g(x)C.f(x) g(a) g(x) f(a)D.f(x) g

19、(b) g(x) f(b)答案 C解析 f (x) g (x) 0，( f(x) g(x) 0，f(x) g(x)在 a， b 上是增函数，当 a xb 时 f(x) g(x) f(a) g(a)，f(x) g(a) g(x) f(a).ln |x|的图象大致是 ()5.函数 y x答案Cln | x|解析 y f( x) x f(x)，y f(x) ln x|x|为奇函数，y f(x)的图象关于原点成中心对称，可排除B.又 当 x 0 时， f(x) ln x，f (x)1ln x，2xx当 x e 时， f( x) 0，函数 f(x) 在(e， )上单调递减；当 0 x e 时， f (x

20、) 0，函数 f(x) 在(0 ，e)上单调递增 .故可排除 A ， D，而 C 满足题意 .6.定义在 R 上的函数 f( x)满足：f (x) 1 f(x)，f(0) 6，f (x)是 f(x)的导函数，则不等式 exf( x)ex 5(其中 e 为自然对数的底数 )的解集为 ( )9A.(0 ， ) B.( ， 0) (3， )C.(， 0)(1 ， ) D.(3 ， )答案 A解析 由题意可知不等式为 exf(x) ex5 0，设g(x) exf(x) ex 5，g (x) exf(x) exf( x) exexf(x) f(x) 1 0.函数 g(x)在定义域上单调递增 .又 g(0

21、) 0， g( x) 0 的解集为 (0， ).二、填空题7.若函数 f(x) 2x2 ln x 在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数， 则实数 k 的取值范围是 _.3答案1，2解析显然函数 f(x)的定义域为 (0， )， f (x) 4x14x2 1.由 f (x) 0，得函数 f(x)xx的单调递增区间为1， ；由 f (x) 0，得函数 f(x)单调递减区间为120， 2 .因为函数在区间 (k 1， k 1)上不是单调函数，所以k 11 k 1，解得 1 k3，又因为 ( k1， k2221) 为定义域内的一个子区间，所以k 10，即 k 1.综上可知， 1 k32.

22、8.函数 y f(x)在其定义域3， 3内可导，其图象如图所示， 记 y f(x)的导函数为 y f (x)，2则不等式 f (x) 0的解集为 _.答案 1， 1 2,3)39.函数 y ln( x2 x 2)的递减区间为 _.答案(， 1)2x 11解析f (x) x2 x 2，令 f (x) 0得 x 1或2 x 2，注意到函数定义域为 ( ，1) (2， )，故递减区间为 ( ， 1).1010.若函数 f(x) x2 ax 1在 1， 上是增函数，则 a 的取值范围是 _.x 2答案 3， )解析 因为 f(x) x2 ax1在 1， 上是增函数，x 21 1故 f( x) 2xa

23、x2 0 在 2， 上恒成立，1 1即 a x2 2x 在 2， 上恒成立 .1 2令 h(x) x22x，则 h( x) x3 2，当x 1， 时， h (x) 0，则 h(x)为减函数，21所以 h(x) h 2 3，所以 a3.三、解答题11.已知函数 f(x)ax3 bx2 的图象经过点 M(1,4)，曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x9y 0垂直 .(1) 求实数 a， b 的值；(2) 若函数 f(x)在区间 m， m 1上单调递增，求 m 的取值范围 .解 (1) 函数 f(x) ax3 bx2 的图象经过点 M(1,4) ， a b 4. f (x) 3ax2 2bx，则 f

24、 (1) 3a 2b.1由条件 f (1) 9 1，即 3a2b 9.由 解得 a 1， b 3.(2) f(x) x3 3x2，则 f (x) 3x2 6x.令f( x) 3x2 6x 0，得 x 0 或 x 2.函数 f(x) 在区间 m，m1 上单调递增， m， m 1? ( ， 20， )，m 0 或 m 1 2， m 0 或 m 3.12.已知函数 f(x) ax x2 xln a b(a， bR ， a 1)， e 是自然对数的底数 .(1)试判断函数 f(x)在区间 (0， )上的单调性；(2) 当 ae， b 4 时，求整数 k 的值，使得函数 f(x)在区间 (k，k 1)上存在零点 .解(1)f (x) axln a 2x ln a 2x