第25讲不规则图形的面积四年级奥数格点和面积补充.docx

1、第25讲 不规则图形的面积 四年级奥数 格点和面积补充格点和面积这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数21【典型例题】例1：计算下列

2、各图的面积。分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。解：(1)图中长方形的面积包括了32=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为32=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是32=6（个）面积单位。（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。（4）图中

3、三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为32=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。合起来有6个面积单位。所以它的面积为6个面积单位。（6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形面积为（2+4）3=18，而梯形的面积为长方形面积的一半，所以梯形的面积是（2+4）32=9（个）面积单位。【随堂练习】1.求格点多边形的面积（如图1）。2.求格点多边形的面积（如图2）。 图1 图2 例2：计算下列这个格点多边形的面积。分析:这是一个不

4、规则多边形，不能直接求出它的面积，可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1；另外还可以将该四边形分成几块，如图2.【随堂练习】1.求格点多变形的面积（图3）。2求格点多边形的面积（图4）。图3 图4例3：相邻四点连成的小正方形面积是1平方厘米。分别连接各点，组成下列12个图形，你发现有什么排列规律？分析：横看，从左到右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数保持不变。竖看，从上往下图形一周的格点数保持不变，中间的格点数逐渐增多。图形一周的格点数，中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有格点，中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。第一组图形编号一周格点数468

5、14中间格点数0000面积（平方厘米）1236中间没有格点时，面积一周格点数第二组图形编号一周格点数46811中间格点数1111面积（平方厘米）2347中间有一个格点时，面积一周格点数第三组图形编号一周格点数46814中间格点数2222面积（平方厘米）3488中间有个格点时，面积一周格点数解：（）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积随着中间的格点数增加而增加。（）各图形面积（见上表）的大小与一周的格点数，中间的格点数都有关系，格点图形面积的计算公式是：图形的面积中间格点数图形一周的格点数【随堂练习】1.通过割补图形求格点多边形的面积（图5）。

6、2.通过割补法求格点多边形的面积（图6）。3.利用格点多边形面积公式计算，结果一样吗？ 图5 图6 例4：下图中的每一个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。 分析：内部格点数为9个，周界上格点数为8个， 根据格点面积公式可求出阴影部分的面积为：解：4（9821）=48（平方厘米）【随堂练习】1.求格点图形面积（图7）。2.求格点图形面积（图8）。例5：在下面图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。分析：方法一：内部格点数为4个，周界上格点数为4个，三角形ABC的面积是： 2(4421)=10（单位面积）方法二：如图2，给三角形ABC添加、

7、部分小的三角形，则得到由25个单位三角形形成的大三角形，现在只要求出、三个三角形的面积即可。而三角形是一个平行四边形面积的一半，即62=3，同理三角形、的面积分别为4和8。所以，三角形面积为： 25-3-4-8=10 （单位面积）【随堂练习】1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“”或“”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算的面积（图9）. （图9）2.右图中有21个点，其中每相邻的三点“”或“”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形的面积. （图10） 例6：下图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积是1，试计算四边形的面积。分析：方法一：这个四边形格点

8、的一周共有4个格点，中间共有5个格点，所以得出：2（5421）=12（面积单位）方法二：加一条对角辅助线，（如上图），将四边形分成2个三角形，左上角面积是41=4，右下角三角形面积为42=8，所以四边形面积为： 4+8=12（面积单位）【随堂练习】1.计算下图三角形格点中多边形的面积（图11）。2.（如图12），把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为1,试求图中三角形DEF的面积.例7：如下图中小猫图的面积是多少？分析：将小猫图分为左右两部分，头和身子的部分（可直接计算）是10，尾部部分是一平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积是11

9、.【随堂练习】1.右图中（如图13）每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少? （图13）2. 右图是一个812面积单位的图形.求矩形内的箭形的面积. （图14）例8:你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？分析：图中共有8个三角形，每个三角形面积分别为 三角形ADE、BED的面积为432=6 三角形ADC、BCD的面积为442=8 三角形ACE、BCE的面积为68=14 三角形ADB的面积为62=12 三角形ABC的面积为142=28【随堂练习】1. 右图(图14)是一个1010的正方形,求正方形内的四边形的面积. (图14)2. 右图(图15)中每个小

10、正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?（图形见下页）（图15）【课后练习】1.计算下例题各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）2.求下列图形的面积。 3.求下列图中三角形的面积。4.下面的图形面积是 。 5.下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。6.计算下列三角形的格点的面积。 7.下图中有21个点，其中相邻的三点组成的等边三角形的面积是1，试求下图的面积。8.在下图中，如果点和点之间的距离是1厘米，如果将适当的三个点连起来得到一个三角形，在这些三角形中，面积是2平方厘米的三角形有多少个？ 9.在下图中含有多少个格点正方形？ 10. 右图中每个小平行四边形的

11、面积是1个面积单位,求阴影部分的面积. （10题图） 11.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).（11题图）12. 右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位). （12题图） 13. 如图右上角是一个55的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？(13题图) 14. 把大正三角形每边八等份,组成如右上角图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积. （14题图）15.将图中的图形分割成面积相等的三块.（15题图）