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1、实验报告玉溪师范学院2012-2013学年上学期数学实验期末考试数学实验报告姓名：学号：班级：2010级 一 班专业：数学与应用数学完成日期：评语：成绩评定：本次报告，主要是针对本学期学习的数学实验，对其内容中的大部分做出归纳和总结。主要分为一下五大部分：一 . 数值计算实验目的：1. 学会用MATLAB软件计算极限.最值.定积分2、了解圆周率的计算历程、及计算方法的发展历程。3、了解求解数值微分的基本方法。4、了解误差分析和步长优化及会使用差分法求解数值微分实验内容：1.用数值方法计算：（1）数列和函数的极限。（2）函数的导数与最值。（3）计算定积分 （4）数项级数的和。2、使用不同的方法计

2、算圆周率的近似值。3,、中心差分公式、前向微分和后向微分公式。操作过程及运行结果：例：1.1求数列极限程序如下：syms n anan=limit(n3+5n)(1/n),n,inf)结果an=5求函数极限： 程序如下：syms x bnbn=limit(1-cos(x)/(x*sin(x),x,0)结果： bn=1/2定积分的定义积分计算f=inline(1+x2)(-1);a=0;b=1;n=40；x=;x(1)=a;for k=1:8 x(n+1)=b;s=0; for i=1:n-1 x(i+1)=(i+rand()*(b-a)/n; end for i=i:n dxi=x(i+1)-

3、x(i); c=x(i)+dxi*rand(); s=s+f(c)*dxi; end fprintf(n=%g,s=%gn,n,s); n=n*3;end结果：n=40,s=0.0132958n=120,s=0.00575502n=360,s=0.00155638n=1080,s=0.000866947n=3240,s=0.000286178n=9720,s=0.000102157n=29160,s=2.11564e-005n=87480,s=9.02859e-006、辛普森公式计算程序如下format longn=100;a=0;b=1;sum=0;syms x fxfx=4/(1+x2);

4、for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; xk=(xi+xj)/2; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); fxk=subs(fx,x,xk); sum=sum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);end结果 sum = 3.141592653589792integrate = pi integrate = 3.141592653589793相对误差是：2.827160e-0161、求下列级数的和。程序n=1:10; s1=sum(1./(n.*(n+1).*(n+2); format

5、long s1结果s1 = 0.2462121212121212.圆周率的计算：1 用刘徽的迭代公式，计算圆内接正24576边形的面积，从而得出著名数学家祖冲之得到的圆周率。代码： x=1; for i=1:12 x=sqrt(2-sqrt(4-x2); S=(3*2i*x); end vpa(S,9) %计算精度为9位有效数字结果： ans = 3.14159265 利用莱布尼兹级数计算的近似值。2.编写以下M脚本文件：x=0;for i=1:1000 x=x+(-1)(i+1)/(2*i-1); pai(i)=4*x; error(i)=(pi-pai(i);endfor i=1:10 D

6、(i,:)=100*i,pai(100*i),error(100*i);endvpa(D,20)保存文件名为Ex1703.m,在命令窗口输入：Ex1703结果：ans = 100., 3.1315929035585536866, .99997500312394294042e-2 200., 3.1365926848388161474, .49999687509769685789e-2 300., 3.1382593295155913893, .33333240742017267166e-2 400., 3.1390926574960142936, .24999960937788223703e-

7、2 500., 3.1395926555897850641, .19999980000080519460e-2 600., 3.1399259880805310274, .16666655092620885625e-2 700., 3.1401640828900845293, .14285706997085867442e-2 800., 3.1403426540780756682, .12499995117174478310e-2 900., 3.1404815428216181772, .11111107681749388121e-2 1000., 3.1405926538397941350

8、, .99999974999898100236e-3实验结论：通过课本的学习和老师的教导，对于在学习的matlab软件，我们学习了此课程，对于数值计算部分我掌握了1学会用MATLAB软件计算极限.最值.定积分2、了解圆周率的计算历程、及计算方法的发展历程。3、了解求解数值微分的基本方法。4、了解误差分析和步长优化及会使用差分法求解数值微分这一些基本知识，虽然在报告中没有把所学的所有内容都进行详尽的阐述和表达，但是基本包括了所学的主要知识点。对matlab学习的重点内容，我也还有很多的不足，希望老师同学的批评指出。二符号运算实验目的：1.学会用MATLAB软件计算矩阵、极限.倒数.定积分.。实验

9、内容：1用符号演算法计算：（0）计算矩阵的值。（1）数列和函数的极限（2）函数的求解。（3）不定积分、定积分。（4）符号常微分方程求解。（5）项级数的和操作过程及运行结果：例 1.1求矩阵的行列式值、逆和特征根。syms a11 a12 a21 a22;A=a11,a12;a21,a22A = a11, a12 a21, a22DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A)运行结果：DA =a11*a22-a12*a21IA = a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21) -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a1

10、1*a22-a12*a21)EA = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2)1.2求极限例：syms x;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,right)结果：ans =-1/21.3求积分：求积分。注意：内积分上下限都是函数。程序：yms x y z F2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,

11、sqrt(x),x2),x,1,2)VF2=vpa(F2) 结果：F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2(1/2)+14912/4641*2(1/4)+64/225*2(3/4)VF2 =224.92153573331143159790710031.4函数求解：求的解。程序：lear all,syms x;s=solve(x+2)x=2,x) 结果：=.698299421702410428269201331060811.5符号常微分方程求解：求的解。程序:S=dsolve(Dx=y,Dy=-x);disp(blanks(12),x,blanks(21),

12、y),disp(S.x,S.y) 结果 x y cos(t)*C1+sin(t)*C2, -sin(t)*C1+cos(t)*C216求下列级数的和。n=1:10; s1=sum(1./(n.*(n+1).*(n+2); format long s1符号求解为：syms n;s2=symsum(1/(n*(n+1)*(n+2),实验结论： 对于符号运算的学习三图形的可视化实验目的：1. 学会用MATLAB软件作平面.空间的函数图像。2.运用图形加深对导数.定积分的理解。3.加深函数项级数的认识并了解相关函数逼近知识。实验内容：1. 平面.空间函数在各种坐标系下的图形。2. 用数值计算和图形集合

13、研究：（1）函数的导数。（2）积分随分割细度的变化趋势（3）级数的敛散性操作过程及运行结果：1.1在0x2区间内，绘制曲线 y=2e-0.5xcos(4x)程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y=2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);plot(x,y)2、例：绘制正弦曲线和余弦曲线。程序：x=0:0.5:360*pi/180;plot(x,sin(x),x,cos(x);legend(sin,con)图形：三维曲线图：例：t=0:pi/100:20*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=t.*sin(t).*cos(t);plot3(x,y,z);title(Li

14、ne in 3-D Space);xlabel(X);ylabel(Y);zlabel(Z);grid on;1.2三维曲面一个二元函数如何用三维图形的方式表现出这个曲面？程序：x,y=meshgrid(-3:1/8:3)z=3.*(1-x).2.*exp(-(x.2)./2-(y+1).2)-10.*(x/5-x.3-y.5).*exp(-x.2-y.2)-1/3.*exp(-(x+1).2-y.2)Surf(x,y,z)Shading interpColorbar图形： 2用数值计算和图形集合研究数列和函数的极限：数列的极限是多少？程序： n=1:3000; xn=0.99.n; plot

15、(n,xn,.)结果设f(x)=sinx,求,并从图形上观察虽分割增多积分和随着分割点的增多积分和越来越接近定积分值。程序：djfdf.m文件function s=djfdf(f,a,b,n)close;h=(b-a)/n;s=0;for i=1:n x(1)=a+(i-1)*h;x(2)=a+i*h; x(3)=x(2);x(4)=x(1); t=(x(3)+x(4)/2;y(3)=feval(f,t); y(4)=y(3);s=s+h*y(3); fill(x,y,0 0 1*i/n); hold on;endfplot(f,a,b);hold off下面是yest.m文件调用djfdf.

16、m动态演示定积分定义clear all;clcfor n=1:20; f=inline(sin(x);djfdf(f,0,4,n) pause(3)end结果：ans = 3.6372ans = 1.9652ans = 1.7828ans = 1.7246ans = 1.6986ans = 1.6847ans = 1.6764图形由粗到细，越来越接近定积分的值。5积分的应用和所围成的面积y=linspace(-1,1,60); x1=5*y.2;x2=1+y.2;plot(y,x1,y,x2)求两个函数的交点syms yf=(1+y2)-5*y2;A=int(f,y,-0.5,0.5)结果：值

17、：x = 5/4 5/4 y = 1/2 -1/2面积 A =2/3写出的幂级数的展开式，利用图形考察幂级数部分和逼近函数的情况。程序：-2*pi:0.001:2*pi;y0=sin(x0);syms x;y=sin(x);plot(x0,y0,r-),axis(-2*pi,2*pi,-1.5,1.5);hold onp=taylor(y,x,2),y1=subs(p,x,x0); line(x0,y1)结果：四数据分析实验目的：1.分析的基本方法2.进行回归分析的基本命令。实验内容：1， 一元、多元线性回归，和非线性回归。2， 人口模型的建立。操作过程及运行结果：例：1.一元模型：为了研究理

18、学院11级学生的总阅览量y与学生人数x的关系得到如下数据：人数（个）5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 借阅量（本）20 74 124 212 263 344 396 475 523 575试研究这些数据的规律性。解：输入数据观测散点图。x=5 10 15 20 25 30 35 40 45 50;y=20 74 124 212 263 344 396 476 523 575;plot(y,x,*)输出结果如图：从散点图中可以看出这些点都在一条直线的附近，这说明y和x具有线性关系。（2）回归分析及检验，输入x=ones(10,1) x;y=20 74 124 212 26

19、3 344 396 475 523 575,b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)输出：b = -50.2667 12.7588bint = -67.3869 -33.1464 12.2070 13.3106r = 6.4727 -3.3212 -17.1152 7.0909 -5.7030 11.5030 -0.2909 14.9152 -0.8788 -12.6727rint = -14.4559 27.4014 -26.3660 19.7236 -36.3276 2.0973 -17.1630 31.3448 -30.5856 19.1795 -11.8064

20、34.8125 -25.3186 24.7368 -5.6433 35.4736 -24.0920 22.3345 -31.3231 5.9776stats = 1.0e+003 *0.0010 2.8426 0.0000 0.1181即得到， ，的置信区是 -67.3869 -33.1464 ,的置信区是12.2070 13.3106； r=0.001, F=2.8426, p=0.0000, px=954195 1029359 983392 1161507 136* *713;%19521977年的人口统计数for i=1:5 r(i)=(x(i+1)-x(i)/x(i);%1952197

21、7年的五年增长率endrr = Columns 1 through 3 0.0788 -0.0447 0.1811 Columns 4 through 51.1791 0.1250玉溪人口的五年增长率为一个常数以1952为0时刻，此时玉溪人口数位x0，时刻t为x(t),x(t)视为可连续函数 x=dsolve(Dx=r*x,x(0)=x0,t) x =x0*exp(r*t)根据表中数据，在MATLAB中计算出玉溪人口19522011每五年的增长率，程序如下： x=954195 1029359 983392 1161507 1369557 1540713 . 1633216 173* *439

22、1946349 2053957 2122522 ;%19522011年的人口统计数for i=1:11 r(i)=(x(i+1)-x(i)/x(i);%19522011年的每五年增长率endrr = Columns 1 through 3 0.0788 -0.0447 0.1811 Columns 4 through 6 0.1791 0.1250 0.0600 Columns 7 through 9 0.0648 0.0652 0.0507 Columns 10 through 11 0.0553 0.03343)阻滞增长模型（Logistic模型）通过前面的分析可以看到，人口增长率是准确刻

23、画人口增长规律的一个关键因素，并且“人口增长率为一个常数”的假设不合理，那么应当怎样刻画人口增长的变化规律呢？为此，作出19522011年玉溪五年人口增长率随人口变化而变化的图像。 x=954195 1029359 983392 1161507 1369557 1540713 . 1633216 173* *439 1946349 2053957 2122522 ;%19522011年的人口统计数for i=1:11 r(i)=(x(i+1)-x(i)/x(i);%19522011年的每五年增长率endx1=x(2:12);plot(x1,r)从图中可以清楚的看出，随着人口模型的增加，人口的五年增长率在总体上呈现出线性下降的趋势，那么，为什么会出现这种趋势呢？根据草履虫的实验我们可以知道：一个国家或一个地区内的人口增长率实际上是该地区人口规模的减函数r(x),并且r(xm)=0.综合以上分析，提出如下新的假设： 玉溪人口的五年增长率r(x)是人口数的线性函数，即 r(x)=r(1-x/xm),其中r为固定增长率，xm为自然资源和环境条件所能容纳的最大